1、4.1函数的奇偶性 激趣诱思知识点拨 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或 配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础, 是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样 式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道 德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、 抒情、娱乐、交往等多重社会价值. 折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便, 尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美 的享受. 我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现 象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些 对
2、称方式? 激趣诱思知识点拨 一、奇、偶函数的定义 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性. 激趣诱思知识点拨 名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看” (1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意xA,-xA,定义 域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 如f(x)=x2,xR是偶函数,但f(x)=x2,x-1,2既不是奇函数,也不是 偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系: f(-x)=f(x)f(x)是偶函数; f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数; f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数,也不
3、是偶函数; f(-x)=f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即 f(x)=0,xD,且D关于原点对称. 激趣诱思知识点拨 2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论: 注意:上述表格中不考虑f(x)g(x)=0;fg(x)中,需xG,g(x)F. 激趣诱思知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.() (2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.() (3)若f(-2)=f(2),则f(x)
4、(xR)是偶函数.() (4)若f(x)(xR)是偶函数,则f(-2)=f(2).() (5)若f(2)f(-2),则f(x)(xR)不是偶函数.() (6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR).() 激趣诱思知识点拨 答案: (1)(2)(3)(4)(5)(6) 解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数, 故(1)错误; f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确; 对任意xR,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值 相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确; 为了
5、说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确; f(x)=0,定义域为-1,1,该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误. 激趣诱思知识点拨 微思考 已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0D,f(0)是否为定值? 提示:f(x)为奇函数,对任意xD,f(-x)=-f(x),f(-0)=-f(0),即 f(0)=0,为定值. 激趣诱思知识点拨 二、函数奇偶性与单调性的关系 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关 于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同 偶异”. 2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值 时的自变量的值互为
6、相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得 的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数. 激趣诱思知识点拨 名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的 “局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函 数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性. 2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数 是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴 对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两 部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个 定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就
7、 得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在 一起才能更好地了解函数的特征. 激趣诱思知识点拨 微练习 若奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,则它在2,6上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最大值是-1 D.减函数且最小值是-1 答案:C 解析:奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,函数f(x)在 2,6上是减函数且最大值是-1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性: 分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数 的定义域,看其是否关于
8、原点对称,如果定义域关于原点对称,再判 断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始 化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0 时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,故f(x)既不是奇函 数又不是偶函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=- f(x),f(x)是奇函数. 函数的定义域为-1,1,关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=0,故f(
9、x)既是奇函数又是偶函数. (4)函数的定义域关于原点对称. (方法一)当x0时,-x0, f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x). 当x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x).f(-x)=-f(x). f(x)是奇函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 图象关于原点对称,f(x)是奇函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也 是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数. 2.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法: (2)图象法: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练判断下列函数的
10、奇偶性: (2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=0. (2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x) 是偶函数. (3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既 是奇函数又是偶函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用函数的奇偶性求解析式利用函数的奇偶性求解析式 例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1. (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解
11、;(2)先设出所求区 间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点, 把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函 数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2. (2)当x0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 探究一探究二探究三素
12、养形成当堂检测 反思感悟1.这类问题常见的情形是: 已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-(-x); 若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件 不变,求f(x)的解析式. 解:当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)
13、是 偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 函数奇偶性与单调性的综合应用函数奇偶性与单调性的综合应用 1.比较函数值的大小 例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间0,+)上单调递增,则 f(-2),f(),f(-3)的大小关系是() A.f()f(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3) 答案:A 解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在 区间0,+)上单调递增, f(2)f(3) f(
14、),f(-2)f(-3)f(3)f().又因 为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 从而有f(-2)f(-3)f(). (2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上单调递增,所以函 数在R上是增函数, 因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f(). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.解函数不等式 例4已知定义在区间-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递增,若 f(1-m)f(m),求实数m的取值范围. 解:因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上单调递减,所以 f(x)在-2,2上单调递减. 探究一探究二探究三素养形成当堂
15、检测 反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变 形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不 等式.另外,要特别注意函数的定义域. 由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们 要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同 一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为 “-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:因为函数为-
16、2,2上的偶函数,又函数在-2,0上单调递减,所以函 数在0,2上单调递增, 不等式可化为f(|1-m|)0时,f(x)0,则() A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数 B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数 C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数 D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 令x1=x,x2=-x, 则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数. 设x10,所以f(x2-x1)0, 故f(x2)f(x1), 所
17、以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B. 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例2已知函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1- x2)=2f(x1)f(x2), 求证:函数f(x)为偶函数. 证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). 令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x). 由得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数. 反思感悟1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准 方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x
18、)的关系,从而判断或 证明抽象函数的奇偶性. 2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况. 比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意,R,总有f(+)- f()+f()=2 019,则下列说法正确的是() A.f(x)-1是奇函数 B.f(x)+1是奇函数 C.f(x)-2 019是奇函数 D.f(x)+2 019是奇函数 答案:D 解析:令=0,则f(0)-f(0)+f(0)=2 019, 即f(0)=-2 019. 令=-,则f(0)-f()+f(-)=2 0
19、19, 即f()+f(-)=-4 038, 则f(-)+2 019=-2 019-f()=-2 019+f(), 即f(x)+2 019是奇函数,故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案:D 解析:由题意知函数的定义域是(-,-4)(-4,+),不关于原点对称, 所以该函数既不是奇函数又不是偶函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=() A.-1B.-3C.1D.3 答案:B 解析:当x0时,f(x)=2x2-x,f(
20、-1)=2(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R 上的奇函数, 故f(1)=-f(-1)=-3,故选B. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:D 3.函数f(x)的定义域为R,且对任意xR,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在 区间(-,-1上单调递增,则() 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值 范围. 解:f(3a-10)+f(4-2a)0, f(3a-10)-f(4-2a). f(x)为奇函数, -f(4-2a)=f(2a-4). f(3a-10)2a-4. a6.故a的取值范围为(6,+).
