1、5.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 知识梳理知识梳理 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，),(1 2 ，(，0)，),(1 2 3 ，(2，0). (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，),(0 2 ，(，1)，),(0 2 3 ，(2，1). 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RR,| 2 kxRxx且 值域1，11，1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间 2k 2，2k 2
2、2k，2k),( 22 kk 递减区间 2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0),(0 2 k),(0 2 k 对称轴方程 xk 2 xk无 3、求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值). 4、若 f(x)As
3、in(x)(A，0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ). 5、对称与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距 离是1 4个周期. （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. （3）函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的最小正周期 T2 |，yAtan(x)的最小正周期 T |. 6、要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和的符号，尽量化成0 时情况，避免出现增减区间的混淆. 7、对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在
4、每个区间),( 22 kk(kZ)内为增函数. 知识典例知识典例 题型一 三角函数定义域 例 1 函数2 sin1yx的定义域是_ 【答案】 5 , 66 kkkZ 巩固练习巩固练习 函数tan() 4 yx 的定义域是（） A, 4 x xxR B, 4 x xxR C, 4 x xkkZ xR D 3 , 4 x xkkZ xR 【答案】D 【解析】 函数的解析式即：tan 4 yx ， 函数有意义，则： 42 xkkZ ， 解得： 3 4 xkkZ ， 据此可得函数 4 ytanx 的定义域是 3 , 4 x xkkZ xR . 本题选择 D 选项. 题型二三角函数值域 例 2已知 x
5、3 ， 2 3 ， （1）求函数 ycosx 的值域； （2）求函数 y3sin2x4cosx4 的值域 【答案】（1） 1 2 ，1（2） 1 3 ， 15 4 巩固练习巩固练习 函数 2 3 s3 4 f xin xcosx（0, 2 x ）的最大值是_ 【答案】1 【详解】 化简三角函数的解析式， 可得 22 31 1 cos3coscos3cos 44 f xxxxx 2 3 (cos)1 2 x ， 由0, 2 x ，可得cos0,1x， 当 3 cos 2 x 时，函数 ( )f x取得最大值 1 题型三 比较大小 例 3 比较下列各数的大小：sin1,sin2,sin3_. 【答
6、案】sin3sin1sin2 巩固练习巩固练习 设，0,，且，则下列不等关系中一定成立的是（） AsinsinBsinsin CcoscosDcoscos 【答案】C 【分析】 根据正弦函数以及余弦函数在0,上的单调性求解即可. 【详解】 因为，0,，且， 而 sinyx 在0,上有增有减；故sin与sin大小关系不确定， cosyx 在0,上单调递减；若，则coscos成立； 故选：C 题型四 复合函数的图象性质 例 4 （多选）已知函数 22()1 3 fxsinx ，则下列说法中正确的是（） A函数 fx的图象关于点(,0) 3 对称 B函数 fx图象的-条对称轴是 12 x C若, 3
7、 2 x ，则函数 fx的最小值为 31 D若 12 0 xx，则 12 fxfx 【答案】BC 巩固练习巩固练习 已知函数 6 fxsin x ，则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是（） A对称轴方程是 x= 6 +k（kZ） B对称中心坐标是（ 3 +k，0）（kZ） C在区间（ 2 ， 2 ）上单调递增 D在区间（， 2 3 ）上单调递减 【答案】D 【分析】 根据 6 fxsin x ，利用正弦函数的性质验证求解. 【详解】 因为 6 fxsin x ， 令 62 xkkZ ，解得 3 xkkZ ，故 A 错误； 令 6 xkkZ ，解得 6 xk ，对称中心坐标是,0 6 kkZ
8、，故 B 错误； 当, 2 2 x 时， 2 , 633 x，函数不单调，故 C 错误； 当 2 , 3 x时， 5 , 662 x，函数单调递减，故 D 正确； 故选：D 题型五 复合函数单调性 例 5函数3sin(2 ) 4 yx 的单调增区间为（） A. 3 , 88 kkkZ B. 37 2,2, 88 kkkZ C. 37 , 88 kkkZD. 3 2,2, 88 kkkZ 【答案】C 巩固练习巩固练习 函数sin2 3 yx 的单调减区间是（） A 5 22 1212 kkkZ ，B 5 1212 kkkZ ， C 511 22 1212 kkkZ ，D 511 1212 kkk
9、Z ， 【答案】B 【分析】 利用诱导公式变形,然后求出sin 2 3 yx 的增区间得答案. 【详解】 解:sin2sin 2 33 yxx , 由222 232 kxk , 得 5 , 1212 kxkkZ ， 函数sin2 3 yx 的单调减区间是 5 ,() 1212 kkkZ . 故选：B. 题型七 参数问题 例 7 若函数 cos 2f xx在区间, 4 3 上单调递增，其中有,2，则的取值范围为（） A 11 ,2 6 B 11 , 6 C 4 , 3 D 4 ,2 3 【答案】C 【分析】 直接利用整体思想的应用求出函数的单调区间，进一步利用子集间的关系求出结果. 【详解】 解
10、：函数 cos 2f xx在区间, 4 3 上单调递增， 所以222kxkkZ， 整理得 22 kxkkZ ， 故： 2432 kxk ， 所以 32 24 k k ，解得 23 22 32 kkkZ ， 当1k 时， 4 32 ， 由于 44 , 323 ， 故选：C. 巩固练习巩固练习 （多选）若函数( )sinf xx的最小正周期为4，则的值可能是（） A2B 1 2 C 1 2 D-2 【答案】BC 【分析】 根据周期公式求解即可. 【详解】 因为函数( )sinf xx的最小正周期为4 所以 221 | 42T ， 1 2 故选：BC. 巩固提升巩固提升 1、 3 sin 8 ， 3
11、 cos 8 ， 3 8 的大小关系是（） A 333 sincos 888 B 333 sincos 888 C 333 cossin 888 D 333 cossin 888 【答案】D 【分析】 首先利用诱导公式将 3 cos 8 化为sin 8 ，由正弦函数的单调性可与 3 sin 8 比较大小，接下来根据 3 1 8 ，而三角函数 值小于 1 做进一步的判断，据此可得出答案. 【详解】 由诱导公式得 33 cossinsin 8288 ，且 sinyx 在0, 2 上是单调递增函数， 因为 3 2848 ，所以 33 1sinsincos 888 ， 因为 3 1 8 ，所以 333
12、 cossin 888 . 故选：D. 2、下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间0, 2 上为增函数的是（） Asin2yxBcos2yxCtanyxDsin 2 x y 【答案】C 【分析】 利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】 解：在区间0, 2 上，20,x，sin2yx没有单调性，故排除 A. 在区间0, 2 上，20,x，cos2yx单调递减，故排除 B. 在区间0, 2 上，tanyx单调递增，且其最小正周期为，故 C 正确； 根据函数以为最小正周期，sin 2 x y 的周期为 2 4 1 2 ，可排除 D. 故选：C. 3、已知函
13、数( )3sinf xx在区间, 3 4 上的最小值为3，则的取值范围是（） A 9 6,) 2 (- ,-B 93 ,) 22 (- ,- C26,)(- ,-D 3 2 ,) 2 (- ,- 【答案】D 【分析】 由, 3 4 x 得 x 的范围，因此 2 在这个范围内，从而可得的范围 【详解】 因为, 3 4 x ，函数( )3sinf xx在区间, 3 4 上的最小值为3， 所以0时，, 34 x ，所以 32 ， 3 2 ， 0时，, 43 x ，所以 42 ，2 ， 所以的范围是 3 2 ,) 2 (- ,- 故选：D 4、 定义在R上的函数 fx既是偶函数又是周期函数， 若 fx
14、的最小正周期是， 且当 0, 2 x 时， sinf xx， 则 5 3 f 的值为() A 1 2 B 3 2 C 3 2 D 1 2 【答案】B 【解析】 分析：要求 5 3 f ，则必须用 sinf xx来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间0 2 ，上，再应用其 解析式求解 详解： f x的最小正周期是 55 2 333 fff f x是偶函数 33 ff ， 5 33 ff 当0 2 x ，时， sinf xx， 则 53 sin 3332 ff 故选B 5、函数 ( )sin(2) 3 f xx的最小正周期为（） A4B2CD 2 【答案】C 【分析】 利用正弦函数sinyx
15、的周期等于 2 T ，可得答案. 【详解】 由题意 2 2 T ， 故选：C. 6、函数5sin(2) 6 yx 图象的一条对称轴方程是（） A 12 x B0 x C 6 x D 3 x 【答案】C 【分析】 根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴, 26 k xkZ ，进而可知正确选项； 【详解】 令2 62 xk ，则,. 26 k xkZ 故选：C 7、设函数 cos 2 6 fxx ，给出下列结论： fx的一个周期为 yf x的图像关于直线 12 x 对称 yf x的图像关于点 ,0 6 对称 fx在 2 , 6 3 单调递减 其中所有正确结论的编号是（） ABCD 【答案】C 【分
16、析】 本题根据余弦型函数的性质直接求解即可. 【详解】 ： ( )f x的最小正周期为： 2 T 即T，所以正确； ： ( )f x的对称轴为：2 6 xk ，kZ即 212 k x ，kZ，所以正确； ： ( )f x的对称中心的横坐标为：2 62 xk ，kZ即 23 k x ，kZ，所以对称中心为：(,0) 23 k ， kZ，当1k 时正确； ： ( )f x的单调递减区间为：2 62 kxk ，kZ即+ 21223 kk x ，kZ，所以错误. 故选：C. 8、函数cosyx的最小正周期是（） A 4 B 2 CD2 【答案】C 9、已知函数 sin 2 6 f xx 在区间,0a上
17、单调递增，则实数a的可能值为（） A 8 B 4 C 3 8 D 2 【答案】AB 【分析】 先求出22, 66 6 xa ，再利用正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】 解：因为,0 xa ，所以22, 66 6 xa ，0a 所以 sinyx 在2, 6 6 a 单调递增，所以2 26 a ，解得 3 a ， 所以a的取值范围是0 3 ， 故选：AB. 10、已知函数 sin 2 3 f xx . （1）求 3 f 的值； （2）求 fx的最小正周期； （3）求函数 fx的单调递增区间. 【答案】（1） 3 2 ；（2）最小正周期；（3）单调递增区间为： 5 , 1212 kk ，k Z.
18、 【分析】 （1）由已知可求 3 sin 332 f 即可得解； （2）利用正弦函数的周期公式即可求解； （3）利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】 解：（1）由于函数 sin 2 3 f xx ，可得 3 sin 2sin 33332 f ； （2） fx的最小正周期 2 2 T ； （3）令222 232 kxk ，k Z，得 1212 kxk ，k Z，可得函数 fx的单调递增区 间为： 5 , 1212 kk ，k Z. 11、设函数( )sin(2),(0),( )f xxyf x图像的一条对称轴是直线 8 x . （1）求； （2）求函数( )yf x的单调递增区间; （3）画
19、出函数( )yf x在区间0,上的图像. 【答案】（1） 3 4 ；（2） 5 , 88 kkkZ ；（3）答案见解析. 【分析】 （1）由正弦函数的对数轴求出； （2）根据正弦函数性质求得增区间； （3）列表描点连线可得图象注意五点法中的特殊点和区间的端点 【详解】 解：（1） 8 x 是函数( )yf x的一条对称轴， sin 21 8 ，即, 42 kkZ 0， 3 4 （2）由（1）知 3 sin 2 4 yx 由题意得 3 222, 242 kxkkZ 5 2, 88 kxkkZ 所以函数 3 sin 2 4 yx 的单调递增区间为 5 , 88 kkkZ （3）由 3 sin 2
20、4 yx 可知 3 2 4 x 3 4 2 0 2 5 4 x0 8 3 8 5 8 7 8 y 2 2 1 01 0 2 2 故函数 3 sin 2 4 yx 在区间0,上的图像为： 12、已知函数 2cos 2 4 fxx ，xR. （1）求函数 fx的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数 fx在区间, 8 2 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 【答案】（1）；单调递增区间为 3 , 88 kkkZ ；（2）最大值为 2， 8 x ；最小值为 1， 2 x . 【分析】 （1）由周期公式得周期，结合余弦函数的增区间可求得 ( )f x的增区间； （2）求出2 4 x 的范围，利用余弦函数性质可得最值 【详解】 （1） 2cos 2 4 f xx ，所以，该函数的最小正周期为 2 2 T . 解不等式222 4 kxkkZ ，得 3 88 kxkkZ . 因此，函数 yf x最小正周期为，单调递增区间为 3 , 88 kkkZ ； （2）, 8 2 x ， 3 2 244 x . 当20 4 x 时，即当 8 x 时，函数 yf x取得最大值，即 max2f x； 当 3 2 44 x 时，即当 2 x 时，函数 yf x取得最小值，即 min 3 2cos1 4 f x .
