1、第1课时集合的概念 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.什么是元素、集合什么是元素、集合? ? 2.2.元素与集合的关系有哪些元素与集合的关系有哪些? ? 3.3.有哪些常见数集有哪些常见数集, ,分别用什么符号表示分别用什么符号表示? ? 1.1.元素与集合元素与集合 (1)(1)集合集合 (2)(2)元素元素 【思考】【思考】 (1)(1)集合中的集合中的“研究对象研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗所指的就是数学中的数、点、代数式吗? ? 提示提示: :集合中的集合中的“研究对象研究对象”所指的范围非常广泛所指的范围非常广泛, ,可以是数学中的数、点、代可以是数学
2、中的数、点、代 数式数式, ,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等. . (2)(2)根据集合的定义思考根据集合的定义思考: :集合中的元素具有哪些特性集合中的元素具有哪些特性? ? 提示提示: :确定性、互异性和无序性确定性、互异性和无序性. . 2.2.元素与集合的关系元素与集合的关系 关系关系文字叙述文字叙述记法记法读法读法 属于属于a a是集合是集合A A的元素的元素_a a属于属于A A 不属于不属于a a不是集合不是集合A A的元素的元素 _ _ _ a a不属于不属于A A aAaA a a A A 或或 a a A A 【思考】【思考
3、】 元素与集合之间有第三种关系吗元素与集合之间有第三种关系吗? ? 提示提示: :对于一个元素对于一个元素a a与一个集合与一个集合A A而言而言, ,只有只有“aA”aA”与与“a a A”A”这两种结果这两种结果. . 3.3.常见的数集及表示符号常见的数集及表示符号 数集数集自然数集自然数集 正整正整 数集数集 整数集整数集 有理有理 数集数集 实数集实数集 符号符号_Z Z_R R N N N N* *或或N N+ + Q Q 【思考】【思考】 N N与与N N+ +( (或或N N* *) )有何区别有何区别? ? 提示提示: :N N+ +( (或或N N* *) )是所有正整数组
4、成的集合是所有正整数组成的集合, ,而而N N是由是由0 0和所有的正整数组成的集合和所有的正整数组成的集合, , 所以所以N N比比N N+ +( (或或N N* *) )多一个元素多一个元素0.0. 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素在一个集合中可以找到两个相同的元素. .( () ) (2)(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合. . ( () ) (3)(3)由方程由方程x x2 2-4=0-4=0和和
5、x-2=0 x-2=0的根组成的集合中有的根组成的集合中有3 3个元素个元素. .( () ) 提示提示: :(1)(1). .集合中的元素是互不相同的集合中的元素是互不相同的. . (2)(2). “. “难题难题”没有严格的标准没有严格的标准, ,所以不能构成集合所以不能构成集合. . (3) (3) . .由于集合中的元素具有互异性由于集合中的元素具有互异性, ,故由两方程的根组成的集合有故由两方程的根组成的集合有2 2个元素个元素. . 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )下列关系中下列关系中, ,正确的个数为正确的个数为 ( () ) R. R. Q.Q.
6、|-3|N.|-3|N.- Z.- Z. A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选D. D. 是实数是实数, , 是无理数是无理数,|-3|=3,|-3|=3是非负整数是非负整数,- =-3,- =-3是整数是整数, ,故故 均正确均正确. . 1 3 5 9 1 3 59 3.3.已知集合已知集合A A含有三个元素含有三个元素0,1,x-2,0,1,x-2,则实数则实数x x不能取的值是不能取的值是_._. 【解析】【解析】根据集合中元素的互异性可知根据集合中元素的互异性可知: : x-20 x-20且且x-21,x-21,所以实数所以实数x x不能取的值是不能
7、取的值是2,3.2,3. 答案答案: :2,32,3 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一元素与集合的相关概念类型一元素与集合的相关概念( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.下列每组对象下列每组对象, ,能构成集合的是能构成集合的是( () ) 中国最美的乡村中国最美的乡村; ; 直角坐标系中横、纵坐标相等的点直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ; 不小于不小于3 3的自然数的自然数; ; 20182018年第年第2323届冬季奥运会金牌获得者届冬季奥运会金牌获得者. . A.A.B.B.C.C.D.D. 2.2.下列研究对象组成的总体下列研究对象组成的总体: :
8、不超过不超过5050的正整数的正整数; ;中国的大城市中国的大城市; ;绝对值最小的实数绝对值最小的实数; ;sin 30sin 30,sin ,sin 4545,cos 60,cos 60,1,1,其中为集合的是其中为集合的是_._. 【解析】【解析】1.1.选选B.B.中中“最美最美”标准不明确标准不明确, ,不符合确定性不符合确定性, ,中的元素标准中的元素标准 明确明确, ,均可构成集合均可构成集合. . 2.2.不超过不超过5050的正整数的全体是确定的的正整数的全体是确定的, ,能构成集合能构成集合; ; 中国的大城市是不确定的中国的大城市是不确定的, ,不能构成集合不能构成集合;
9、 ;绝对值最小的实数是绝对值最小的实数是0,0,确定确定, ,能能 构成集合构成集合; ;由于由于sin 30sin 30=cos 60=cos 60, ,不满足互异性不满足互异性, ,所以不能构成集合所以不能构成集合. . 答案答案: : 【解题策略】【解题策略】 判断一组对象能否组成集合的策略判断一组对象能否组成集合的策略 (1)(1)注意集合中元素的确定性注意集合中元素的确定性. .看是否给出一个明确的标准看是否给出一个明确的标准, ,使得对于任何一个使得对于任何一个 对象对象, ,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素都能按此标准确定它是不是给定集合的元素, ,若具有此若具有此“标准标
10、准”, ,就可以就可以 组成集合组成集合; ;否则否则, ,不能组成集合不能组成集合. . (2)(2)注意集合中元素的互异性、无序性注意集合中元素的互异性、无序性. . 【补偿训练】【补偿训练】 下列对象能构成集合的是下列对象能构成集合的是( () ) A.A.高一年级较胖的学生高一年级较胖的学生 B.B.鲜艳的颜色鲜艳的颜色 C.C.很大的自然数很大的自然数 D.D.平面内到平面内到ABCABC三个顶点距离相等的点三个顶点距离相等的点 【解析】【解析】选选D.D.由于由于“较胖较胖”“”“很大很大”和和“鲜艳鲜艳”没有一个确定的标准没有一个确定的标准, ,因此因此 A,B,CA,B,C不能
11、构成集合不能构成集合; D; D中平面内到中平面内到ABCABC三个顶点距离相等的点是确定的三个顶点距离相等的点是确定的, ,能构能构 成集合成集合. . 类型二元素与集合的关系类型二元素与集合的关系( (逻辑推理逻辑推理) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.由形如由形如x=3k+1,kZx=3k+1,kZ的数组成集合的数组成集合A,A,则下列表示正确的是则下列表示正确的是( () ) A.-1AA.-1AB.-11AB.-11A C.15AC.15AD.32AD.32A 2.2.已知集合已知集合A A含有三个元素含有三个元素2,4,6,2,4,6,且当且当aAaA时时, ,有有6-aA,
12、6-aA,那么那么a a为为( () ) A.2A.2B.2B.2或或4 4C.4C.4D.0D.0 3.3.已知集合已知集合A A中元素满足中元素满足2x+a0,aR,2x+a0,aR,若若1 1 A,2A,A,2A,则则( () ) A.a-4A.a-4B.a-2B.a-2 C.-4a-2C.-4a-2D.-4a-2D.-4a-2 【解析】【解析】1.1.选选B.B.由题干知集合由题干知集合A A中的数为中的数为3 3的整数倍加的整数倍加1,1,选项选项A,C,DA,C,D均不符合题均不符合题 意意. . 因为因为-11=3-11=3(-4)+1,(-4)+1,所以所以-11A.-11A.
13、 2.2.选选B.B.集合集合A A含有三个元素含有三个元素2,4,6,2,4,6,且当且当aAaA时时, ,有有6-aA,a=2A,6-a=4A,6-aA,a=2A,6-a=4A,所所 以以a=2,a=2,或者或者a=4A,6-a=2A,a=4A,6-a=2A,所以所以a=4.a=4. 综上所述综上所述,a=2,a=2或或4.4. 3.3.选选D.D.因为因为1 1 A,2A,A,2A, 所以所以 即即-4a-2.-4a-2. 2 1a0 22a0 ， ， 【解题策略】【解题策略】 判断元素和集合关系的两种方法判断元素和集合关系的两种方法 (1)(1)直接法直接法. . 使用前提使用前提:
14、:集合中的元素是直接给出的集合中的元素是直接给出的; ; 判断方法判断方法: :首先明确集合由哪些元素构成首先明确集合由哪些元素构成, ,然后再判断该元素在已知集合中是然后再判断该元素在已知集合中是 否出现即可否出现即可. . (2)(2)推理法推理法. . 使用前提使用前提: :对于某些不便直接表示的集合对于某些不便直接表示的集合; ; 判断方法判断方法: :首先明确已知集合的元素具有什么特征首先明确已知集合的元素具有什么特征, ,然后判断该元素是否满足然后判断该元素是否满足 集合中元素所具有的特征即可集合中元素所具有的特征即可. . 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.用符号用符号“”或或“
15、 ”填空填空. . - _R;-3.14_Q;- _R;-3.14_Q; -1_N;3-1_N;3-2 -2_Z. _Z. 【解析】【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知, , - R;-3.14Q;-1- R;-3.14Q;-1 N;3N;3-2 -2 Z. Z. 答案答案: : 2 020 2 020 2.2.由不超过由不超过5 5的实数组成集合的实数组成集合A,a= A,a= 则则( () ) A.aAA.aA B.aB.a2 2AA C. C. A AD.a+1D.a+1 A A 23， 1 a 【解析】【解析】选选A.a=
16、 =45,A.a= =45, 所以所以aA.aA. a+1 +1=5,a+15,+2 5, 所以所以a a2 2 A,A, 所以所以 A.A. 2344 44 2 2 23352 6（ ） 1132 325, a232332 （）（） 1 a 类型三集合中元素的特性的应用类型三集合中元素的特性的应用( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例】【典例】(2020(2020滁州高一检测滁州高一检测) )设设A A为实数集为实数集, ,且满足条件且满足条件: :若若aA,aA,则则 A(a1).A(a1). 求证求证:(1):(1)若若2A,2A,则则A A中必还有另外两个元素中必还有
17、另外两个元素. . (2)(2)集合集合A A不可能是单元素集不可能是单元素集. . 1 1 a 【思路导引】【思路导引】(1)(1)依据依据aA,aA,则则 A(a1),A(a1),求集合求集合A A中的元素中的元素, ,同时注意集同时注意集 合中元素的互异性合中元素的互异性. . (2)(2)转化为判断转化为判断a= a= 是否有实数解是否有实数解. . 1 1 a 1 1 a 【证明】【证明】(1)(1)若若aA,aA,则则 A.A. 又因为又因为2A,2A,所以所以 =-1A.=-1A. 因为因为-1A,-1A,所以所以 A.A. 因为因为 A,A,所以所以 =2A.=2A. 根据集合
18、中元素的互异性可知根据集合中元素的互异性可知,A,A中另外两个元素为中另外两个元素为-1, ,-1, ,结论得证结论得证. . (2)(2)若若A A为单元素集为单元素集, ,则则a= ,a= , 即即a a2 2-a+1=0,-a+1=0,方程无实数解方程无实数解. . 所以所以a ,a ,所以集合所以集合A A不可能是单元素集不可能是单元素集. . 1 1 a 1 1 2 11 112 （） 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 a 1 1 a 【变式探究】【变式探究】 本例前提条件不变本例前提条件不变, ,求证以下两个问题求证以下两个问题: : (1)(1)若若3A,3A,则则A A中
19、必还有另外两个元素中必还有另外两个元素. . (2)(2)若若aA,aA,则则1- A.1- A. 1 a 【证明】【证明】(1)(1)因为因为3A,3A,所以所以 A,A, 所以所以 A,A,所以所以 =3A,=3A, 根据集合中元素的互异性可知根据集合中元素的互异性可知,A,A中另外两个元素为中另外两个元素为- , ,- , ,结论得证结论得证. . 11 1 32 12 1 3 1 2 （） 1 2 1 3 1 2 2 3 (2)(2)因为因为aA,aA,所以所以 A.A. 因为因为 1 1 a 11 a1 1, 1 aa 1 1 a 2 2 2 2 13 (a) 1aa1 24 a(1
20、)0, aaa 13 (a) 11aaa1a 24 (1)0, 1aaa 1aa 1a 1111 a11,1A. a1aaa 所以且所以 【解题策略】【解题策略】 根据集合中元素的特性求值的三个步骤根据集合中元素的特性求值的三个步骤 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.已知已知2aA,a2aA,a2 2-aA,-aA,若若A A只含这两个元素只含这两个元素, ,则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是( () ) A.aA.a可取全体实数可取全体实数 B.aB.a可取除去可取除去0 0以外的所有实数以外的所有实数 C.aC.a可取除去可取除去3 3以外的所有实数以外的所有实数 D.aD.a可取除
21、去可取除去0 0和和3 3以外的所有实数以外的所有实数 【解析】【解析】选选D.D.因为因为2aA,a2aA,a2 2-aA,-aA,所以所以2aa2aa2 2-a.-a. 所以所以a(a-3)0.a(a-3)0.所以所以a0a0且且a3.a3. 2.2.若以方程若以方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0和方程和方程x x2 2-x-2=0-x-2=0的解为元素的集合为的解为元素的集合为M,M,则则M M中元素的个数中元素的个数 为为( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选C.C.方程方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的解为的解为2
22、2和和3,3,方程方程x x2 2-x-2=0-x-2=0的解为的解为-1-1和和2,2,所以集合所以集合M M 是由是由-1,2,3-1,2,3这三个元素组成的集合这三个元素组成的集合. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知集合已知集合A A含有两个元素含有两个元素a-3a-3和和2a-1,2a-1, (1)(1)若若-3A,-3A,试求实数试求实数a a的值的值. . (2)(2)若若aA,aA,试求实数试求实数a a的值的值. . 【解析】【解析】(1)(1)因为因为-3A, -3A, 所以所以a-3=-3a-3=-3或或2a-1=-3.2a-1=-3.若若a-3=-3,a-3=-3,则则
23、a=0.a=0. 此时集合此时集合A A含有两个元素含有两个元素-3,-1,-3,-1,符合题意符合题意. . 若若2a-1=-3,2a-1=-3,则则a=-1.a=-1. 此时集合此时集合A A含有两个元素含有两个元素-4,-3,-4,-3,符合题意符合题意. . 综上所述综上所述, ,满足题意的实数满足题意的实数a a的值为的值为0 0或或-1.-1. (2)(2)因为因为aA,aA,所以所以a-3=aa-3=a或或2a-1=a.2a-1=a. 当当a-3=aa-3=a时时, ,有有-3=0,-3=0,不成立不成立. . 当当2a-1=a2a-1=a时时, ,有有a=1,a=1,此时此时A
24、 A中有两个元素中有两个元素-2,1,-2,1,符合题意符合题意. .综上知综上知a=1.a=1. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列各组对象不能构成一个集合的是下列各组对象不能构成一个集合的是 ( () ) A.A.不超过不超过2020的非负实数的非负实数 B.B.方程方程x x2 2-9=0-9=0在实数范围内的解在实数范围内的解 C. C. 的近似值的近似值 D.D.某校身高超过某校身高超过170170厘米的同学厘米的同学 3 【解析】【解析】选选C.AC.A项项, ,不超过不超过2020的非负实数的非负实数, ,元素具有确定性、互异性、无序性元素具有确定性、互异性、无序性,
25、 ,能能 构成一个集合构成一个集合.B.B项项, ,方程方程x x2 2-9=0-9=0在实数范围内的解在实数范围内的解, ,元素具有确定性、互异性、元素具有确定性、互异性、 无序性无序性, ,能构成一个集合能构成一个集合.C.C项项, , 的近似值的近似值, ,元素不具有确定性元素不具有确定性, ,不能构成一个不能构成一个 集合集合.D.D项项, ,某校身高超过某校身高超过170170厘米的同学厘米的同学, ,元素具有确定性、互异性、无序性元素具有确定性、互异性、无序性, ,能能 构成一个集合构成一个集合. . 3 2.2.设设M M是所有偶数组成的集合是所有偶数组成的集合, ,则则( ()
26、 ) A.3MA.3M B.1MB.1M C.2MC.2M D.0D.0 M M 【解析】【解析】选选C.C.因为因为2 2是偶数是偶数, ,所以所以2 2是集合是集合M M中的元素中的元素, ,即即2M.2M. 3.3.英文短语英文短语“open the door to.”open the door to.”中的字母构成一个集合中的字母构成一个集合, ,该集合的元素个该集合的元素个 数是数是( () ) A.7A.7B.8B.8C.9C.9D.10D.10 【解析】【解析】选选B.B.根据集合中元素的互异性可知根据集合中元素的互异性可知,“open the door to.”,“open t
27、he door to.”中的不中的不 同字母共有同字母共有“o,p,e,n,t,h,d,r”8o,p,e,n,t,h,d,r”8个个, ,故该集合的元素个数为故该集合的元素个数为8.8. 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )下列表述正确的是下列表述正确的是_.(_.(填序号填序号) (1)0N.(2) Z.(3) Z.(4)(1)0N.(2) Z.(3) Z.(4) Q.Q. 【解析】【解析】因为因为N N、Z Z、Q Q分别表示自然数集、整数集、有理数集分别表示自然数集、整数集、有理数集.0.0是自然数是自然数, , 不是整数不是整数, , 不是整数不是整数,不是
28、有理数不是有理数, ,所以所以0N0N和和 Q Q正确正确. . 答案答案: :(1),(4)(1),(4) 2 3 2 2 3 2 5.5.设集合设集合A A中含有三个元素中含有三个元素3,x,x3,x,x2 2-2x.-2x. (1)(1)求实数求实数x x应满足的条件应满足的条件. . (2)(2)若若-2A,-2A,求实数求实数x.x. 【解析】【解析】(1)(1)由集合中元素的互异性可知由集合中元素的互异性可知,x3,x3,且且xxxx2 2-2x,x-2x,x2 2-2x3.-2x3.解之得解之得 x-1x-1且且x0,x0,且且x3.x3. (2)(2)因为因为-2A,-2A,所以所以x=-2x=-2或或x x2 2-2x=-2.-2x=-2. 由于由于x x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1-1,-1-1,所以所以x=-2.x=-2.
