1、3.2单调性与奇偶性 讲课人：邢启强 2 函数单调性的概念：函数单调性的概念： 一般地，函数一般地，函数f(x)的定义域为的定义域为I： 2. 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某某个区间个区间D的任意两个的任意两个 称函数称函数 f(x)在在区间区间D D上上单调递减单调递减。 1212 ,x xxx自自变变量量的的值值当当时时 都都有有 21 xfxf 函数的单调性是函数的函数的单调性是函数的“局部性质局部性质”，它与区间密切，它与区间密切 相关相关 复习旧知复习旧知 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称 它是增函数 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时
2、， 我们就称它是减函数 1. 如果对于属于定义域内如果对于属于定义域内某某个区间个区间D的任意两个的任意两个 称函数称函数 f(x)在在区间区间D D上上单调递增单调递增。 1212 ,x xxx自自变变量量的的值值当当时时 都都有有 12 f xf x 讲课人：邢启强 3 1.偶函数定义 2.奇函数定义 3.奇偶函数的图象特征 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 复习旧知复习旧知 讲课人：邢启强 4 1.( )( )( ), f xf af b abababab 已知偶函数在0,+ )上是增函数，若则必有（ ） A、 B、C、 D、 C .( )3
3、,71 7, 3 f x 2若奇函数在上是增函数，且最小值是， 则它在上是（ ） A、增函数且最小值是 1 B、增函数且最大值是 1 C、减函数且最大值是 1 D、增函数且最小值是-1 B 主要思路：结合图象 回顾练习回顾练习 讲课人：邢启强 5 2 1.( )=(3)(2)f xkkx例 如果x+3是偶函数， 则函数的增区间_ （,0 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 6 53 .(1)( ), ( 3)5,(3)_ f xaxbxcx ff 例2函数 若则 5 53 (2)( )1, ( 3)5,(3)_ f xaxbxcx ff 函数 若则 3 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 7 例例
4、3.已知定义在已知定义在(0,+)上的函数上的函数f(x)，满足当，满足当 x,y (0,+)时，恒有时，恒有f(xy)f(x)+f(y)，且当，且当 x1时，时，f(x)0, 求证：求证： f(x)是增函数是增函数 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 8 例例4.已知函数已知函数f(x)是定义在实数集是定义在实数集R上的不上的不 恒为零的偶函数，且对任意实数恒为零的偶函数，且对任意实数x都有都有 xf(x+2)= (x+2) f(x) ，则，则f(5) 的值为的值为 ( ) 典型例题典型例题 A.0 B.1 C.2 D.5 A 讲课人：邢启强 9 学习新知学习新知 已知函数y=f(x)在R上是
5、奇函数,且在(0,+)是单 调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调 性如何? 奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区 间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调 递增. 证明：:x1,x2(-,0),且x1-x20, y=f(x)在(0,+)上是单调递增, f(-x1)f(-x2). y=f(x)在R上是奇函数, f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2), -f(x1)-f(x2),f(x1)f(x2). 函数y=f(x)在(0,+)上是单调递增. 讲课人：邢启强 10 学习新知学习新知 已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+
6、)是单 调递增.那么y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调 性如何? 偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调 递减. 证明：:x1,x2(-,0),且x1-x20, y=f(x)在(0,+)上是单调递增, f(-x1)f(-x2). y=f(x)在R上是偶函数, f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),f(x1)f(x2), 函数y=f(x)在(0,+)上是单调递减. 讲课人：邢启强 11 例例6.已知已知f(x)是定义在是定义在1,1上的偶函数，在上的偶函数，在0,1 上是单调递减且上是单调递减且f(1x
7、)f(x), 求求x的取值范围的取值范围. 典型例题典型例题 变式：变式：已知已知f(x)是定义在是定义在1,1上的奇函数，在上的奇函数，在 0,1上单调递减且上单调递减且f(1x2)+f(1x)0, 求求x的取值的取值 范围范围. 11 0, )0, ) 22 x解得，所以 的取值范围为 0,1) 解解:f(x)是偶函数是偶函数,在在0,1,f(x)是减函数是减函数, 不等式不等式f(1-x)f(x)等价为等价为f(|1-x|)|x|, f(x)定义域是定义域是1，1 1 11 11 |1-| | x x xx 讲课人：邢启强 12 1.已知函数已知函数f(x)，当，当x,yR时，恒有时，恒有f(x+y)+f(x y)=2f(x)f(y)， 求证：求证： f(x)是偶函数是偶函数 巩固练习巩固练习 证明:令x=0,y=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). 令y=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). 由得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x), 所以函数f(x)为偶函数. 2.已知函数f(x)=2bx2b3x3在(,1上单调 递增，求b的取值范围. 3 b0 2 1 4 b b b 由得
