1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性 质 讲课人：邢启强 2 1正弦函数的定义域是什么？正弦函数的定义域是什么？ 2正弦函数有最大值和最小值吗？它何时取得最大值和最小正弦函数有最大值和最小值吗？它何时取得最大值和最小 值？值？ 3从问题从问题2，正弦函数的值域是什么？，正弦函数的值域是什么？ 4. 正弦函数有几个单调递增区间？请写出单调递增区间；单调正弦函数有几个单调递增区间？请写出单调递增区间；单调 递减区间呢？递减区间呢？ 5.正弦函数的图象关于原点对称吗？正弦函数的图象是轴对称正弦函数的图象关于原点对称吗？正弦函数的图象是轴对称 图形吗？图形吗？ 6.余弦函数与正弦函数有什么关系？余弦函数与
2、正弦函数有什么关系？ 新课引入新课引入观察正弦函数的图象回答下列问题观察正弦函数的图象回答下列问题 5.正弦函数的图象关于原点对称；是轴对称图形正弦函数的图象关于原点对称；是轴对称图形 6.余弦函数可由正弦函数平移得到余弦函数可由正弦函数平移得到,可相应得到余弦函数的性质可相应得到余弦函数的性质. 全体实数全体实数R； 讲课人：邢启强 3 定义域 值域 最大值 最小值 奇偶性 周期性 y=sinxy=cosx 函数 性质 RR -1，1 -1，1 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 仅当 时取得最小值-1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最小值-1 Zkk
3、x,) 12( 奇函数偶函数 22 复习引入复习引入 2 o 46246x y - - - - - - - - - 1 -1 - - - - - - - ox y - - -1 1 - - -1 y 2 2 2 3 y=sinxy=cosx 想一想 请观察正弦请观察正弦 曲线、余弦曲线、余弦 曲线的形状曲线的形状 和位置和位置,说出说出 它们的单调它们的单调 性。性。 2 o 46246x y - - 1 -1 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 (3)单调性单调性 从从ysinx的图象上可看出：的图象上可看出： 当当x 时，曲线逐渐上升，时，曲线逐渐上升，sinx的值的值 由由1增大到增大
4、到1; , 2 2 当当x 时，曲线逐渐下降，时，曲线逐渐下降，sinx的值由的值由 1减小到减小到1。 3 , 22 2 o 46246x y - - 1 -1 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 结合正弦函数的周期性可知：结合正弦函数的周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 2k，+2k (kZ)上都单调递增，其值从上都单调递增，其值从1增大到增大到1； 2 2 在每一个闭区间在每一个闭区间 2k， 2k (kZ)上单调递减，其值从上单调递减，其值从1减小到减小到1 2 3 2 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 y=sinx的对称轴为的对称轴为 y=cosx的对称
5、轴为的对称轴为 对称轴对称轴 cos 2,2 1 12, 2 11 yx kk kk 同理：余弦函数在每一个闭区间 上都 ，其值从 增大到 ；在每个闭区间 上都 ，其值从 减小到； 单调递增单调递增 学习新知学习新知 , . 2 xkkZ , .xkkZ 单调递减单调递减 讲课人：邢启强 8 (1)3sin 2; (2)sin()() 4 . . . . 44 yx yx A xB y CxDx 写出函数的对称轴 的对称轴是 轴轴 直线直线 尝试练习尝试练习 讲课人：邢启强 9 例例1： 求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的 集合，并说出最大值是什么集合，并说出最
6、大值是什么. (1) ysin2x，xR; (2) y=sin(3x+ ) 1 4 解：解： (1) 令令w2x，那么，那么xR得得ZR，且使函，且使函 数数ysinw，wR，取得最大值的集合是，取得最大值的集合是 ww 2k，kZ 2 由由2xw 2k， 2 得得x k. 4 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 10 即即 使函数使函数ysin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的 集合是集合是xx k，kZ 4 函数函数ysin2x，xR的最大值是的最大值是1. (2) 当当3x+ =2k + 即即 x= (k Z)时时, y的最大值为的最大值为0. 4 2 123 2 k 典型例题典型例
7、题 例例1： 求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的 集合，并说出最大值是什么集合，并说出最大值是什么. (1) ysin2x，xR; (2) y=sin(3x+ ) 1 4 讲课人：邢启强 11 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请 写出取最大值、最小值时的自变量写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么并说出最大值、最小值分别是什么. . ;, 1cos)1(Rxxy (2)3sin2 ,.yx xR 巩固练习巩固练习 学生完成后与课本例3对照， 掌握解题过程 讲课人：邢启强 12 例
8、例2：不通过求值：不通过求值,指出下列各式大于指出下列各式大于0还是还是 小于小于0, (1)sin( )sin( )； (2) cos( )cos( ) 18 10 5 23 4 17 解：解：(1) 210182 且函数且函数ysinx，在，在 ， 上单调递增上单调递增 2 2 即即sin( )sin( )0 18 10 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 (2)cos( ) cos 5 233 5 cos( ) cos 4 17 4 3 0 452 函数函数y=cosx在区间在区间( )上单调递减上单调递减,0, 2 典型例题典型例题 3 coscos 45 1723 cos()co
9、s() 45 例3(1)函数ysin(x 4 )在什么区间上是增函数? 3 (2)函数y3sin( 2x)在什么区间是减函数? 解：(1)函数ysinx在下列区间上单调递增： 2 2 2kx2k(kZ) 4 函数ysin(x)为单调递增， 4 2 2 x2k当且仅当2k 4 即2kx2k (kZ)为所求 4 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 3 (2)函数y3sin( 2x)在什么区间是单调递减? 解：y3sin( 3 2x)3sin(2x 3 ) 由2k2x 2 3 2k 2 得kxk 12 (kZ)为所求 12 5 或：令u 3 2x，则u是x的减函数 2 2 又ysin在2k，2k(kZ)上为增函数， 3 2 2 原函数y3sin( 2x)在区间2k，2k上递减 2 3 2 设2k- 2x2k+ 12 12 5 解得kxk(kZ) 3 12 12 5 原函数y3sin( 2x)在k ，k(kZ)上单调递减 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 16 深化练习深化练习 讲课人：邢启强 17 小结小结
