1、4.2简单幂函数的图象和性质 激趣诱思知识点拨 幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂 函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢? 激趣诱思知识点拨 一、幂函数的定义 一般地,形如(为常数)的函数,即是自变量、 是常数的函数称为幂函数. 名师点析1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; 2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5 就不是幂函 数. 3.幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义域 也不同. y=x 底数 指数 激趣诱思知识点拨 微练习 在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x中,幂函数的序号为 .（填序号） 答案: 解析:函数y= =
2、x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它 不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=x(R)的形式,所以它不是幂函 数. 激趣诱思知识点拨 二、幂函数的图象和性质 1.常见的五种幂函数的图象 可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象. 激趣诱思知识点拨 2.幂函数的性质 0,+) 0,+) 0,+) 奇函数 偶函数 既不是奇 函数,也不 是偶函数 奇函数 增函数 单调递增 单调递减 增函数 单调递减 (1,1) 单调递减 激趣诱思知识点拨 名师点析幂函数y=x的上述性质可归纳如下: (1)当0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增. (
3、2)当0时单调递增,可先利用幂 函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上单调递减,不符合要求.故m=3. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=x(为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任 何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的
4、图象不过原点,求实 数m的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 幂函数的图象幂函数的图象 例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( ) A.cba B.abc C.bca D.cab 分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分 析并判断a,b,c的大小关系. 答案:A 解析:由幂函数的图
5、象特征,知c1,0b1.故cb2b2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是abc. 2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1). (2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图 低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指 大图高”). (3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在 第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断. (4)当0时,幂函数在区间(0,+)上都是增函数;当0时,幂函数在 区间(0,+)上都是减函数. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练
6、2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象 限内的图象,则下列结论正确的是() A.nm0B.mnm0D.mn0 答案:A 解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点 (2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 利用幂函数的单调性比较大小利用幂函数的单调性比较大小 例3比较下列各组中两个数的大小: 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小
7、的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无 法比较大小. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 A.bacB.abc C.bcaD.cag(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)1或xg(x); (2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x); (3)当-1x1且x0时,f(x)g(x). 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练4已知(0.71.3)m(1.30.7)m,求m的取值范围. 解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当0 x1时,0y1,00.71.31时,y1,1.30.71. 于是有0.71.31.30.7. 对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m
8、0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m0. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 幂函数的幂函数的“凸凸”性性 (1)上凸函数、下凸函数的定义 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)幂函数的凸性 幂函数y=x,x(0,+),在1时,函数是下凸函数; 幂函数y=x,x(0,+),在01时,函数是上凸函数; 幂函数y=x,x(0,+),在0时,函数是下凸函数. 这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如 果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那 么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在 连接这两点的线段的下方,那么这个函数
9、就是下凸函数.根据函数 图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次 函数是下凸函数. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 典例如图,fi(x)(i=1,2,3,4)是定义在区间0,1上的四个函数,其中满足 性质:“对0,1中任意的x1和x2,任意0,1, fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)恒成立”的只有() A.f1(x) B.f2(x)C.f3(x)D.f4(x) 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 再结合函数f(x)图象的凹凸性,可排除B,C,D三个选项,正确答案为A. 答案:A 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.幂函数y=kx过点(
10、4,2),则k-的值为() 答案:B 解析:幂函数y=kx过点(4,2), 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4D.C1,C4,C2,C3 答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 3.幂函数f(x)=x3m-5(mN)在区间(0,+)上是单调递减,且对定义域 中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于() A.0B.1C.2D.3 答案:B 解析:幂函数f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上单调递减,则3m-50,即 又mN,故m=0或m=1. f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. 当m=0时,f(x)=x-5是奇函数; 当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 5.比较下列各组中两个值的大小:
