1、4.1指数与指数幂的运算1 讲课人：邢启强 2 在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次 幂等于n个a的连乘积，即 an=aa a n个 正整数指数幂的运算法则有五条： 1.aman=am+n； 2.aman=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=anbn； 5. ).0()(b b a b a n n n 另外，我们规定： . 1 n n a a );0( 1 0 aa 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 根式根式 一般地，如果一般地，如果xn=a，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根，其，其 中中n1，且且nN*. (当当n是奇数是奇数) ; n ax (当当n
2、是偶数是偶数,且且a0) . n ax ax n 让我们认识一下这个式子让我们认识一下这个式子: n a 根指数根指数 被开方数 根式 () nn aa由n次方根的意义，可得 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 4 探究: 表示an的n次方根,等式 一定成立吗? 如果不一定成立,那么 等于什么? nn a aa nn nn a n次方根的性质次方根的性质 （1）当）当n是是奇数奇数时时,正数正数的的n次方根是一个次方根是一个正数正数,负数负数的的 n次方根是一个次方根是一个负数负数. （2）当）当n是是偶数偶数时，时，正数正数的的n 次方根有次方根有两个两个，这两个，这两个 数数互为相反数互为相
3、反数。 （3）负数没有偶次方根负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是的任何次方根都是0. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 例1 求下列各式的值 1. 2. 3. 4. ;)8( 3 3 ;)3( 4 4 2 () ().abab ;)10( 2 解：解： 1. 2. 3. 4. ; 8)8( 3 3 ;10|10|)10( 2 ; 3|3|)3( 4 4 2 ()().abab ab 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 6 分数指数幂分数指数幂 探究探究: 10 5102 52 55 12 123 434 44 ()(0), ()(0). aaaaa aaaaa * : (0,1). m
4、nm n aaam nNn 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 且 0的正分数指数的正分数指数 幂等于幂等于0,0 的负的负 分数指数幂没有分数指数幂没有 意义意义. 32 54 a b c ).0( ),0( ),0( 4 5 45 2 1 3 2 32 ccc bbb aaa * : 1 0,1 m n m n aam nNn a 正数的负分数指数幂的意义是 且 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 整数指数幂的运算性质对于有理指整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用数幂也同样适用,即对于任意有理数即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：，均有下面的运算性质： ), 0, 0
5、()(3 ( ), 0()(2( ), 0() 1 ( Qrbabaab Qsraaa Qsraaaa rrr rssr srsr 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 解：解： 例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a0). 33223 , , .aaaaaa 117 3 33 222 ;aaaaaa 228 2 3222 333 ;aaaaaa 14211 3 33322 ()().a aa aaa 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 9 1.根指数化为分数指数的分母，被 开方数(式)的指数化为分数指数的 分子 2.在具体计算时，通常会把根式转 化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运
6、算性质解题 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 10 无理指数幂无理指数幂 探究探究: 在前面的学习中，我们已经把指数由正整 数推广到了有理数，那么，能不能继续推广 到实数范围呢？ a0，p是一个无理数时，ap的值就可以用 两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成 的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的 极限值就等于ap)，故ap是一个确定的实数.而且 有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也 适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 3 2 8 2 1 25 5 2 1 4 3 81 16 例例3.求值：求值： 典型例题典型例题 4 32 27 8
7、 1 5 讲课人：邢启强 12 例例4.：计算下列各式：计算下列各式（式中字母都是正数）（式中字母都是正数） 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 362bababa 8 31 84 m n 1. 2. 典型例题典型例题 4a 23 m n 讲课人：邢启强 13 例例5.：化简下列各式：化简下列各式 1. 2. 43 2512525 2 32 (0) a a aa 典型例题典型例题 1 6 55 5 6 a 讲课人：邢启强 14 方法总结方法总结 分数指数幂的运算技巧 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式 统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中 的根指数不
8、同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结 果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母 又含有负指数. 3.进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根 式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的 顺序 4.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开 方数的符号，则可以对根式进行化简运算 5.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂 的形式表示 讲课人：邢启强 15 .123,11,5:1 63 的大小比较练习 636 6236 666 36 :55125, 1111121, 121 123125, 121123125. 5123
9、11. 解 又 所以 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 巩固练习巩固练习 2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a0） 322 aa 解： 28 2 33 aa 3 14 33 a aa aa 421 332 ()aa 2 3222 3 aaaa 3.若 2 3 4x ，求x. 3 aa 1 8 讲课人：邢启强 17 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 41 33 3 3 22 3 33 8 5 :(12). 42 aa bb a a baba 练习化简 41111 1 33333 3 3 3 2221121 3 3333333 1111 133 3333 3 211211 33333
10、3 11121121 1 33333333 3 211211 333333 8(8 )2 :(12) 4242 ()(2) 422 ()(2)(42) 422 aa bbaabab aa a bababa baa aaba a ba baab aabba baa a ba baab a 解 111 333 .aaa 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 整数指数幂 有理数指数幂无理数指数幂分数指数幂 根式两个等式 ), 0, 0()(3( ), 0()(2( ), 0() 1 ( Rrbabaab Rsraaa Rsraaaa rrr rssr srsr 1、利用分数指、利用分数指 数幂进行根式数幂进行根式 运算时，其顺运算时，其顺 序是先把根式序是先把根式 化为分数指数化为分数指数 幂的运算性质幂的运算性质 进行计算。进行计算。 2、计算结果不、计算结果不 强求用什么形强求用什么形 式来表示，但式来表示，但 结果不能同时结果不能同时 含有根号和分含有根号和分 数指数幂，也数指数幂，也 不能同时存在不能同时存在 分式和负分数分式和负分数 指数幂。指数幂。 课堂小结课堂小结
