1、课时分层作业(十)向量应用 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC 的形状为() A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 CAB (1，1)，AC (3，3)，AB AC 0， 即AB AC ，故ABC 为直角三角形 2河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对 岸，则小船在静水中的速度大小为() A10 m/sB2 26 m/s C4 6 m/sD12 m/s B由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图 所以小船在静水中的速度大小|v| 10222 1042 2
2、6(m/s) 3用两条成 120角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小 为 10 N，则每根绳子的拉力大小是() A5 NB8 N C10 ND12 N C因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于 60，故每 根绳子的拉力大小都是 10 N 4点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ， 则点 O 是ABC 的() A重心B外心C内心D垂心 D由OA OB OB OC OC OA ，可得OA OB OB OC 0，(OA OC )OB 0，即CA OB 0，CA OB ，同理可证OC AB ，OA BC .所以 O 是ABC 的
3、 垂心，即三条高的交点 5等腰直角三角形 ABC 中，C90，且 A(1，2)，C(1，1)，则 B 的坐标 为() A(2，1)B(0，1) C(2，3)D(0，1)或(2，3) D设 B 的坐标为(x，y)， 则CB (x1，y1)，又AC (2，1) 由题意知|CB |AC |，且CB AC 0， x12y125， 2x1y10， 解得 x0， y1 或 x2， y3. 二、填空题 6ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，AO 1 2(AB AC )，且|OA |AB |， 则BA BC _. 1设 BC 的中点是 D，如图所示，则AB AC 2AD ，则AD AO ， 所以 O 和
4、 D 重合，所以 BC 是圆 O 的直径， 所以BAC90. 又|OA |AB |， 则|BA |1，|BC |2，所以ABC60， 所以BA BC |BA |BC |cos 60121 21. 7如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD1，AB2，对角线 BD2，则 对角线 AC 的长为_ 6AC AB AD ， AC 2AB2AD 22AB AD ， 又BD AD AB ， BD 2AD 2AB 22AD AB ， 得 AC 2BD 22(AB 2AD 2) 又 AD1，AB2，BD2， AC 6. 8当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为|F|，若| F |G|，则
5、的值为_ 120如图，| F1| F2| |G| 2cos 2 . | F1| F2|G|，2cos 21， 120. 三、解答题 9如图在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PEAB，PFBC， 垂足分别为 E，F ，连接 DP，EF.求证：DPEF. 证明设正方形 ABCD 的边长为 1，AEa(0a1)， 则 EPAEa，PF EB1a， AP 2a.于是DP EF (DA AP )(EP PF )DA EP DA PF AP EP AP PF 1acos 1801(1a)cos 90 2aacos 45 2a(1 a)cos 45aa2a(1a)0. 所以DP EF ，
6、所以 DPEF. 10已知四边形 ABCD 为平行四边形，点 A 的坐标为(1，2)，点 C 在第二 象限，AB (2，2)，且AB与AC 的夹角为 4，AB AC 2. (1)求点 D 的坐标； (2)当 m 为何值时，AC m AB 与BC 垂直 解(1)设 C(x，y)，D(a，b)，则AC (x1，y2) AB 与AC 的夹角为 4，AB AC 2， AB AC |AB |AC | 2 2222x12y22 2 2 ， 化为(x1)2(y2)21. 又AB AC 2(x1)2(y2)2，化为 xy2. 联立解得 x1， y3 或 x0， y2. 又点 C 在第二象限，C(1，3)又CD
7、 BA ，(a1，b3)(2， 2)， 解得 a3，b1.D(3，1) (2)由(1)可知AC (0，1)，AC mAB (2m，2m1)，BC AC AB (2， 1) AC m AB 与BC 垂直， (AC mAB )BC 4m(2m1)0，解得 m 1 6. 1 在四边形 ABCD 中， 若AB DC ， 且|AB AD |AB AD |， 则四边形 ABCD 的形状是() A正方形B菱形C矩形D梯形 CAB DC ，AB DC ，且|AB |DC |， 四边形 ABCD 是平行四边形， |AB AD |AC |，|AB AD |DB |， |AC |DB |，平行四边形是矩形 2已知
8、BC 是圆 O 的直径，H 是圆 O 的弦 AB 上一动点，BC10，AB8， 则HB HC 的最小值为() A4B25 C9D16 D以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直 角坐标系， 设点 H(x，y)，则 B(5，0)，C(5，0)， 所以HB (5x，y)，HC (5x，y)， 则HB HC (5x，y)(5x，y)x2y225， 又因为 AB8，且 H 为弦 AB 上一动点，所以 9x2y225， 其中当取 AB 的中点时取得最小值，所以HB HC 92516，故选 D 3如图 2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点 O 且三组 对
9、边分别平行 点 A， B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点， 动点 P 在“六芒星” 上(内部以及边界)，若OP xOA yOB ，则 xy 的取值范围是() 图 1图 2 A4，4B 21， 21 C5，5D6，6 C如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为 3，则OB i，OA 3 2i 3 2 j，可得 iOB ，j2 3 3 OA 3OB ， 由图知当点 P 在点 C 时，有OP 3j2OA 3OB ，此时 xy 有最大值 5， 同理当点 P 在与 C 相对的下顶点时有OP 3j2OA 3OB ， 此时 xy 有最小值5.故选 C 4已知ABC 中，ABAC3，D 为边 BC 上一
10、点，AB AD 6，AC AD 15 2 ，则AB AC 的值为_ 9 2 以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 设 D(x，y)，则AD (x，y)， ABAC3，记BAC， A(0，0)，B(3，0)，C(3cos ，3sin )， 则AB (3，0)，AC (3cos ，3sin )， AB AD 6，AC AD 15 2 ，3x6，3xcos 3ysin 15 2 ，x2，2cos ysin 5 2， 又 D 为边 BC 上一点，BD BC ，则(3cos 3)y3sin 0，即 sin y(1cos )， 又(0，)，y sin 1cos ， 2cos s
11、in2 1cos 2cos 1cos 5 2，解得 cos 1 2， AB AC 9cos 9 2. 5在三角形 ABC 中，AB2，AC1，ACB 2，D 是线段 BC 上一点， 且BD 1 2DC ，f 为线段 AB 上一点 (1)设AB a，AC b，设AD xayb，求 xy； (2)求CF FA 的取值范围； (3)若 F 为线段 AB 的中点，直线 CF 与 AD 相交于点 M，求CM AB . 解(1)AD AC 2 3CB AC 2 3 AB AC 2 3AB 1 3AC 2 3a 1 3b， 而AD xaybx2 3，y 1 3xy 1 3. (2)在三角形 ABC 中，AB
12、2，AC1，ACB 2， CAB 3，BC 3， CF FA CA AF FA CA FA AFFA， 不妨设|AF |x，x0，2. 式1xcos 3x 2x21 2x，x 0，2， CF FA 3， 1 16 . (3)f 为线段 AB 的中点，CF CA 1 2AB 1 2CA 1 2CB ， 不妨设CM CF ，CM 2CA 2CB ， AM CM CA 21CA 2CB ，AD 2 3CB CA . A，M，D 三点共线 ， AM AD ，即 21CA 2CB 2 3CB CA ， 21， 2 2 3， 4 5CM 2 5CA 2 5CB . CM AB 2 5CA 2 5CB CB CA 2 5CB 22 5CA 24 5.
