1、5.6 函数函数)sin(xAy 知识梳理知识梳理 1、用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x)0A0A0 2、函数 yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0，0)， x0，)表示一个振动量时 振幅周期频率相位初相 AT2 f1 T 2 x 3、函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径 4、注意 （1）由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非个单位长度. （2）函数 yAsin(x)的对称轴由xk 2(kZ)确定；对称中心
2、由xk(kZ)确定其横坐标. 知识典例知识典例 题型一 三角函数平移 例 1将函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位长度得到 g x图象，则函数的解析式是（） A sin 2 3 g xx B sin 2 6 g xx C sin 2 3 g xx D sin 2 6 g xx 【答案】C 【分析】 由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论 【详解】 由题意，将函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位长度， 可得 sin 2()sin(2) 63 g xxx . 故选 C 巩固练习巩固练习 要得到函数2sin 2 3 yx 的图象，只需将 2sin2yx 的图象
3、（） A向左平移 3 长度B向右平移 3 长度 C向左平移 6 长度D向右平移 6 长度 【答案】D 【分析】 根据三角函数的平移原则，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】 因为2sin 22s n 6 i2 3 yxx ， 因此要得到函数2sin 2 3 yx 的图象，只需将 2sin2yx 的图象向右平移 6 单位. 故选：D. 题型二 三角函数解析式求解 例 2函数 cos 2 f xAx 的部分图象如图所示则（） A 2cos 2 3 f xx B 2cos 2 3 f xx C 2cos 2 6 f xx D 2cos 2 6 f xx 【答案】A 【分析】 由图象可知2A ，周期
4、T,即可求出，再代入点即可求出. 【详解】 由图象可知2A ， 5 42 126 T ， 当 6 x 时，函数取得最大值，所以 22 6 k，kZ， 因为 2 ，所以 3 故选：A 巩固练习巩固练习 已知函数 sin0, 2 f xx 的部分图象如图所示，若 2 23 ff ，则（） A2， 6 B 5 3 ， 5 18 C2， 3 D 5 3 ， 6 【答案】C 【分析】 由图象结合三角函数的性质可得T，即可得，再代入特殊点即可得. 【详解】 由图象可得函数的最小正周期T满足 7 66 T ， 所以该函数图象在 y 轴右侧的第一个对称轴 648 T x ， 又 2 23 ff ， 所以该函数
5、图象在 y 轴右侧的第二个对称轴 127 2 2312 x ，且 7 1 12 f ， 所以函数的最小正周期T满足 373 41264 T 即T， 所以 2 2 T ， sin 2f xx， 所以 77 sin 21 1212 f ，所以 73 2, 62 kkZ ， 又 2 ，所以 3 . 故选：C. 题型三 三角函数图象变换 例 3为了得到函数 2sin(), 36 x yxR的图象，只需把函数2sinyx，xR的图象上所有的点（） A向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 1 3 倍（纵坐标不变） B向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 3
6、倍（纵坐标不变） C向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 【答案】C 【分析】 按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案. 【详解】 对于A， 把函数2sinyx，xR的图象上所有的点向左平移 6 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 1 3 倍（纵坐标不变）得到函数2sin(3) 6 yx 的图象，故A不正确； 对于B， 把函数2sinyx，xR的图象上所有的点向右平移 6 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 1 3 倍
7、（纵坐标不变）得到函数2sin(3) 6 yx 的图象，故B不正确； 对于C， 把函数2sinyx，xR的图象上所有的点向左平移 6 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）得到函数 1 2sin() 36 yx 的图象，故C正确； 对于D， 把函数2sinyx，xR的图象上所有的点向右平移 6 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）得到函数 1 2sin() 36 yx 的图象，故D不正确. 故选：C. 巩固练习巩固练习 （多选）已知曲线 1 C： cosyx ， 2 C： 2 sin 2 3 yx ，则下面结论正确的是（） A把曲线 1
8、 C向左平移 6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到曲线 2 C B 把曲线 1 C向左平移 3 个单位长度， 再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 得到曲线 2 C C把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C D把曲线 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲 线 2 C 【答案】AD 【分析】 先利用诱导公式把 2 sin 2 3 yx 化简得， 2 sin
9、2cos 2 36 yxx ，然后利用三角函数图像变换规律 求解即可 【详解】 解： 2 sin 2sin 2cos 2 3266 yxxx ， 所以将曲线 1 C： cosyx 向左平移 6 个单位长度，得cos 6 yx ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来 的 1 2 倍（纵坐标不变），得到曲线cos 2 6 yx ； 或将曲线 1 C： cosyx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到cos2yx，再把得到的曲线向左 平移 12 个单位长度，得到cos 2cos 2 126 yxx ， 故选：AD 题型四 三角函数 例 4（多选）函数( )cos()f xx0
10、, 2 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（） A B 3 C 3 4 x 是函数的一条对称轴D 1 (,0) 4 k是函数的对称轴心 【答案】ACD 【分析】 根据函数图象先求出( )cos()f xx的表达式，再对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】 由函数的图象有 1 1 2 T ,则 2T ，即 2 2T ，所以，则 A 正确. 由图象可得， 11 ( )cos()=0 44 f， 所以 1 2. 42 kkZ ，即2. 4 kkZ ,由 2 ， 所以 4 ，即( )cos() 4 f xx ,所以 B 不正确. 所以函数 ( )f x的对称轴为：. 4 xkkZ ，即 3
11、. 4 xkkZ 当时， 3 4 x 是函数 ( )f x的一条对称轴，所以 C 正确. 所以函数 ( )f x的对称中心满足：. 42 xkkZ ，即 1 . 4 xkkZ 所以函数 ( )f x的对称轴心为 1 (,0) 4 k，kZ，所以 D 正确. 故选：ACD 巩固练习巩固练习 下图是函数( )sin()f xAx（其中0A，0，0 | x）的部分图象，下列结论正确的是（） A函数 12 yfx 的图象关于原点对称 B函数 fx的图象关于点,0 12 对称 C函数 fx在区间, 3 4 上单调递增 D方程( )1f x 在区间 23 , 1212 上的所有实根之和为 8 3 【答案】
12、ABD 【分析】 根据函数图象求出 ( )f x的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 【详解】 由已知，2A ， 25 43124 T ，因此T， 2 2 ， 所以( )2sin(2)f xx，过点 2 , 2 3 ， 因此 43 2 32 k ，k Z，又0 |， 所以 6 ，( )2sin 2 6 f xx ， 对 A，2sin2 12 yfxx 图象关于原点对称，故 A 正确； 对 B，当 12 x 时，0 12 f ，故 B 正确； 对 C，由222 262 kxk ，有 36 kxk ，k Z故 C 不正确； 对 D，当 23 1212 x 时，20,4 6 x ，所以1y
13、与函数 yf x有 4 个交点令横坐标为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 1231 78 22 663 xxxx ，故 D 正确. 故选：ABD. 巩固提升巩固提升 1、要得到函数sin 2 3 yx 的图象，只需将函数sin2yx的图象（） A向右平移 6 个单位B向右平移 3 个单位 C向左平移 3 个单位D向左平移 6 个单位 【答案】D 【分析】 直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】 解：函数sin 2sin 2 36 yxx ， 要得到函数sin 2 3 yx 的图象， 只需将函数sin2yx的图象向左平移 6 个单位 故选：D 2、将函数sin 2y
14、x的图象沿轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( ) ABC0D 4 【答案】B 【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 2 84 yxx ，显然. 4 3、将函数2sin 2 3 yx 图象上的点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为 （） A 2 2sin 4 3 yx B2sin 4 3 yx C2sin 6 yx D2sin 3 yx 【答案】D 【分析】 根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果. 【详解】 函数2sin 2 3 yx 图象上的点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标保持不变， 所得函数图像的解析式为2
15、sin 3 yx . 故选：D 4、若函数sin0yx的部分图象如图，则 = （ ） A5B4 C3D2 【答案】B 【详解】 由题中图象可知 00 42 T xx . 2 T . 2 2 .4.故选 B. 5、函数( )sin()(0,0,02 )g xAxA的部分图象如图所示，已知 5 (0)3 6 gg ，函数 ( )yf x的图象可由( )yg x图象向右平移 3 个单位长度而得到，则函数 ( )f x的解析式为（ ） A( )2sin2f xxB2 n 2) 3 (sif xx C( )2sin2f xx D( )2sin 2 3 f xx 【答案】A 【分析】 根据图象可得周期，根
16、据周期可得2，根据 5 (0) 6 gg 可得( )g x在 5 12 x时取最小值，由此可求得 2 3 ，根据图象过点(0, 3)，可得2A ，再根据平移变换可得结果. 【详解】 由图象可知最小正周期： 5 0 6 4 26 T ， 2 2 T ， 又( )g x在 5 12 x时取最小值， 5 22() 122 kkZ ， 4 2() 3 kkZ . 又02， 2 3 ， 2 ( )sin 2 3 g xAx . 又图象过点(0, 3)， 2 sin3 3 A，2A . 2 ( )2sin 2 3 g xx ， 把( )g x图象向右平移 3 个单位后得到函数 ( )f x， 2 ( )2
17、sin 22sin2 33 f xxx . 故选：A. 6、函数 sinfxx0, 2 的图象如图所示，为了得到sinyx的图象，只需把 yf x的图 象上所有点（） A向右平移 6 个单位长度B向右平移 12 个单位长度 C向左平移 6 个长度单位D向左平移 12 个长度单位 【答案】A 【分析】 先看图得到 yf x的解析式，再利用平移得到结果即可. 【详解】 看图可知周期满足 7 41234 T ，故T， 2 2 T ， 又 7 12 x 时取得最小值-1，故 73 2 122 ， 3 ，即 sin 2 3 f xx ， 所以将 sin 2 6 f xx 向右平移 6 个单位，得到sin
18、2yx. 故选：A. 7、将函数)sin()(xxf（0， 22 ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再 向右平移 6 个单位长度得到 sinyx 的图象，则 6 f _. 【答案】 2 2 【分析】 根据函数 sin()yAx 的图象变换规律，求得 ( )f x的解析式，可得 6 f 的值 【详解】 解：将函数 ( )sin()(0f xx ， 22 ） 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得 sin(2)yx 的图象， 再向右平移 6 个单位长度得到sin(22)sin 6 yxx 的图象， 21，且22 6 k ，kZ， 解得 1 2 ， 6 ，函数 1
19、( )sin 26 f xx ， 2 sin 642 f ， 故答案为： 2 2 8、先将函数sin 3 yx 的图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移 4 个单 位，则可得变换后图象的函数解析式为_. 【答案】 15 sin 224 yx 【分析】 利用三角函数的平移变换和伸缩变换，即可得出答案. 【详解】 将函数sin 3 yx 的图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 1 sin 23 yx 的图象，再将 所得图象向右平移 4 个单位，得出 115 sinsin 232244 yxx 的图象 故答案为： 15 sin 224 yx
20、9、（多选）将函数 2sin 2 3 f xx 的图象向右平移 4 个单位长度后，所得图象对应的函数为 yg x，则下 列结论正确的是（） A函数 g x的图象关于直线 3 x 对称 B函数 g x的图象关于点,0 3 对称 C函数 g x在 5 , 24 24 上单调递减 D函数 g x在0,2上恰有 4 个极值点 【答案】AD 【分析】 先根据图象变换得 yg x，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可作出选择. 【详解】 将函数 2sin 2 3 f xx 的图象向右平移 4 个单位长度后得 2sin 2()cos(2) 433 g xxx 因为()1 3 g ，所以函数
21、g x的图象关于直线 3 x 对称，即 A 正确； 因为 1 () 32 g ，所以函数 g x的图象不关于点,0 3 对称，即 B 错误； 因为 53 ,2, 24 24344 xx ，所以函数 g x单调递增，即 C 错误； 因为0,2,2,4 333 xx ， 所以当2,2 ,3 ,4 3 x 时函数 g x取得极值， 即函数 g x在0,2 上恰有 4 个极值点，D 正确； 故选：AD 10、（多选）将函数( )3sin2cos2f xxx的图像向左平移 6 个单位后，得到函数( )g x的图像，则下列结论正确 的是（） A( )2sin2g xxB( )g x最小正周期为 C( )g
22、 x的图象关于 3 x 对称D( )g x在区间, 6 6 上单调递增 【答案】BCD 【分析】 由题意，利用函数 sin()yAx 的图象变换规律，求得( )g x的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论 【详解】 将函数( )3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 的图象向左平移 6 个单位后， 得到函数( )2sin 2 6 g xx 的图 象， 对 A，函数( )2sin2g xx，故 A 错误； 对 B，最小正周期为 2 2 ，故 B 正确； 对 C，当 3 x ，求得( )2g x 为最小值，故( )g x的图象关于直线 3 x 对称，故 C 正确； 在区间, 6
23、6 上，2, ( )2sin 2 66 26 xg xx 单调递增，故 D 正确， 故选：BCD 11、已知函数 cos0,0,f xAxA的部分图象如图所示. （1）求 fx的解析式及对称中心坐标； （2）先将 fx的图象纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，再向右平移 12 个单位，最后将图象向上平移 1 个单位后得到 g x 的图象，求函数 yg x在 3 , 124 x 上的单调减区间和最值. 【答案】（1） 2cos 2 6 f xx ；对称中心为 2 ,0 32 k ，kZ；（2）减区间是： 42 3 , ； g x有最 大值2， g x有最小值 3 1 2 . 【分析】 （1）根据最大
24、值可得A，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得 ( )f x的 对称中心； （2）根据图象变换的结论可得( )yg x的解析式，根据余弦函数的递增区间可得( )yg x在 3 , 124 x 上的单调 减区间，根据余弦函数的图象可得在 3 , 124 x 上的最值. 【详解】 （1）由所给图象知：2A ； 35 4123 T ，T， 2 ，2， 2cos 2f xx，把点 5 ,2 12 代入得： 5 cos1 6 ， 即 5 2 6 k ，kZ，又， 5 6 ， 2cos 2 6 f xx ； 由 5 2 62 xk ，kZ，得 23 k x ，kZ， 所以
25、( )f x的对称中心为 2 ,0 32 k ，kZ. （2）易知 115 ( )12cos 21 2122126 g xfxx . 化简得( )cos21g xx ， 当 3 , 124 x 时， 由222kxk ，kZ， 得 2 kxk ， 所以( )g x的单调递减区间是： 42 3 , ； 当 3 , 124 x 时， 3 2, 62 x ，当2x，即 2 x 时， g x有最大值，最大值为112 ，当2 6 x ， 即 12 x 时， g x有最小值，最小值为 3 cos 211 122 . 12、函数( )sin()0,0,| 2 f xAxA 的部分图象如图所示 （1）求函数 ( )f x的解析式 （2）将( )yf x的图象向右平移 6 个单位后得到新函数( )g x的图象，求函数( )g x的解析式 【答案】（1）( )sin 2 6 f xx ；（2）( )sin 2 6 g xx . 【详解】 （1）由所给图象可知1A ， 3113 41264 T ， 所以T， 2 2 由sin 21 6 ，| 2 得 32 ，解得 6 ，所以( )sin 2 6 f xx （2）将函数( )sin 2 6 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 ( )sin 2sin 2 666 g xxx
