1、8.5.1直线与直线平行直线与直线平行 8.5.2直线和平面平行直线和平面平行 讲课人：邢启强 2 在平面几何的学习中，我们研究过两条直线 的位置关系，重点研究了两条直线平行，得 到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两 条直线平行的定理.类似地，空间中直线、 平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛 的应用，也是我们要重点研究的内容。 本节我们研究空间中直线、平面的平行关系， 重点研究这些平行关系的判定和性质. 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行 直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两 条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？ 学习
2、新知学习新知 a b c e d 观察观察 : 将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ ab c d e 讲课人：邢启强 4 基本事实：基本事实：在空间平行于同一条直线的两条直线互在空间平行于同一条直线的两条直线互 相平行相平行 平行线的传递性平行线的传递性 推广推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行. 学习新知学习新知 8.5.1直线与直线平行直线与直线平行 它给出了判断空间两条直线平行的依据. 讲课人：邢启强 5 例、已知四边形例、已知四边形A
3、BCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是分别是 边边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边CB、CD上的中点，上的中点， 求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形. A c B D E F G H 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 6 例、已知四边形例、已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H 分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边CB、 CD上的中点，求证：四边形上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边是平行四边 形形. A c B D E F G H 变式变式:已知四边形已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形， E
4、、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G 分别是边分别是边CB、CD上的点，上的点， 且。且。 求证：四边形有一组求证：四边形有一组 对边平行但不相等对边平行但不相等 3 4 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 7 在平面内在平面内, 我们可以证明我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个如果一个角的两边与另一个 角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空空 间中这一结论是否仍然成立呢？间中这一结论是否仍然成立呢？ 定理（等角定理）：定理（等角定理）：如果空间中两个角的两边分别对如果空间中两个角的两边分别对 应平行，应平行， 那么这两个角相
5、等或互补那么这两个角相等或互补 观察观察 :如图所示如图所示,四棱柱四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中, ABCD为平行四边形为平行四边形 ADC与与A1D1C1 , ADC与与D1A1B1两边分别对应平行两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何这两组角的大小关系如何? 答答:从图中可看出从图中可看出, ADC=A1D1C1, ADC +D1A1B1=180 O D1 C1 B1 A1 C A B D 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 讲课人：邢启强 10 学习新知学习新知 在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用 广泛，而且
6、是学习平面与平面平行的基础.怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共 点，但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平 面没有公共点呢? 如图门扇的两 边是平行的， 当门扇绕着一 边转动时，另 一边与墙面有 公共点吗？此 时门扇转动的 一边与墙面平 行吗？ 如图将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上， 把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中（AB 离开桌面）,DC的对边AB与桌面有公共点吗？ 边AB与桌面平行吗？ 可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的 一边总是平行的，所以它与墙面是平行的； 硬纸板的边AB与DC平
7、行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时 就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行 讲课人：邢启强 11 直线和平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 符号表示： a b aa b 简述为简述为：线线平行，则线面平行 注意：使用定理时，必须具备三个条件： （1）直线a在平面外，（2）直线b在平面内，（3） 两条直线a、b平行 三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则结论就不一定 成立了。 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 已知：, / .abab 求证：/ .a 证明：/ ,ab 经过a，b确定一个平面 ,aa , 是两个不同的平面
8、 ,bb . b 假设 与 有公共点P，则 ，点P 是a与b的公共点，这与 矛盾， a Pb / .a /ab a b p 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平 行于经过另两边的平面。 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点。 求证：EF 平面BCD 证 明 ： 连 结 BD AEEB EFBD AFFD EFBCDEFBCD BDBCD 平 面 平 面 平 面 分析：EF在面BCD外，要证明EF面 BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平 行即可。EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 连结BD立刻就清楚了。 A B C D E
9、F 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 连DB交AC于点O，取 D 1D的中点M，连MA，MC， 则截面MAC即为所求作的 截面。MO为 D 1DB的 中位线， D 1BMO， D 1B 平面MAC， MO 平面MAC， D 1B平面MAC，则截 面MAC为过AC且与D 1B平 行的截面。 例例2、在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过中，试作出过AC 且与直线且与直线D1B平行的截面，并说明理由。平行的截面，并说明理由。 解解： O M AB CD A1B1 C1D1 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 证法一：作MPAB交BC于P，NQ AB交BE于Q , MPMC
10、NQBN MPNQ ABACEFBF 又由题可知， AM=FN，AC=BF，AB=EF MPNQ即四边形MNQP为平行四边形 MNPQ MN 平面BCE，PQ 平面BCE， MN平面BCE。 A B C D E F M N P Q 例例3 3、两个全等的正方形、两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所在平面相交于所在平面相交于 ABAB，M MACAC，N NFBFB，且，且AM=FNAM=FN，求证：，求证：MNMN平面平面BCEBCE。 典型例题典型例题 分析：只要在平面BEC内找到一条直线与MN平行 讲课人：邢启强 16 A B C D E F M N G 证法二：连接AN
11、并延长交BE的延长线于点G，连CG， AFBG ANFNAM NGNBMC MNCG MN 平面BCE， CG 平面BCE， MN 平面BCE。 例例3 3、两个全等的正方形、两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所在平面相交于所在平面相交于 ABAB，M MACAC，N NFBFB，且，且AM=FNAM=FN，求证：，求证：MNMN平面平面BCEBCE。 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 a b a b 学习新知学习新知 如果一条直线与一个平面平行，能推出哪 些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也 就是研究直线与平面平行的必要条件. 假设a与 内的直线b平行，那么
12、由基本事实的推论3,过 直线a,b有唯一的平面.这样，我们可以把直线b看成是 过直线a的平面与平面 的交线. 讲课人：邢启强 18 b a 证明：证明： /a a 与 没有公共点 b又因为 在 内 ab 与 没有公共点 ab又与 都在平面 内 且没有公共点 /ab ,/aabab 已知:直线求证: 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 19 直线和平面平行的直线和平面平行的性质性质定理定理 如果一条直如果一条直线线和一个和一个平面平面平行平行, ,经过这经过这 条直线的平面和这个平面相交条直线的平面和这个平面相交, ,那么这那么这 条条直线直线和和交线交线平行。平行。 ba/ b a 注意注意：
13、1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。 2、简记、简记:线面线面平行平行,则则线线线线平行平行。 , , a a b 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 20 例题例题1 1 有一块木料，棱有一块木料，棱BCBC平行于面平行于面A AC C (1)(1)要经过面要经过面A AC C内一点内一点P P和棱和棱BCBC锯开木料，应该怎锯开木料，应该怎 样画线？样画线？ (2)(2)这线与平面这线与平面ACAC有怎样的关系？有怎样的关系？ P A D A B B D C C E F 例题讲评例题讲评 讲课人：邢启强 21 例题例题2 已知平面外的两条平行直线中的一已知平面外的两条平行直线中
14、的一 条平行于这个平面，条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面。 c a b ab a/ba/ab b 如图：已知直线 ， ，平面 ， 且， ， 都在平面 外。 求证： / 例题讲评例题讲评 讲课人：邢启强 22 ab a/ba/ab b 如图：已知直线 ， ，平面 ， 且， ， 都在平面 外。 求证： / ac证明：过 作面 交 于 a/ a c a/c a/b b/c c b b/ 转化是立体几何的一种重要的思想方法转化是立体几何的一种重要的思想方法 说明：说明： c a b 讲课人：邢启强 23 1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（如果一条
15、直线和一个平面平行，则这条直线（ ） A 只和这个平面内一条直线平行；只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交；只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行；和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。和这个平面内的任意直线都不相交。 D 2.2.如果两个相交平面分别如果两个相交平面分别 经过两条平行直线中的一经过两条平行直线中的一 条条, ,那么它们的交线和这两那么它们的交线和这两 条直线平行。条直线平行。 l a b 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 24 ABCDMN NBCPCMBAPA BBBBPDCBAABC
16、D 平面平面求证：求证： ）、（异于（异于中，点中，点长方体长方体 / , 11 111111 A B A1 D B1 D1 P C C1 M N 11 1111 11 1111 / / / ACAC A A C CACAC ACAC ACAC 证明：连结、 长方体中 面 面 MNBCAACP NBCPC MPABA ACPAC BCAAC 11 1 1 11 / 面面面面 面面 面面 ABCDAC ABCDMN MNAC 面面 面面 / ABCDMN面面/ 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 25 11 1 1 1 1 AACC CC PB NC PN NCCPBN AA PB MA PM MAAPBM NC PN MA PM ABCDAC ABCDMN MNAC 面面 面面 / ABCDMN面面/ A B A1 D B1 D1 P C C1 M N ABCDMN NBCPCMBAPA BBBBPDCBAABCD 平面平面求证：求证： ）、（异于（异于中，点中，点长方体长方体 / , 11 111111 讲课人：邢启强 26 线线平行线线平行 线面平行线面平行 线面平行线面平行 线线平行线线平行 课堂小结课堂小结
