1、不等式复习测试二不等式复习测试二 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1若函数 2 1yxkx的图象与x轴没有交点，则k的取值范围是() A(2,)B(, 2) C(，2)(2，)D( 2,2) 2如果0ab，那么下列不等式中恒成立的是() A0baBacbcC 11 ab D 33 ba 3若函数 2 ( )44f xxxm在区间3，5)上有零点，则m的取值范围是() A(0,4)B4，9)C1，9)D1，4 4若二次函数( )(2)(4)f xa xx的图象经过点(0, 4)，则函数( )f x的最小值为() A4B5C 9 2 D 13 2 5已知 2 1( 0) aa ma
2、a ，1(0)nxx，则m、n之间的大小关系是() AmnBmnCmnDm n 6已知动点( , )a b的轨迹为直线:1 24 xy l在第一象限内的部分，则ab的最大值为() A1B2C2 2D4 7已知正数x，y满足1xy，则 14 1xy 的最小值为() A5B 14 3 C 9 2 D2 8已知不等式 2 0axbxc的解集是 |xx，0，则不等式 2 0cxbxa的 解集是() A 1 1 (,) B(， 11 )( ，) C( ,) D(，( ,) 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列大小顺序正确的是() A 311 422 11 ( )( ) 33 B 2 545
3、 log 4log 5(log 3) C 22 22 abab ，(0,0)abD 2 2 22 3 1 x x ，(1)x 10下列说法正确的是() A 1 x x 的最小值为 2B 2 1x 的最小值为 1 C3 (2)xx的最大值为 2D 2 2 7 2 x x 最小值为2 72 11下列命题中正确的是() A 1 (0)yxx x 的最大值是2 B 2 2 3 2 x y x 的最小值是 2 C 4 23(0)yxx x 的最大值是24 3 D 4 (1) 1 yxx x 最小值是 5 12已知正数x，y，z满足3212 xyz ，下列结论正确的有() A623zyxB 121 xyz
4、 C(32 2)xyzD 2 8xyz 三填空题（共三填空题（共 5 小题）小题） 13已知正实数a，b满足22ab，则 41 ()()ab ab 的最小值为 14若关于x的不等式 22 2830axxa的解集为(，1)(m，)，则实数m的取 值为 15已知21xy，且x，yR，则 14 xy 的最小值为 16若01x，则函数 42 (1)yxx的最大值是，此时x 四解答题（共四解答题（共 9 小题）小题） 17已知函数 2 ( )21f xxaxa ，aR （）若2a ，试求函数 ( ) (0) 2 f x yx x 的最小值； （）对于任意的0 x，2，不等式( )f xa成立，试求a的取
5、值范围； （）存在0a，2，使方程( )2f xax 成立，试求x的取值范围 18已知 22 ( )2f xxaxa，()aR （1）若( )9f x 恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式( )0f x 19已知函数 4 ( ) 2 f xx x （1）当2x 时，求函数( )f x的最小值； （2）若存在(2,)x，使得( ) 93 tt f x成立，求实数t取值范围 20设函数 2 ( )(1)1f xmxmx （1）若对任意的xR，均有( )0f xm成立，求实数m的取值范围； （2）若0m ，解关于x的不等式( )0f x 21已知函数 2 ( )(23)6()f xa
6、xaxaR （1）当1a 时，求函数( )yf x的零点； （2）解关于x的不等式( )0(0)f xa； （3）当1a 时，函数( )(5)3f xmxm在 2，2有解，求实数m的取值范围 22设二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a，集合 |( )Ax f xx （1）若1A ，2，(0)0f，且方程( )0f x 的两根都小于1，求实数a的取值范围； （2）若2A ，求函数( )f x在区间 2，2上的最大值M（结果用a表示） 不等式复习测试二不等式复习测试二 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1若函数 2 1yxkx的图象与x轴
7、没有交点，则k的取值范围是() A(2,)B(, 2) C(，2)(2，)D( 2,2) 【分析】根据二次函数的性质求出k的范围即可 【解答】解：由题意得： 2 40k，解得：22k ， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是一道常规题 2如果0ab，那么下列不等式中恒成立的是() A0baBacbcC 11 ab D 33 ba 【分析】由已知条件，可直接判断选项C正确 【解答】解：0ab， 11 0 ab 故选：C 【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题 3若函数 2 ( )44f xxxm在区间3，5)上有零点，则m的取值范围是() A(0,4)B4，9)C1
8、，9)D1，4 【分析】判断出在区间3，5)上单调递增， (3) 0 (5)0 f f 得出即 10 90 m m 即可 【解答】解：函数 2 ( )44f xxxm，对称轴2x ， 在区间3，5)上单调递增 在区间3，5)上有零点， (3) 0 (5)0 f f 即 10 90 m m 解得：19m ， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题 4若二次函数( )(2)(4)f xa xx的图象经过点(0, 4)，则函数( )f x的最小值为() A4B5C 9 2 D 13 2 【分析】由题意可得4(02)(04)a，解得 1 2 a ，可求函数解析式为 2
9、 1 ( )4 2 f xxx， 利用二次函数的性质可求其最小值 【解答】解：二次函数( )(2)(4)f xa xx的图象经过点(0, 4)， 4(02)(04)a ， 1 2 a， 所求函数解析式为： 1 ( )(2)(4) 2 f xxx，即 2 1 ( )4 2 f xxx， 函数( )f x的最小值为f（1） 9 2 故选：C 【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，考查了函数思想的应用，属于基础题 5已知 2 1( 0) aa ma a ，1(0)nxx，则m、n之间的大小关系是() AmnBmnCmnDm n 【分析】利用基本不等式求出m的最小值，一次函数的性质判断n的最大值
10、，然后比较大小 即可 【解答】解：因为0a ， 2 111 1 211 aa maa aaa 当且仅当1a 时去等号， 0 x ， 11nx ； mn； 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用 6已知动点( , )a b的轨迹为直线:1 24 xy l在第一象限内的部分，则ab的最大值为() A1B2C2 2D4 【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果 【解答】解：动点( , )a b的轨迹为直线:1 24 xy l在第一象限内的部分， 所以1 24 ab ， 由基本不等式12 242 4 aba b ，解得2ab， 当且仅当 1 242 a
11、b 时，等号成立，故ab的最大值为 2 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题 7已知正数x，y满足1xy，则 14 1xy 的最小值为() A5B 14 3 C 9 2 D2 【分析】由1xy得(1)2xy，再将代数式(1)xy与 14 1xy 相乘，利用基本不等 式可求出 14 1xy 的最小值 【解答】解：1xy，所以，(1)2xy， 则 14144141 2()(1)()5 259 1111 xyxy xy xyxyyxyx ， 所以， 149 12xy ， 当且仅当 41 1 1 xy yx xy ，即当 2
12、 3 1 3 x y 时，等号成立， 因此， 14 1xy 的最小值为 9 2 ， 故选：C 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属 于中等题 8已知不等式 2 0axbxc的解集是 |xx，0，则不等式 2 0cxbxa的 解集是() A 1 1 (,) B(， 11 )( ，) C( ,) D(，( ,) 【分析】根据不等式 2 0axbxc的解集得出，是一元二次方程 2 0axbxc的实 数根，得出和 的关系，把不等式 2 0cxbxa化为 2 ()10 xx ，求 出解集即可 【解答】解：不等式 2 0axbxc的解集是 |(0)xx， 则，是
13、一元二次方程 2 0axbxc的实数根，且0a ； b a ， c a ； 不等式 2 0cxbxa化为 2 10 cb xx aa ， 2 ()10 xx ； 化为(1)(1)0 xx； 又0， 11 0 ； 不等式 2 0cxbxa的解集为： 11 |xx ， 故选：A 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系， 是 中档题 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列大小顺序正确的是() A 311 422 11 ( )( ) 33 B 2 545 log 4log 5(log 3) C 22 22 abab ，(0,0)abD 2 2 22
14、3 1 x x ，(1)x 【分析】由题意利用函数的单调性判断A正确B不正确；再利用用基本不等式、用作差比 较法判断C、D正确，从而得出结论 【解答】解： 1 ( ) 3 x y 是R上的减函数， 31 0 42 ， 31 42 11 ( )( )1 33 ， 1 2 1， 311 422 11 ( )( ) 33 ，故A正确 4 log 51，而 2 5 0(log 3)1，故 2 45 log 5(log 3)，故B错误 0a ，0b ， 2222222 2 22(2)() ()0 2244 abababababab ， 22 2 () 22 abab ， 22 22 abab ，故C正确
15、 1x ，10 x ， 2 2 22 3 1 x x ，等价于 2 2 (22 3)(22 3)xx， 等价于 222 (22 3)(13)(13)42 3xx， 等价于 2 (13)0 x 而显然成立，故D正确， 故选：ACD 【点评】本题主要考函数的单调性、基本不等式的应用，用比较法比较两个数的大小，属于 中档题 10下列说法正确的是() A 1 x x 的最小值为 2B 2 1x 的最小值为 1 C3 (2)xx的最大值为 2D 2 2 7 2 x x 最小值为2 72 【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，选出正确选项 【解答】解：当0 x 时， 1 0 x x ，故
16、选项A错误； 2 1 1x ，选项B正确； 2 3 (2)3(1)3 3xxx ，当1x 时取“，故3 (2)xx的最大值为 3，选项C错 误； 222 222 777 (2)2 2 (2)22 72 222 xxx xxx （当且仅当 2 2 7 2 2 x x 时取“)，选项D正确 故选：BD 【点评】本题主要考查不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题 11下列命题中正确的是() A 1 (0)yxx x 的最大值是2 B 2 2 3 2 x y x 的最小值是 2 C 4 23(0)yxx x 的最大值是24 3 D 4 (1) 1 yxx x 最小值是 5 【分析】利用基本不等式逐
17、个选项验证其正误即可 【解答】解：0 x ， 1 2x x ，即 1 2x x ，当且仅当1x 取“，故选项A 正确； 2 2 22 31 22 22 x yx xx ， 当 且 仅 当 2 21x 时 取 “ ， 矛 盾 ， 2 2 3 2 2 x y x ，故选项B错误； 0 x ， 4 32 124 3x x ，当且仅当 2 3 3 x 时取“， 4 2324 3yx x ， 故选项C正确； 1x ，10 x ， 44 (1)1 2 415 11 yxx xx ， 当且仅当3x 时取 “， 故选项D正确； 故选：ACD 【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题 12已
18、知正数x，y，z满足3212 xyz ，下列结论正确的有() A623zyxB 121 xyz C(32 2)xyzD 2 8xyz 【分析】A由3212 xyz 取对数得3212xlnylnzln，然后找到x、y、z的关系，计 算3x与2y、3x与6z的比值即可； B根据3212xlnylnzln表示出2ln、3ln、12ln，再根据这三者的等量关系，列出等式 化简； C根据 121 zyx ，使用柯西不等式即可证明； D由3212xlnylnzln得 1212 , 31 2 xlnyln zlnzn ，将二者相乘后利用基本不等式证明即可 【解答】解：A由3212 xyz 取对数得3212x
19、lnylnzln， 设3212(0)xlnylnzlnk k， 则3,2, 12 kkk lnlnln xyz ， 33 28 1 22 39 xlnln ylnln ，即32xy， 31212 1 622 39 xxlnln zzlnln ，即36xz， 632zxy， 故A错误； B1234322lnlnlnlnln， 2kkk zyx ，即 121 zyx ， 故B正确； C由柯西不等式可知 2 12 ()() (12)xy xy ， 32 2 xy z ，即(32 2)xyz， 故C正确； D由3212xlnylnzln可知 1212 , 31 2 xlnyln zlnzn ， 2 2
20、 1212( 32 2)43 2 2 8 323232 xylnlnlnlnlnln zlnlnlnlnlnln ， 即 2 8xyz， 故D正确 故选：BCD 【点评】本题需要将已知条件3212 xyz 取对数，然后变形，本题还利用了柯西不等式和 基本不等式，考查学生对对数运算的掌握，属于中档题 三填空题（共三填空题（共 5 小题）小题） 13已知正实数a，b满足22ab，则 41 ()()ab ab 的最小值为 25 2 【分析】由222 2abab，可得 1 2 ab， 2222222 4141()44()(2 )448 ()()4 abababababab abab ababababa
21、b 令abt，(0t， 1 2 根据函数 8 ( )4f tt t 在 1 (0, ) 2 单调递减，即可求解 【解答】解：正实数a，b满足22ab， 222 2abab ，可得 1 2 ab， 则 2222222 4141()44()(2 )448 ()()4 abababababab abab ababababab ， 令abt，(0t， 1 2 即有 88 44abt abt ， 又函数 8 ( )4f tt t 在 1 (0, ) 2 单调递减， 125 ( )( ) 22 f tf 故答案为： 25 2 【点评】本题考查了均值不等式的应用，考查了函数思想、转化思想，属于中档题 14若
22、关于x的不等式 22 2830axxa的解集为(，1)(m，)，则实数m的取 值为3 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的解，利用根与系数的关系求出m和a的值 【解答】解：不等式 22 2830axxa的解集为(，1)(m，)， 所以1和m是方程 22 2830axxa的解，且0a ； 由根与系数的关系知， 4 1 3 1 2 m a a m ， 解得3m ，2a ， 所以实数m的值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 15已知21xy，且x，yR，则 14 xy 的最小值为64 2 【分析】直接利用不等式的性质和基本关系式的应
23、用求出结果 【解答】解：由于： 141488 ()(2)24 6264 2 yxyx xy xyxyxyxy （当且仅 当 21, 22 2 xy 等号成立） 故答案为：64 2 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，不基本关系式的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题 16若01x，则函数 42 (1)yxx的最大值是 4 27 ，此时x 【分析】将原函数式化为 42222 11 (1)4(1) 22 yxxxxx后，利用基本不等式求解即可 【解答】解： 222 422223 11 1 114 22 (1)4(1) 4() 22327 xxx yxxxxx ， 当
24、且仅当 22 1 1 2 xx ，即 6 3 x 时，等号成立 函数 42 (1)yxx的最大值是 4 27 ，此时 6 3 x 【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题 四解答题（共四解答题（共 9 小题）小题） 17已知函数 2 ( )21f xxaxa ，aR （）若2a ，试求函数 ( ) (0) 2 f x yx x 的最小值； （）对于任意的0 x，2，不等式( )f xa成立，试求a的取值范围； （）存在0a，2，使方程( )2f xax 成立，试求x的取值范围 【分析】 （）对式子变形后，利用基本不等式即可求得结果； （）先由题设把问题转化为： 2
25、21 0 xax 对于任意的0 x，2恒成立， 构造函数 2 ( )21g xxax，0 x，2，利用其最大值求得a的取值范围； （）由题设把问题转化为：方程 2 1ax 在0a，2有解，解出x的范围 【解答】解： （）当2a 时， 2 ( )41111 ()2221 2222 f xxx yx xxx （当且仅 当1x 时取“)， 1 min y ； （）由题意知： 2 21xaxa a 对于任意的0 x，2恒成立， 即 2 21 0 xax 对于任意的0 x，2恒成立， 令 2 ( )21g xxax，0 x，2， 则 (0)1 0 (2)340 g ga ，解得： 3 4 a， a的取值
26、范围为 3 4 ，)； （）由( )2f xax 可得： 2 10 xa ， 即 2 1ax ， 0a，2， 2 0 12x， 解得：11x ， 即x的取值范围为 1，1 【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法，属于中档题 18已知 22 ( )2f xxaxa，()aR （1）若( )9f x 恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式( )0f x 【分析】 （1）根据不等式恒成立可得 22 4( 29)0aa，解得即可； （2）原不等式可化为为(2 )()0 xa xa，分类解得即可 【解答】 解：（1）( )9f x 恒成立， 即 22 290 xax
27、a恒成立， 要 22 4( 29)0aa， 解得22a ， 故a的取值范围为( 2,2)； （2）原不等式可化为为(2 )()0 xa xa， 当0a 时，解得xa 或2xa， 当0a 时，解得0 x ， 当0a 时，解得2xa或xa ， 综上所述：当0a 时，不等式的解集为(，)(2aa，)， 当0a 时，不等式的解集为(，0)(0，)， 当0a 时，不等式的解集为(，2 )(aa，) 【点评】 本题考查了不等式恒成立和问题和一元二次不等式的解集问题， 考查了运算和求解 能力，属于基础题 19已知函数 4 ( ) 2 f xx x （1）当2x 时，求函数( )f x的最小值； （2）若存在
28、(2,)x，使得( ) 93 tt f x成立，求实数t取值范围 【分析】 （1）由已知结合基本不等式即可直接求解， （2）问题转化( )93 tt max f x成立，利用换元法后结合二次函数的性质可求 【解答】解： （1） 44 ( )22 22 f xxx xx ， 因为2x ，所以 4 20,0 2 x x ， 44 22 (2)4 22 xx xx （当且仅当 4 2 2 x x 即4x 时取等号） ， 所以( ) 6f x ，即函数( )f x的最小值为 6，此时4x ， （2）存在(2,)x，使得( ) 93 tt f x成立， 所以( )93 tt min f x， 即936
29、tt ，则(33)(32) 0 tt ， 解得1t 【点评】 本题主要考查了基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化， 体 现了转化思想的应用 20设函数 2 ( )(1)1f xmxmx （1）若对任意的xR，均有( )0f xm成立，求实数m的取值范围； （2）若0m ，解关于x的不等式( )0f x 【分析】 （1）问题转化为 2 (1)1 0mxmxm 对任意的xR成立，结合二次函数的性质 求出m的范围即可； （2）问题转化为(1)(1)0 xmx，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可 【解答】解： （1）由题意得，( )0f xm对任意的xR成立， 即 2 (1)1
30、0mxmxm 对任意的xR成立， 当0m 时，显然不符合题意； 当0m 时，只需 0 0 m ，解得 1 3 m， 综上： 1 3 m （2）由( )0f x 得 2 (1)10mxmx ， 即(1)(1)0 xmx， 当1m 时，解集为， 当1m 时，解集为 1 (,1) m ， 当01m时，解集为 1 (1,) m 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题 21已知函数 2 ( )(23)6()f xaxaxaR （1）当1a 时，求函数( )yf x的零点； （2）解关于x的不等式( )0(0)f xa； （3）当1a 时，函数( )(5)3f xmxm
31、在 2，2有解，求实数m的取值范围 【分析】 （1）把1a 代入( )f x，然后结合函数零点的定义可求， （2）由已知可得(3)(2)0axx，然后结合a的范围进行分类讨论，结合二次不等式的求 法可求； （3）由已知可转化为 2 30 xmxm在 2，2有解，从而转化为求解函数的最小值， 结合二次函数闭区间上最值的求解可求 【解答】解： （1）当1a 时， 2 ( )56(2)(3)f xxxxx， 所以，函数( )yf x的零点为 2，3， （2）由 2 ( )(23)60f xaxax可得(3)(2)0axx， 当 3 0 2 a时，解得 3 2x a ， 当 3 2 a 时，x不存在，
32、 当 3 2 a 时，解得 3 2x a ， 综上，当 3 0 2 a时，不等式的解集 3 |2xx a ， 当 3 2 a 时，不等式的解集， 当 3 2 a 时，不等式的解集 3 |2xx a ； （3）1a 时，( )(5)3f xmxm在 2，2有解， 即 2 30 xmxm在 2，2有解， 因为 2 3yxmxm的开口向上，对称轴 2 m x ， 2 2 m 即4m，2x 时，函数取得最小值4230mm即 7 3 m， 4m ， 22 2 m 即44m 时， 当 2 m x 取得最小值， 此时 2 30 4 m m， 解得24m， 当2 2 m 即4m时，当2x 时取得最小值，此时4
33、230mm， 解得7m， 综上，2m或7m 【点评】本题主要考查了函数零点的定义，含参不等式的求解，还考查了二次不等式的最值 求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用 22设二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a，集合 |( )Ax f xx （1）若1A ，2，(0)0f，且方程( )0f x 的两根都小于1，求实数a的取值范围； （2）若2A ，求函数( )f x在区间 2，2上的最大值M（结果用a表示） 【分析】 （1）由条件知1x ，2 是方程( )f xx的两个实根，根据根与系数的关系可以得出 a，b，c的关系式，再由( )0f x 的两根两根都小于1，列出满足的不等式，解出
34、a的取 值范围即可 （2）由条件知1x 是方程( )f xx的两个实根，根据根与系数的关系可以得出a，b，c的 关系式，所以函数( )f x变为只含字母a的解析式，问题转换为含参数的一元二次函数在定 区间上的最值问题 【解答】解： （1）因为1A ，2，所以 1，2 是 2 (1)0axbxc的两根， 1 3 2 b a c a 解得 13 2 ba ca ；(0)020fca ，即0a ， 又因为方程( )0f x 的两根都小于1，所以 0 1 2 ( 1)0 b a fabc ； 即 22 (13 )80 132 (13 )20 aa aa aaa ，解得 1 32 2 6 a； （2）因为2A ，故 1 4 4 b a c a ，解得 14 4 ba ca 所以 2 ( )(14 )4f xaxa xa，对称轴为 411 2 22 a x aa ， 当0a 时，则2x ，( )f x在 2，2上单调递增，所以( )maxf xf（2）2； 当 1 0 4 a时，则0 x ，所以( )maxf xf（2）2； 当 1 4 a时，则02x ，所以( )( 2)162 max f xfa 综上： 1 2,00 4 ( ) 1 162, 4 max aa f x aa 或 【点评】本题考查了含参数的一元二次方程根与系数的关系，根的分布问题，及动轴定区间 问题，属于中档题
