1、2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（五） 考查知识：苏教版必修第二册 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知向量, a b 满足1,1aa b ,则(2)aab () A.4B.3C.2D.0 2已知 i 为虚数单位,则复数 2 (2) i的共轭复数为() A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i 3 某市地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10 个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、 中位数、 平均数的和为() A.170B.165C.160D.150 4
2、在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b=2,B=120,C=45, 则边 c 的大小是() A.2B.3C.2D. 2 6 3 5已知 510 sin,sin() 25210 ,且(0, ),(0,) 2 ,则等于() A. 3 4 B. 3 C. 4 D. 6 6 “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发 红包的总金额为 8 元,被随机分配为 1.72 元,1.83 元,2.28 元,1.55 元,0.62 元, 5 份供甲、 乙等 5 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3 元的概率是() A. 3
3、 10 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 7下列命题正确 的是() A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角. B. 对于任意的角,都有sin22sin成立. C. 存在角,使cos22cos成立. D. 1 cos3 sin3sin6 2 对任意的角都成立. 8空间四边形 ABCD 中,若 ADBC,BDAD,那么有() A.平面 ABC平面 ADCB.平面 ABC平面 ADB C.平面 ABC平面 DBCD.平面 ADC平面 DBC 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列命题正确 的是() A. 若ABC 是直角三角形,则有0AB BC . B. 若/ABCD ，则直线
4、 AB 与 CD 平行. C. 求力 1 F 和 2 F 的合力可利用向量加法的平行四边形法则. D. 已知 A,B,C,D 四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形. 10下列命题正确 的是() A. 中位数就是 50 百分位数. B. 若一组样本数据各不相等,则其 75 百分位数大于 25 百分位数. C. 若一组样本数据的 10 百分位数是 23,则在这组数据中有 10%的数据大于 23. D. 若一组样本数据的 24 百分位数是 24,则在这组数据中至少有 76%的数据大于或等于 24. 11下列命题正确 的是() A. 若 P 在 Q 的北偏东
5、 44方向,则 Q 在 P 的东偏北 44方向. B. 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均 是0,) 2 . C. 方位角 210的方向与南偏西 30的方向一致. D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角. 12下列命题正确 的是() A. 一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为 180. B. 一条直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. C. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角 的平分线上. D. 平面的一条斜线和它与这个平面所成的角的取值范围是(0 ,
6、90 ) . 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13若复数 3 1 i z i ,则 1 2 zi的虚部为_. 14某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20, 0.30, 0.10.则此射手 在一次射击中不够 8 环的概率为_. 15如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的 山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角MAN=60, C 点的仰角CAB=45以及MAC=75; 从 C 点测得MCA=60.已知山高 BC=500 m, 则山高 MN=_m. 16如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC=90,ABAC,D
7、,E 分别是 BC,AB 的 中点,ACAD,设 PC 与 DE 所成的角为,PD 与平面 ABC 所成的角为,二面角 P-BC-A 的 平面角为,则,的大小关系是_. 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17对参加某次数学竞赛的 1 000 名选手的初赛成绩(满分:100 分)作统计,得到如图所示的 频率直方图. (1)根据直方图完成以下表格; 成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数 (2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)如果从参加初赛的选手中选取 380 人参加复赛,那么如何确定进入复赛选手的成绩?
8、 18如图所示,在矩形 ABCD 中,3,3,ABBCBEAC,垂足为 E,求 ED 的长. 19已知 z 为虚数, 4 2 z z 为实数.(1)若 z-2 为纯虚数,求虚数 z;(2)求|z-4|的取值范围. 20已知函数 22 ( )sin2sin cos3cos,f xxxxx x R. 求:(1)函数 f(x)的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合; (2)函数 f(x)的单调递增区间. 21 如图(1)所示,在直角梯形 ABEF 中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起,使平面 DCEF平面 ABCD,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图(2)所示.
9、(1)求证:BE平面 ADF; (2)求三棱锥 F-BCE 的体积. 22在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 为31海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75方向,距离 A 为 2 海里的 C 处有一艘缉私艇奉命以10 3海里/时的速度追截走 私船,此时,走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜. (1)问 C 与 B 相距多少海里?C 在 B 的什么方向? (2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间. 2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（五） 考查知识：苏教版必修第二册 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择
10、题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知向量, a b 满足1,1aa b ,则(2)aab () A.4B.3C.2D.0 【解析】选 B.因为1,1aa b ,所以 2 (2)22( 1)3aabaa b . 2已知 i 为虚数单位,则复数 2 (2) i的共轭复数为() A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i 【解析】选 D. 22 (2)4434iiii,所以复数 2 (2) i的共轭复数为 3+4i. 3 某市地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10 个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,
11、10,则这组数据的众数、 中位数、 平均数的和为() A.170B.165C.160D.150 【解析】选 D.数据 70,60,60,50,60,40,40,30,30,10 的众数是 60,中位数是 45,平均数是 45,故众数、中位数、平均数的和为 150. 4在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b=2,B=120,C=45, 则边 c 的大小是() A.2B.3C.2D. 2 6 3 【解析】选 D.因为 b=2,B=120,C=45, 所以 2 sinsin c BC ，即 2sin22 6 sin33 2 C c B 5已知 510 sin,sin() 2
12、5210 ,且(0, ),(0,) 2 ,则等于() A. 3 4 B. 3 C. 4 D. 6 【解析】选 C.由 510 sin,sin() 25210 ， 易知 2 53 10 cos,cos() 25210 ， 所以 2 sinsin()sincos()cossin() 2222222 ， 所以 4 . 6 “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发 红包的总金额为 8 元,被随机分配为 1.72 元,1.83 元,2.28 元,1.55 元,0.62 元, 5 份供甲、 乙等 5 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3
13、元的概率是() A. 3 10 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 【解析】选 D.由题意,所发红包的总金额为 8 元,被随机分配为 1.72 元,1.83 元,2.28 元,1.55 元,0.62 元,供甲、 乙等 5 人抢,每人只能抢一次,甲、 乙二人抢到的金额之和包含的 基本事件的总数为 n=10,甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3 元包含的基本事件有 6 个,分 别为 (1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55), (1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55), 所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3 元的概率为 63 105
14、P . 7下列命题正确 的是() A. 倍角的正切公式的适用范围不是任意角. B. 对于任意的角,都有sin22sin成立. C. 存在角,使cos22cos成立. D. 1 cos3 sin3sin6 2 对任意的角都成立. 【答案】选 ACD 提示:A.倍角的正切公式,要求, 2 kk Z且, 4 kk Z,故此说法正确. B.当 6 时, 3 sin2sin 32 ,而 1 2sin21 2 . C.由 2 cos22cos2cos1,得 13 cos 2 时,cos22cos成立. D.由倍角的正弦公式可得. 8空间四边形 ABCD 中,若 ADBC,BDAD,那么有() A.平面 A
15、BC平面 ADCB.平面 ABC平面 ADB C.平面 ABC平面 DBCD.平面 ADC平面 DBC 【解析】选 D.因为 ADBC,ADBD,BCBD=B,所以 AD平面 DBC. 又因为 AD平面 ADC,所以平面 ADC平面 DBC. 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9下列命题正确 的是() A. 若ABC 是直角三角形,则有0AB BC . B. 若/ABCD ，则直线 AB 与 CD 平行. C. 求力 1 F 和 2 F 的合力可利用向量加法的平行四边形法则. D. 已知 A,B,C,D 四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形
16、. 【答案】选 CD 提示:A.因为ABC 为直角三角形,B 并不一定是直角,有可能是 A 或 C 为直角. B.向量/ABCD 时,直线 ABCD 或 AB 与 CD 重合. C.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求 1 F 和 2 F 的合力可利用向量加 法的平行四边形法则. D . 已 知A,B,C,D四 点 的 坐 标 分 别 是 (1,0),(4,3),(2,4),(0,2), 所 以 3 (3,3) 2 ABDC ，即/ABDC ，且ABDC ，所以此四边形为梯形. 10下列命题正确 的是() A. 中位数就是 50 百分位数. B. 若一组样本数据各不相等,则其 7
17、5 百分位数大于 25 百分位数. C. 若一组样本数据的 10 百分位数是 23,则在这组数据中有 10%的数据大于 23. D. 若一组样本数据的 24 百分位数是 24,则在这组数据中至少有 76%的数据大于或等于 24. 【答案】选 ABD 提示:A.根据百分位数的定义,原说法正确. B.依据百分位数的定义可知,该命题正确. C.若一组样本数据的 10 百分位数是 23,则在这组数据中有 10%的数据小于或等于 23. D.依据百分位数的定义可知,该命题正确. 11下列命题正确 的是() A. 若 P 在 Q 的北偏东 44方向,则 Q 在 P 的东偏北 44方向. B. 方位角与方向
18、角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均 是0,) 2 . C. 方位角 210的方向与南偏西 30的方向一致. D. 方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角. 【答案】选 CD 提示:A.因为若 P 在 Q 的北偏东 44方向,则 Q 应在 P 的南偏西 44方向. B.因为方向角的范围为 090,而方位角的范围为 0360. C.由方位角与方向角的定义知正确. D.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角，这是方位角的定义. 12下列命题正确 的是() A. 一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为 180. B. 一条直线上
19、任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. C. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角 的平分线上. D. 平面的一条斜线和它与这个平面所成的角的取值范围是(0 ,90 ) . 【答案】选 CD 提示:A.一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为 0. B.这条直线必须与平面平行时,直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个 平面的距离. C.利用垂直及三角形的全等可以证明. D.斜线和平面一定相交，且不与平面垂直，所以平面的一条斜线和它与这个平面所成的 角的取值范围是(0 ,90 ) . 故选 CD. 三填空题（共三填空
20、题（共 4 小题）小题） 13若复数 3 1 i z i ,则 1 2 zi的虚部为_. 【解析】 2 2 33 (1)3333 1(1)(1)122 iiiii zi iiii ,则 33 22 zi , 则 13 22 zii ,故 1 2 zi的虚部为-1. 答案:-1 14某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20, 0.30, 0.10.则此射手 在一次射击中不够 8 环的概率为_. 【解析】由题意知射手在一次射击中不够 8 环的对立事件是射手在一次射击中不小于 8 环, 因为射手在一次射击中不小于8环包括击中8环,9环,10环,这三个事件是互斥的,所以
21、射手 在一次射击中不小于 8 环的概率是 0.20+0.30+0.10=0.60,所以射手在一次射击中不够 8 环 的概率是 1-0.60=0.40. 答案:0.40 15 如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点 的仰角MAN=60,C 点的仰角CAB=45以及MAC=75;从 C 点测得MCA=60. 已知山高 BC=500 m,则山高 MN=_m. 【解析】在 RtABC 中,CAB=45,BC=500 m, 所以 AC=5002m,在AMC 中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45, 由正弦定理得 sin45sin60 A
22、CAM ，所以 3 2 500 2500 3 2 2 AM m, 在 RtMNA 中,AM=5003m,MAN=60, 由sin60 MN AM ,得 3 500 3750 2 MN m. 答案:750. 16如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC=90,ABAC,D,E 分别是 BC,AB 的 中点,ACAD,设 PC 与 DE 所成的角为,PD 与平面 ABC 所成的角为,二面角 P-BC-A 的 平面角为,则,的大小关系是_. 【解析】因为 D,E 分别是 BC,AB 的中点, 所以 DEAC,所以 PC 与 DE 所成的角为PCA,即; 连接 AD,因为 PA平面 A
23、BC,所以 PD 与平面 ABC 所成的角为PDA,即; 过 A 作 AHBC,垂足为 H,连接 PH, 易证 BC平面 PAH,所以PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角,即. 因为 ABAC, 所以 ADAH,又 ACAD,所以 ACADAH, 所以 PAPAPA ACADAH ，所以 tantantan,所以. 答案: 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17对参加某次数学竞赛的 1 000 名选手的初赛成绩(满分:100 分)作统计,得到如图所示的 频率直方图. (1)根据直方图完成以下表格; 成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数 (2)求参
24、赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)如果从参加初赛的选手中选取 380 人参加复赛,那么如何确定进入复赛选手的成绩? 【解析】(1)填表如下: 成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数50150350350100 (2)平均数为 550.05+650.15+750.35+850.35+950.1=78,方差 s 2=(-23)20.05+(-13)20.15+(-3)20.35+720.35+1720.1=101. (3)进入复赛选手的成绩为 350(380 100) 801082 350 (分),所以初赛成绩为 82
25、分及其 以上的选手均可进入复赛 18如图所示,在矩形 ABCD 中,3,3,ABBCBEAC,垂足为 E,求 ED 的长. 19已知 z 为虚数, 4 2 z z 为实数.(1)若 z-2 为纯虚数,求虚数 z;(2)求|z-4|的取值范围. 【解析】由于 z 为虚数,可设( ,0)zxyi x yyR, (1)则 z-2=x-2+yi,由 z-2 为纯虚数得 x=2,所以 z=2+yi, 又因为 4 2 z z 为实数,则 444 22() 2 zyiyi zyiy R, 得 4 0,2yy y ,所以 z=2+2i 或 z=2-2i. (2)因为 2222 444(2)4 22(2)(2)
26、 xy zxyixyi zxyixyxy ， 因为 4 2 z z 为实数,所以 22 4 0 (2) y y xy ,因为 y0,所以 22 (2)4xy, 所以 22 4(2)0yx,则 2 (2)4x,解得 x(0,4), 所以 2222 44(4)(4)4(2)164zxyixyxxx， 由于 x(0,4),则 016-4x16,所以01644x,即 0|z-4|4, 所以|z-4|的取值范围为(0,4). 【方法技巧】 复数的几何意义 (1)复数( ,)zabi a bR的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi); (2)复数( ,)zabi a bR的对应向量OZ 是以原点 O
27、 为起点的,否则就谈不上一一 对应,因为复平面上与OZ 相等的向量有无数个. 20已知函数 22 ( )sin2sin cos3cos,f xxxxx x R. 求:(1)函数 f(x)的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合; (2)函数 f(x)的单调递增区间. 【解析】(1) 222 ( )sin2sin cos3cos2sin cos12cosf xxxxxxxx sin2cos2222sin(2) 4 xxx 所以当22, 42 xkk Z,即, 8 xkk Z时 f(x)取得最大值22. 函数 f(x)取得最大值时自变量x的集合为 |, 8 x xkk Z. (2)由(1),得(
28、)22sin(2) 4 f xx ， 由题意,得222, 242 kxkk Z， 即 3 , 88 kxkk Z时,函数 f(x)单调递增,因此函数 f(x)的单调递 增区间为 3 ,() 88 kkk Z. 21 如图(1)所示,在直角梯形 ABEF 中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起,使平面 DCEF平面 ABCD,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图(2)所示. (1)求证:BE平面 ADF; (2)求三棱锥 F-BCE 的体积. 【解析】(1)方法一:取 DF 的中点 G,连接 AG,EG,因为 CE 1 2 DF,所以 / EGCD . 又因为 /
29、ABCD ,所以 / EGAB ,所以四边形 ABEG 为平行四边形, 所以 BEAG.因为 BE平面 ADF,AG平面 ADF,所以 BE平面 ADF. 方法二:由题图(1)可知 BCAD,CEDF,折叠之后平行关系不变. 因为 BC平面 ADF,AD平面 ADF,所以 BC平面 ADF. 同理 CE平面 ADF.因为 BCCE=C,BC,CE平面 BCE,所以平面 BCE平面 ADF. 因为 BE平面 BCE,所以 BE平面 ADF. (2)方法一:因为 VF-BCE=VB-CEF,由题图(1)可知 BCCD. 因为平面 DCEF平面 ABCD,平面 DCEF平面 ABCD=CD,BC平面
30、 ABCD, 所以 BC平面 DCEF. 由题图(1)可知 DC=CE=1, 11 22 CEF SCE DC , 所以 11 36 F BCEB CEFCEF VVBCS . 方法二:由题图(1)可知,CDBC,CDCE,因为 BCCE=C,所以 CD平面 BCE. 因为 DFCE,点 F 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距离,即为 CD,由题图(1) 可知,BC=CE=1, 11 22 CEF SBC CE ,所以 11 36 F BCECE VCDS B . 方法三:过 E 作 EHFC,垂足为 H,如图所示,由题图(1)可知,BCCD, 因为平面 DCEF平面 AB
31、CD,平面 DCEF平面 ABCD=CD,BC平面 ABCD,所以 BC平 面 DCEF.因为 FC,EH平面 DCEF,所以 BCEH,BCFC, 因为 BCFC=C,所以 EH平面 BCF. 由 FDDC 得, 22 15 5, 22 BCF FCDCDFSBC CF , 在CEF 中,由等面积法可得 1 5 EH , 所以 11 36 F BCEE BCFBCF VVEHS . 22在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 为31海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75方向,距离 A 为 2 海里的 C 处有一艘缉私艇奉命以10 3海里/时的速度追截走 私船,此时,走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜. (1)问 C 与 B 相距多少海里?C 在 B 的什么方向? (2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
