1、1 第五章第五章 三角函数三角函数 1.1. 任意角任意角 2.2. 角的加法角的加法 3.3. 终边相同的角终边相同的角 4.4. 象限角象限角 5.5. 角度制与弧度制的概念与区别角度制与弧度制的概念与区别 6.6.角度与弧度的换算角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：1 8 0r a d 1rad= 0 180 57.30=5718，1= 180 0.01745(rad) 7.7.弧长公式：弧长公式：rl|(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式扇形面积公式： 2 | 2 1 2 1 rrlS. 1.1.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： 22 sincos1
2、 (2)商数关系： sin tan cos 2.2.诱导公式诱导公式 诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，其中kZ 诱导公式二：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan，其中kZ 诱导公式三：sin()sin ，cos()cos，tan()tan ，其中kZ 诱导公式四：sin()sin，cos()cos ，tan()tan ，其中kZ 诱导公式五：sincos 2 ，cossin 2 ，其中kZ 诱导公式六：sincos 2 ，cossin 2 ，其中kZ 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 3.3.两角
3、和与差的正弦、余弦和正切公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 两角差的余弦公式两角差的余弦公式：cos()=coscossinsin C 两角和的余弦公式：两角和的余弦公式：cos()coscossinsin C 两角和正弦公式两角和正弦公式：sin() sincoscossin () S 两角差的正弦公式两角差的正弦公式：sin()sincoscossin () S 两角和与差的正切公式：两角和与差的正切公式： sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1tantan sin()sincoscossintantan tan() cos(
4、)coscossinsin1tantan tan() tantan 1tantan T tan() tantan 1tantan T 2 4.4.倍角公式倍角公式 2 sin22sincos()S 2222 2 cos2cossin2cos112sin()C 2 2 2tan tan2() 1tan T 5.5.升（降）幂缩（扩）角公式升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 2 1 cos22cos， 2 1 cos22sin 降幂公式： 2 1 cos2 cos 2 ， 2 1 cos2 sin 2 6.6.辅助角公式辅助角公式 形如形如sincosaxbx的三角函数式的变形：的三角函数式的变
5、形： sincosaxbx= 22 2222 sincos ab abxx abab 令 2222 cos,sin ab abab ，则 sinyx cosyxtanyx 图象 定义域RR, 2 x xkk 值域1,11,1R 最值 当2 2 xk k 时， max 1y； 当2 2 xk k 时， min 1y 当2xkk时， max 1y； 当2xkk 时， min 1y 无最值 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk k 上是增函数； 在 3 2,2 22 kk k 上是减函数 在2,2kkk上 是增函数； 在2,2kkk 上 是减函数 在, 22 kk k
6、上是增函数 对称轴 2 xkk xkk无对称轴 对称中心 ,0kk ,0 2 kk ,0 2 k k 3 sincosaxbx= 22 sin coscos sinabxx= 22 sin()abx （其中角所在象限由, a b的符号确定，角的值由tan b a 确定， 或由 22 sin b ab 和 22 cos a ab 共同确定 ） 3.3.半角公式半角公式( (以下公式只要求会推导，不要求记忆以下公式只要求会推导，不要求记忆) ) 1 cos sin 22 ， 1 cos cos 22 ， 1 cos tan 21 cos 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式
7、表示的 sin1 cos tan,tan 21 cos2sin ； 2 sin2sin 1 cos 22 tan 2sin cos2sincos 222 以上两个公式称作半角正切的有理式表示 4.4.积化和差公式积化和差公式 1 sincossin()sin() 2 1 cossinsin()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 考点考点 1 1 三角函数的概念与性质三角函数的概念与性质 【知识要点】【知识要点】 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 二、题型归纳二、题型归纳 题型 1：扇
8、形弧长公式与面积公式：弧长公式：|lr，扇形面积公式： 2 11 | 22 Slrr. 1、已知 2 弧度的圆心角所对的弧长为 2，则这个圆心角所对的弦长是（） A.sin2B.2sin2C.sin1D.2sin1 2、已知扇形的周长为10cm，面积为 2 4cm，则扇形的圆心角等于（弧度）. 3、已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（） A.2B.1C. 1 2 D.3 4、已知为第三象限角，那么 2 是（） A.第一象限角B.第二象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角 题型 2：同角三角函数基本关系与诱导公式：三角求值时，要注意一定角、二定号、三定值. 5、
9、已知为锐角，且 4 sin 5 ，则cos()（） 4 A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5 6、若角 3 的终边上有一点( ,2)a，则a的值是（）. A. 2 3 3 B. 2 3 3 C. 2 3 3 D.2 3 7、若 4 sin() 65 x ，则tan() 4 . 8、已知是第四象限角，且 3 sin() 45 ，则tan() 4 . 9、已知 sin()sin()tan() 2 ( ) tan()sin() f . （1）化简( )f； （2）若为第四象限角，且 32 cos() 23 ，求( )f的值. 题型 3：三角恒等变换：熟记两角和与差的公式（6 个）
10、、二倍角公式（5 个） 10、已知角终边上一点P的坐标为( ,3 )(0)aa a ，则 cossin sincos 的值是（） A.2B.2C. 1 2 D. 1 2 11、已知是第四象限角，且tan2 ，则sin2（） A. 2 5 5 B. 2 5 5 C. 4 5 D. 4 5 12、已知(0, )， 24 sin2 25 ，则sincos（） A. 7 5 B. 7 5 C. 7 5 D. 1 5 13、若tan3 ，则 2 1 sin2cos . 题型 4：三角函数的图象与性质 14、下列四个函数中，既是(0,) 2 上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（） A.sinyxB.|s
11、in|yxC.cosyxD.|cos|yx 15、给出下列说法：函数tan |yx不是周期函数；存在实数x，使得sincos2xx；若角, 是第一象限角，且，则tantan； 8 x 是函数 5 sin(2) 4 yx 的一条对称轴；函数 5sin( 2) 3 yx 在 5 , 12 12 上是增函数，其中正解的说法个数是（） A.1B.2C.3D.4 16、已知函数sinyx的定义域为 , a b，值域为 3 ,1 2 ，则ba的最大值为（） A. 2 3 B. 5 6 C. 3 2 D. 5 3 17、 已知函数( )2sin()(0) 4 f xx 的图象在区间0,1上恰有 3 个最高点
12、， 则的取值范围为 （） A. 1927 ,) 44 B. 913 ,) 22 C. 1725 ,) 44 D.4 ,6 ) 题型 5：函数sin()yAx图象与性质方法：求函数sin()yAx的单调性、对称性和最值时， 可以把x看成一个整体，再根据函数sinyt的性质来求解. 5 18、已知函数( )sin()(,0)f xxxR相邻两个零点之间的距离为 2 ，将( )yf x的图象向右平 移 8 个单位，所得的函数图象关于y轴对称，则的一个值可能是（） A.B. 2 C. 4 D. 4 19、已知函数 59 ( )sin()(,0) 422 f xx 是偶函数，且(0)( )ff，则（）
13、A.( )f x在 3 (,) 88 上单调递减B.( )f x在 3 (,) 88 上单调递增 C.( )f x在(0,) 4 上单调递增D.( )f x在(0,) 4 上单调递减 20、要得到曲线3sin(2) 5 yx ，只需把函数3sin2yx的图象（） A.向左平移 5 个单位B. 向右平移 5 个单位 C.向左平移 10 个单位D. 向右平移 10 个单位 21、已知函数( )sin() 4 f xx 在(,) 4 2 上单调递减，则的取值范围是（） A.(0,2B. 1 (0, 2 C. 1 3 , 2 2 D. 5 1, 2 题型 6：三角函数综合22、设函数 2 ( )2si
14、n ()3cos2 4 f xxx . （1）请将函数( )f x的表达式化为( )sin()(0,0,|) 2 f xAxb A 的形式，并求( )f x的最 小正周期； （2）求函数( )f x在, 4 2 x 上的值域. 23、已知函数 2 ( )sincos3cos(0)f xxxx的最小正周期为 2 ， （1）求函数( )f x的单调递减区间； （2）若函数( )( )g xf xm在区间0, 4 上有两个零点，求实数m的取值范围. 24、函数 2 33 ( )3cossin(0) 222 x f xx 的部分 图 象 如 图所示，,A B为图象的最高点，C为图象的最低点，且ABC为
15、 正三角形. （1）求( )f x的值域及的值； （2）若 0 3 3 () 5 f x，且 0 2 1 (, ) 3 3 x ，求 0 1 () 2 f x 的值. 6 25、 如图,在平面直角坐标系中,以 x 轴非负半轴为始边作两个锐角,它们的终边分别 与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 2 10, 2 5 5 . (1)求 tan(+)的值;(2)求+2的值. 7 高一数学期末第五章复习答案高一数学期末第五章复习答案 1、D提示：设扇形的半径为r，则22lrr，即1r .在BOC 中，sin1BC ，则圆心角所对的弦长是2sin1. 2、 1 2 3、A4、D 5
16、 、 A解 ： 因 为为 锐 角 ， 且 4 sin 5 ， 所 以 2 163 cos1 sin1 255 ， 所 以 3 cos()cos 5 6、A7、 4 5 8、 4 3 9、 （1）cos； （2） 5 3 10、D 提示：依题意， 3 tan3 ya xa ，所以 cossin1tan1 31 sincostan13 12 . 11、C12、A13、2 14、B 15、C16、D17、C 18、D提示：依题意， 1 2 22 ，所以2，( )sin(2)f xx.向右平移 8 个单位，得 ( )sin2() 8 f xx sin(2) 4 x ，偶函数，所以 42 k ，解得 3
17、 4 k . 19、D20、D21、D 22、 （1） ； （2）2,3 解： （1） 2 ( )2sin ()3cos21 cos(2)3cos2 42 f xxxxx 1 sin23cos2xx 2sin(2)1 3 x ， 所以函数( )f x的最小正周期为 2 2 T . （2）因为, 4 2 x ，所以 2 2, 363 tx ，画 2 sin , 63 yt t 的图象，所以 1 sin(2) ,1 32 x ，所以( )2,3f x 23、 （1） 7 , 224224 kk kZ ； （2） 3 ( 1,3 2 24、 （1）3, 3, 2 ； （2） 7 6 10 25、解:
18、由条件得 cos = 2 10,cos = 2 5 5 . 因为,均为锐角,所以 sin = 1-cos2?=7 2 10 , sin = 1-cos2?= 5 5 . 因此 tan =sin? cos?=7,tan = sin? cos?= 1 2. (1)tan(+)=tan?+tan? 1-tan?tan?= 7+1 2 1-71 2 =-3. (2)因为 tan 2=tan(+)=tan?+tan? 1-tan?tan?= 21 2 1-(1 2) 2= 4 3, 所以 tan(+2)=tan?+tan2? 1-tan?tan2?= 7+4 3 1-74 3 =-1. 又因为,均为锐角,所以 0+23 2 , 所以+2=3 4 .
