1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 . 在现实世界和日常生活 中，大量存在着 相等关系和不等关系 地球和月球地球和月球 快与慢快与慢 右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 点的关系： 数的关系： 点A在点B右侧 ab 点A在点B左侧 ab 点A和点B重合 a=b ab AB 关于实数a,b的大小，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么ab; 如果a-b等于0，那么a=b; 如果a-b是负数，那么ab. 基本事实也可以表示为： ab0ab； ab0ab； ab0ab. 要比较两个实数的大小，
2、可以转化为要比较两个实数的大小，可以转化为 比较它们的差与的大小比较它们的差与的大小 例 比较（x）（）（x）和（x）（）（x） 的大小 分析：通过考察这两个多项式的差与的大小关系与的大小关系， 可以得出它们的大小关系 作差法 解：因为 （x）（x）（x）（x） （xx）（xx） ， 所以 （x）（x）（x）（x） 作差步骤：作差，变形，定号 【练习】1.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x23与3x； (2)已知a，b均为正数，且ab，比较a3 b3与a2bab2的大小 (2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2 a2(ab)b2(ab) (ab)(a2b2) (ab)2(
3、ab) a0，b0且ab， (ab)20，ab0. (a3b3)(a2bab2)0， 即a3b3a2bab2. 【练习】2.设x，y，zR，比较5x2y2z2 与2xy4x2z2的大小 解5x2y2z2(2xy4x2z2) 4x24x1x22xyy2z22z1 (2x1)2(xy)2(z1)20， 5x2y2z22xy4x2z2， 当且仅当xy且z1时取等号. cccc 例例1 1 已已知知 a b0,cb0,c . . abab 练习3 如图是我国古代数学家赵爽赵爽在为 周髀算经作注解时给出的 “弦图”，它解决的数学问题是 （ ） 赵爽，又名婴，字君卿， 生平不详(约182-250年)。 中
4、国数学家。东汉末至三 国时代吴国人。他是我国 历史上著名的数学家与天 文学家。 勾股定理勾股定理 赵爽弦图 赵爽弦图 4个直角三角形的面积和为ab， 正方形的面积为ab由于正方形ABCD 的面积大于个直角三角形的面积和， 我们就得到了一个不等式 abab 思考：当a=b时会出现什么情况？ 正方形 EFGH 缩为一 个点，这时有 abab 一般地， a，bR，有 abab， 当且仅当ab时，等号成立 能否利用作差比较 ab与ab 的大小 解: abab（ab） 因为a，bR，（ab）， 当且仅当ab时，等号成立， 所以 abab， 当且仅当ab时，等号成立 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正
5、 方形的面积并据此说明，人们通常把自来 水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原 因 分析：设周长相等为L，根据圆的周 长和正方形的周长公式分别求得圆 的半径和正方形的边长；再利用圆 的面积公式和正方形的面积公式分 别表示出它们的面积进行比较即可 解决问题 1.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直 角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图 所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）的值是？ 解：根据题意，结合勾股定理 a+b=13， 四个三角形的面积=4ab=13-1， 2ab=12， 联立解得：（a+b）=1
6、3+12=25 故答案为：25 点评：注意观察图形：发现各个图 形的面积和a，b的关系 2.已知若abc，且abc0，则b24ac 0.(填“”“c，(ac)20，b24ac0. 3已知实数a，b，c满足abc0， abc0，则 的值() A一定是正数 B一定为负数 C可能为0 D正负不定 a 1 b 1 c 1 4已知x，y均为正数，设m n ，比较m和n的大小 x 1 y 1 yx 4 5.设实数x,y满足0 xy1且0 x+y1且y1 B.0 x1且y1 C.0 x1且0y1且0y1 解析：x+y1+xy, x-xy+y-10, x(1-y)+y-10, (x-1)(1-y)0, x1,y1或x1,y1。 又0 xy0,0 x1,0y1。故选C。 1.不等式的定义 2.不等关系在数轴上的几何表示 3.作差法确定两数或代数式的大小 4.重要不等式的掌握 谢谢 观赏
