1、期末复习（六）期末复习（六）函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 一单选题 1直线1y 与函数 2 ( )|f xxxa的图象有 4 个交点，则a的取值范围是() A(,1)B 5 (1, ) 4 C 5 ( ,) 4 D 5 1, 4 2今有一组实验数据如图：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律， 其中最接近的一个是() x 1.993.04.05.16.12 y 1.54.047.51218.01 A 2 logytB 1 2 logytC 2 1 2 t y D22yt 3函数 1 ( )( )2 2 x f xx的零点一定位于下列哪个区间() A 1 ( ,1) 2
2、 B 3 (1, ) 2 C 3 ( ,2) 2 D 5 (2, ) 2 4已知函数( )21 x f xx， 2 ( )log1g xxx，( )sin1h xxx的零点依次为 1 x， 2 x， 3 x，则以下大小关系正确的是() A 123 xxxB 132 xxxC 321 xxxD 231 xxx 5设函数 2 |2|,4 ( ) 1 (4),4 2 xx f x f xx ，则函数( )( )4h xxf x的零点的个数为() A6B5C4D3 6 已知0m ， 函数 2 ( )f xxxm， 实数 1 x，2x满足 1 0 x ，20 x ， 若 12 ()0,()0f xfx，
3、 则() A 12 xxm B 12 xxm C 12 xxm D 12 xx与m的大小关系不能确定 7已知函数 2 2,0 ( ) 21,0 x x f x xxx ，则方程( ( )( )0f f xf x的根个数为() A1B2C3D4 8已知函数 2(1 ),1 ( ) |21| 2,1 x logx x f x x ，若函数( )( )F xf xk恰有 3 个零点，则实数k的取 值范围是() A 5 (2, 2 B(2,3)C(3，4D(2,) 二多选题 9 已知( )f x是定义域为R的奇函数，0 x 时，( )(1)f xxx， 若关于x的方程 ( )f f xa 有 5 个不
4、相等的实数根，则实数a的可能取值是() A 1 32 B 1 16 C 1 8 D 1 4 10已知函数( ) | 1 x f x x ，则() A( )yf x为偶函数 B( )f x的值域是( 1,1) C方程 2 ( )0f xx只有一个实根 D对 1 x， 2 xR， 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx 11已知函数 2 |,0 ( ) 43,0 lnx x f x xxx ，若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点， 则() Am的最小值为 1Bm的最小值为 2Cm的最大值为 3Dm无最大值 12 已知函数 2 2 |,2
5、( ) 813,2 log x x f x xxx ， 若方程( )f xk有四个不同的零点 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 且 1234 xxxx，则下列结论正确的是() A01kB 1234 ()x xxx为定值 C 12 23xxD 12 2xx的最小值为2 2 三填空题 13函数 0.5 ( )4 |log| 1 x f xx的零点个数为 14已知函数 2 ( ) |1|f xxx，若关于x的方程( )|1|f xa x恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是 15已知 1 x， 2 x是函数 22 ( )(21)f xxkxk的两个零点且一个大于 1，一个小于 1，则 实数k的
6、取值范围是 16定义在R上的函数( )f x满足( )(4)f xf x，()( )0fxf x且(0)0f当(0 x， 2时， 1 ( )2f x x 则函数 2 ( )( )sin() 34 g xf xx 在区间 6，2上所有的零点之和为 四解答题 17已知函数( )() 1 m f xxmR x （1）当1m 时，解不等式( )1(1)f xf x ； （2）设3x，4，且函数( )3yf x存在零点，求实数m的取值范围 18已知函数( )1( 21 x a f xa 为常数）是奇函数 （1）求a的值； （2）函数 2 ( )( )logg xf xk，若函数( )g x有零点，求参数
7、k的取值范围 19已知aR，函数 2 1 ( )log ()f xa x （1）当5a 时，解不等式( )0f x ； （2）若函数 2 ( )( )2logg xf xx只有一个零点，求实数a的值 20已知函数 2 ( )21g xxax且函数(1)yg x是偶函数，设 ( ) ( ) g x f x x （1）求( )f x的解析式； （2）若不等式( )0f xmx在区间1，2上有解，求实数m的取值范围 （3）若方程 2 (|21|)20 |21| x x fk 有三个不同的实数根，求实数k的取值范围 期末复习（六）期末复习（六）函数的零点与方程的解答案函数的零点与方程的解答案 1解：原
8、问题等价于函数 与函数1ya 有 4 个交点，绘制函数图象如图所示， 由于函数在 1 2 x 处取得最小值 111 424 min y ，故 1 10 4 a ，解得： 5 1 4 a 故选：B 2解：由表中数据可知，当0 x 时，y随着x的增大而增大，且不是 2 倍递增，故B、D 错误； 再由增加速度越来越快，可知A错误，C正确故选：C 3解：函数 1 ( )( )2 2 x f xx是连续函数， f（2） 11 220 44 ， 312322 ( )20 22224 f ， 可得f（2） 3 ( )0 2 f，由零点判断定理可知函数的零点在 3 ( 2 ，2)故选：C 4解：函数( )21
9、 x f xx，21 x x ， 2 ( )log1g xxx， 2 log1xx ， ( )sin1h xxx，sin1xx ， 在同一个直角坐标系中画出2xy ， 2 logyx，sinyx，1yx 的图象，如图： 2 1x ，可得 1 0 x ， 3 (0,1)x ，所以 132 xxx故选：B 5解：函数( )( )4h xxf x的零点，即方程( )40 xf x 的根， 显然 0 不是方程( )40 xf x 的根，即 4 ( )f x x 的根， 由 2 |2|,4 ( ) 1 (4),4 2 xx f x f xx ，得 当2x 时，( )f xx，当24x 时，( )4f x
10、x， 作出函数( )yf x与 4 y x 的图象如图： 两函数图象在y轴左侧有 1 个交点， 当0 x，4)时，两函数图象有 1 个交点， 当4x，8)时， 42 1 63 ，两函数图象有 2 个交点， 当8，12)时， 142 2105 ，两函数图象有 2 个交点， 当12，16)时， 142 4147 ，两函数图象无交点 函数( )( )4h xxf x的零点的个数为 6 故选：A 6解：0m ，函数 2 ( )f xxxm， 故函数在(0,)上单调递增， 实数 1 x， 2 x满足 1 0 x ， 2 0 x ，且 12 ()0,()0f xfx， 2 11 0 xxm， 2 1212
11、 xxxx， 2 1211 xxxx， 12 xxm成立，故选：B 7解：当0 x时，( )20 x f x ， 当0 x 时， 22 ( )21(1)0f xxxx ，当且仅当1x 时( )0f x 由f（1）0，(0)1f ，知1x 不是方程( ( )( )0f f xf x的根， 当0 x 且1x 时，( )0f x 当0 x时， 2 ( ( )2 x f f x ，由( ( )( )0f f xf x， 得 2 22 x x ，即2 x x ，也就是 1 ( ) 2 x x ，此方程无解； 当0 x 且1x 时， 22 ( ( )(1)1f f xx，由( ( )( )0f f xf
12、x， 得 222 (1)1(1)xx， 2 (1)11xx 或 2 (1)1 1xx ， 当 2 (1)11xx 时，得 2 310 xx ，解得 35 2 x ，满足0 x 且1x ； 当 2 (1)1 1xx 时，得 2 10 xx ，得 15 2 x 或 15 2 x （舍) 方程( ( )( )0f f xf x的根个数为 3 个 故选：C 8解：由题意，函数( )f x大致图象如下： 依据图象，可知 当函数( )( )F xf xk恰有 3 个零点时， 即函数( )yf x的图象与yk的图象有 3 个公共点， 实数k的取值范围为 5 2 2 k 故选：A 9解：因为( )f x是定义
13、域为R的奇函数， 0 x 时， 2 111 ( )(1)() 244 f xxxx ，则 11 ( ) 24 f， 画出函数( )f x的图象如下： 令( )f xt， 13 ( ) 416 f 当 1 4 a 时，由图象可得ya与( )yf t有一个交点，且1t ， 由图象可得( )f xt只有一个根，不满足题意， 当 1 4 a 时，由图象可得ya与( )yf t有两个不同交点， 交点的横坐标分别记作 1 t， 2 t，则 1 1t ， 2 1 2 t ， 则 1 ( )f xt与 2 ( )f xt共有两个根，不满足题意， 当 31 164 a 时，由图象可得ya与( )yf t有三个不
14、同的交点， 记作 1 t， 2 t， 3 t，不妨令 123 ttt， 由图象可得， 123 11 11 42 ttt ， 则 1 ( )f xt与 3 ( )f xt各有一个根或两个根，共三个或四个根，不满足题意， 当 3 0 16 a 时，由图象可得ya与( )yf t有三个不同的交点， 记作 1 t， 2 t， 3 t，不妨令 123 ttt， 由图象可得， 123 11 101 42 ttt ， 则 1 ( )f xt与 3 ( )f xt以及 2 ( )f xt共有 5 个根，满足题意， 根据函数图象的对称性，当0a 时，为使关于x的方程 ( )f f xa有 5 个不相等的实数根，
15、 只需要 3 0 16 a， 综上，满足条件的a的取值范围是 3 ( 16 ， 3 ) 16 故选：ABC 10解：对于:()( ) | 1| 1 xx A fxf x xx ，可得( )f x的奇函数，A错误； 对于 (1)11 1,0 111 :( ) 1 11| 1 1,0 111 xx x x xxx Bf x xxx x xxx ，( )f x的值域是( 1,1)，B正 确； 对于C：由 2 ( )0f xx，显然0 x 是方程的一个实数根，当0 x 时，可得 1 | 1 x x ， 即|10 x xx ，0 x时，显然方程没有实数根，当0 x 时，即 2 10 xx 方程有一个 实
16、数根，C错误； 对于D：当0 x时，可得 1 ( )1 1 f x x 是单调递减函数，当0 x 时，可得 1 ( )1 1 f x x 是单调递减函数，所以对 1 x， 2 xR， 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，D正确； 故选：BD 11解：设( )f xt， 因为( )g x有 8 个零点， 所以方程( )f xt有 2 个不同的实数根， 结合( )f x的图象 可得 2 410ttm 在(0，3内有 2 个不同的实数根， 即 2 14mtt 在(0，3内有 2 个不同的实数根， 则314m ，故23m 故选：BD 12解：函数 2 2 |,2 ( ) 8
17、13,2 log x x f x xxx ， 作出( )f x的图象，如图， 由yk有四个不同的零点 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 且 1234 xxxx，从图可知：01kA正确； 由 12 1x x ，可得 12 22xx ，那么 1212 22 22 2xxx x （当且仅当 12 2xx取等号） ， 12 xxC，D错误； 由 34 xx关于4x 对称，那么 34 8xx， 1234 ()x xxx为定值 8B正确； 故选：AB 13解：函数的零点满足 0.5 1 |log| ( ) 4 x x ， 则零点的个数即函数 0.5 |log|yx与 1 ( ) 4 x y 交点的个
18、数， 绘制函数图象如图所示， 观察可得，交点个数为 2，故函数零点的个数为 2 故答案为：2 14解：由题意可知 2 |1|1|xxa x，显然1x 不是方程的实数根， 则 2 |1|1 |(1)3| |1|1 xx ax xx ， 故关于x的方程( )|1|f xa x恰有两个实数根， 等价于ya与 1 |(1)3| 1 yx x 的图象恰有两个不同的交点， 画出 1 |(1)3| 1 yx x 的大致图象，如图所示， 由图象可得实数a的取值范围(1,5)0 故答案为：(1,5)0 15解：函数 22 ( )(21)f xxkxk的图象是开口向上的抛物线， 若函数 22 ( )(21)f x
19、xkxk有两个零点且一个大于 1，一个小于 1， 则f（1） 2 1(21)0kk ，即 2 20kk，得02k 实数k的取值范围是(0,2)， 故答案为：(0,2) 16解：定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，(4)( )f xf x， 函数是偶函数，且周期为 4， 又(0)0f，当(0 x，2时， 1 ( )2f x x 作出函数( )yf x与 2 sin() 34 yx 的图象如图： 函数 2 ( )( )sin() 34 g xf xx 在区间 6，2上的零点， 即函数( )yf x与 2 sin() 34 yx 的图象的交点的横坐标， 由图可知，两函数在 6，2
20、上有 6 个交点，且关于直线2x 对称， 则函数 2 ( )( )sin() 34 g xf xx 在区间 6，2上所有的零点之和为2612 故答案为：12 17解： （1）当1m 时， 1 ( ) 1 f xx x ， 由( )1(1)f xf x ，得 11 ()1(1) 1 xx xx ， 即 11 1xx ，解得0 x 或1x 不等式( )1(1)f xf x 的解集为(，0)(1，)； （2）函数( )3yf x在3，4上存在零点方程( )30f x 在3，4上有解， 即方程30 1 m x x 在3，4上有解， 即 2 (1)4mx 在3，4上有解，函数 2 (1)4yx 在3，4
21、上是减函数 则 21y ，12， 从而，实数m的取值范围是 21，12 18解： （1）根据题意，函数( )1 21 x a f x ，则有210 x ，解可得0 x ， 即函数( )f x的定义域为(，0)(0，)， 根据奇函数的定义，对于(x ，0)(0，)，则有()( )0fxf x， 即110 2121 xx aa ，化简得：20a即2a ； （2）若函数( )g x有零点，则直线 2 logyk与曲线( )yf x有交点， 又由21( 1,) x ， 那么 2 (, 2)(0,) 21 x ， 则( )f x的值域为(，1)(1，)； 故由 2 log(k ，1)(1，)， 解得：
22、1 (0, )(2,) 2 k ， 即k的取值范围为：(0， 1) (2 2 ，) 19解： （1）根据题意，当5a 时， 2 1 ( )log (5)f x x ， 若( )0f x ，即 2 1 log (5)0 x ，变形可得 14 0 x x ， 解可得0 x 或 1 4 x ，即不等式的解集为 |0 x x 或 1 4 x ， （2）根据题意，若函数 2 ( )( )2logg xf xx只有一个零点，即方程 22 1 log ()2log0ax x 有且只有一个根， 方程 22 1 log ()2log0ax x ，变形可得 2 2 log ()0axx，即 2 10axx ， 则
23、原问题等价于方程 2 10axx 有且只有一个正根， 分 3 种情况讨论： 当0a 时，方程为10 x ，有一个正根 1，符合题意， 当0a 时，140a ，故 2 10axx 有两解 1 x， 2 x，且 12 1 0 x x a ，必为一正一 负的两根，符合题意， 当0a 时，令140a 解得 1 4 a ，此时方程 2 10axx 的根为 2，符合题意， 综合可得：a的取值范围为： |0a a或 1 4 a 20解： （1）函数(1)yg x是偶函数， 二次函数 2 ( )21g xxax的图象关于1x 对称， 2 1 2 a ，即1a ， 2 ( )21g xxx， ( )1 ( )2
24、 g x f xx xx （2）不等式( )0f xmx可化为 2 12 ( )1m xx ， 不等式 2 12 ( )1m xx 在区间1，2上有解， 令 1 t x ，则 1 ,1 2 t， 记 2 ( )21h ttt， 1 ,1 2 t， 对称轴1t ，函数( )h t在 1 ,1 2 上单调递减， 11 ( )( ) 24 max h th， 1 4 m ， 即实数m的取值范围为(， 1 4 （3）方程 2 (|21|)20 |21| x x fk ， 即 12 |21|220 |21|21| x xx k ，化简得 2 |21|4|21| 120 xx k ， 令|21|(0) x rr，则 2 4120rrk ， 若方程 2 (|21|)20 |21| x x fk 有三个不同的实数根， 则方程 2 4120rrk ，必须有两个不相等的实数根 1 r， 2 r， 且 1 01r， 2 1r 或 1 01r， 2 1r ， 令 2 ( )412h rrrk ， 当 1 01r， 2 1r 时，则 (0)120 (1)220 hk hk ，即 1 1 2 k， 当 2 1r 时， 2 ( )43h rrr， 1 3r 舍去， 综上所述，实数k的取值范围是 1 ( 2 ，1)
