1、第2课时分 段 函 数 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思用什么样的函数描述出租车随着行驶路程增加的计费多少用什么样的函数描述出租车随着行驶路程增加的计费多少? ? 分段函数分段函数 (1)(1)定义定义: :在定义域内不同部分上在定义域内不同部分上, ,有不同的解析表达式有不同的解析表达式, ,像这样的函数叫作分段像这样的函数叫作分段 函数函数. . (2)(2)本质本质: :函数在定义域的不同的范围内函数在定义域的不同的范围内, ,有着不同的对应关系有着不同的对应关系. . (3)(3)应用应用: :可以用分段函数描述很多生活中的实际问题可以用分段函数描述很多生活中的实际问题. .
2、 【思考】【思考】 1.1.分段函数分段函数y= y= 是两个函数吗是两个函数吗? ? 提示提示: :分段函数是一个函数分段函数是一个函数, ,只不过在不同范围上解析式不同只不过在不同范围上解析式不同. . 2.2.分段函数的定义域、值域是怎么规定的分段函数的定义域、值域是怎么规定的? ? 提示提示: :定义域为各段范围的并集定义域为各段范围的并集; ;值域为各段上值域的并集值域为各段上值域的并集. . x,x0, x,x0 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集分段函数中各段函数的
3、定义域交集是空集, ,并集是分段函数的定义域并集是分段函数的定义域. . ( () ) (2)(2)函数函数y=|x+1|y=|x+1|不是分段函数不是分段函数. . ( () ) (3)(3)分段函数分段函数f(x)= f(x)= 则则f(-2)=-2.f(-2)=-2.( () ) x,x0, 2x,x0, 提示提示: :(1).(1).由分段函数的定义可知由分段函数的定义可知, ,此说法正确此说法正确. . (2)(2). .函数函数y=|x+1|= y=|x+1|= 是分段函数是分段函数. . (3)(3).f(-2)=2.f(-2)=2(-2)=-4.(-2)=-4. x1,x1,
4、x1,x1 2.2.若若f(x)= f(x)= 则则f(f(-2)=f(f(-2)=( () ) A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5 【解析】【解析】选选C.C.因为因为-20,-20,20,所以所以f(f(-2)=f(2)=2f(f(-2)=f(2)=22 2=4.=4. 2 x ,(x0), x, x0 , 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )某城市出租车起步价为某城市出租车起步价为1010元元, ,最长可租乘最长可租乘3 km(3 km(含含 3 km),3 km),以后每以后每1 km1 km为为1.61.6元元( (不足不足1 km,1 km
5、,按按1 km1 km计费计费),),若出租车行驶在不需等若出租车行驶在不需等 待的公路上待的公路上, ,则出租车的费用则出租车的费用y(y(元元) )与行驶的里程与行驶的里程x(km)x(km)之间的函数图象大致之间的函数图象大致 为为( () ) 【解析】【解析】选选C.C.由题意由题意, ,当当0 x30 x3时时,y=10;,y=10; 当当3x43x4时时 ,y=10+1.6,y=10+1.6, 当当4x54x5时时,y=10+1.6,y=10+1.62,C2,C是正确选项是正确选项. . 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一分段函数的求值类型一分段函数的求值( (范围范围) )
6、问题问题( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.设函数设函数f(x)= f(x)= 若若f(a)=a,f(a)=a,则实数则实数a a的值为的值为 ( () ) A.A.1 1B.-1B.-1 C.-2C.-2或或-1-1D.D.1 1或或-2-2 1 x1(x0) 2 1 x0 x ， ， 2.2.已知已知f(x)= f(x)= 使使f(x)-1f(x)-1成立的成立的x x的取值范围是的取值范围是( () ) A.-4,2)A.-4,2)B.-4,2B.-4,2 C.(0,2C.(0,2D.(-4,2D.(-4,2 3.3.已知已知f(x)= f(x)= 则不等式则
7、不等式x+(x+2)x+(x+2)f(x+2)5f(x+2)5的解集是的解集是 ( () ) A.-2,1A.-2,1B.(-,-2B.(-,-2 C. C. D. D. 2 1 x1,x0 2 x1,x0 ， ， 1,x0 1,x0 ， ， 3 (, 2 3 2, 2 【解析】【解析】1.1.选选B.B.由题意知由题意知,f(a)=a,f(a)=a, 当当a0a0时时, ,有有 a-1=a,a-1=a,解得解得a=-2,(a=-2,(不满足条件不满足条件, ,舍去舍去);); 当当a0a0时时, ,有有 =a,=a,解得解得a=1(a=1(不满足条件不满足条件, ,舍去舍去) )或或a=-1
8、.a=-1. 所以实数所以实数a a的值是的值是-1.-1. 2.2.选选B.B.因为因为f(x)-1,f(x)-1,所以所以 或或 所以所以-4x0-4x0或或0 x2,0 x2,即即-4x2.-4x2. 1 2 1 a x0 1 x11 2 ， ， 2 x0 x11 ， ， 3.3.选选D.(1)D.(1)当当x+20,x+20,即即x-2x-2时时,f(x+2)=1.,f(x+2)=1. 由由x+(x+2)x+(x+2)f(x+2)5f(x+2)5可得可得x+x+25,x+x+25, 所以所以x ,x ,即即-2x ;-2x ; (2)(2)当当x+20 x+20即即x-2x-2时时,f
9、(x+2)=-1,f(x+2)=-1, 由由x+(x+2)x+(x+2)f(x+2)5f(x+2)5可得可得x-(x+2)5,x-(x+2)5, 即即-25,-25,所以所以x-2.x-2. 综上不等式的解集为综上不等式的解集为 3 2 3 2 3 x | x. 2 【解题策略】【解题策略】 1.1.分段函数求函数值的方法分段函数求函数值的方法 (1)(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间确定要求值的自变量属于哪一段区间. . (2)(2)代入该段的解析式求值代入该段的解析式求值, ,直到求出值为止直到求出值为止. .当出现当出现f(f(xf(f(x0 0)的形式时的形式时, ,应从内应从内
10、到外依次求值到外依次求值. . 2.2.已知函数值求字母取值已知函数值求字母取值( (范围范围) )的步骤的步骤 (1)(1)先将字母分情况代入解析式先将字母分情况代入解析式, ,列出方程列出方程( (不等式不等式).). (2)(2)解方程解方程( (不等式不等式) )求字母的值求字母的值( (范围范围),),并检验是否符合字母的取值范围并检验是否符合字母的取值范围. . (3)(3)符合题意的所有值符合题意的所有值( (范围的并集范围的并集) )即为所求即为所求. . 【补偿训练】【补偿训练】 设设f(x)= f(x)= 则则f(5)f(5)的值为的值为 ( () ) A.10A.10 B
11、.11 B.11C.12C.12D.13D.13 【解析】【解析】选选B.B.因为因为f(x)= f(x)= 所以所以f(5)=f(f(11)=f(9)=f(f(15)=f(13)=11.f(5)=f(f(11)=f(9)=f(f(15)=f(13)=11. x2,(x10) ff x6, x10 ， ， x2,(x10) ff x6, x10 ， ， 类型二分段函数的表示方法及应用类型二分段函数的表示方法及应用( (数学运算、直观想象数学运算、直观想象) ) 角度角度1 1求分段函数的解析式求分段函数的解析式 【典例】【典例】函数函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,则函数则
12、函数f(x)=_.f(x)=_. 【思路导引】【思路导引】由图象确定函数类型由图象确定函数类型, ,待定系数法求解析式待定系数法求解析式. . 【解析】【解析】当当x-1x2x2时时, ,设设f(x)=cx+d,f(x)=cx+d,则则 解得解得 所以所以f(x)=2x,f(x)=2x, 所以所以f(x)= f(x)= 答案答案: : ab1, 2ab0, a1, b2, 2cd4, 3cd6, c2, d0, 2 x2 x1 , x ( 1x2), 2x x2 . 2 x2 x1 , x ( 1x2), 2x x2 . 【变式探究】【变式探究】本例中本例中, ,若若f(a)= ,f(a)=
13、,求实数求实数a a的取值的集合的取值的集合. . 【解析】【解析】当当a-1a2a2时时,f(a)=2a= ,f(a)=2a= , 可得可得a= (a= (舍去舍去),), 综上所述综上所述,a,a的取值构成的集合为的取值构成的集合为 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 4 322 ,. 222 角度角度2 2分段函数图象的应用分段函数图象的应用 【典例】【典例】已知已知f(x)=-x+3,g(x)= x+ ,h(x)=xf(x)=-x+3,g(x)= x+ ,h(x)=x2 2-4x+3.-4x+3. (1)(1)在同一坐标系中画出函数在同一坐标系中画出函数f(x),g(x
14、),h(x)f(x),g(x),h(x)的图象的图象. . (2)(2)xR,xR,令令M(x)M(x)表示表示f(x),g(x),h(x)f(x),g(x),h(x)中的最大者中的最大者, ,记作记作 M(x)=f(x),g(x),h(x),M(x)=f(x),g(x),h(x),请分别利用图象法和解析法表示函数请分别利用图象法和解析法表示函数M(x),M(x),并求并求M(x)M(x) 的值域的值域. . 【思路导引】【思路导引】(1)(1)利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象. . (2)(2)根据根据M(x)M(x)的图象及定义解题的图象及定
15、义解题. . 1 2 3 2 【解析】【解析】(1)(1)由题意可以画出函数由题意可以画出函数f(x)=-x+3,g(x)= x+ ,h(x)=xf(x)=-x+3,g(x)= x+ ,h(x)=x2 2-4x+3-4x+3在在 同一坐标系下的图象同一坐标系下的图象: : 1 2 3 2 (2)(2)由图中函数的取值情况由图中函数的取值情况, ,结合函数结合函数M(x)M(x)的定义的定义, ,可得可得M(x)M(x)的图象为的图象为: : 结合图象得函数结合图象得函数M(x)= M(x)= 且最小值在且最小值在x=1x=1处取得处取得, ,最小值是最小值是2,2,故值域为故值域为2,+).2
16、,+). 2 2 x4x3,x0, x3,0 x1, 31 x,1x5, 22 x4x3,x5, 【解题策略】【解题策略】 1.1.关于分段函数的求值关于分段函数的求值( (范围范围) ) 一是要分段求值或范围一是要分段求值或范围, ,二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围. . 2.2.关于分段函数图象的应用关于分段函数图象的应用 首先要准确作出函数的图象首先要准确作出函数的图象, ,再根据图象的关系、条件的要求解题再根据图象的关系、条件的要求解题. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)=x+ f(x)=x+ 的图象是的图象
17、是( () ) |x| x 【解析】【解析】选选C.C.由题意得由题意得x0,x0, 当当x0 x0时时,f(x)=x+ =x+1;,f(x)=x+ =x+1; 当当x0 x0时时,f(x)=x-1,f(x)=x-1, 根据一次函数图象可知根据一次函数图象可知C C正确正确. . x x 2.2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,若直线若直线y=2ay=2a与函数与函数y=|x+1|-1y=|x+1|-1的图象只有一个交点的图象只有一个交点, , 则则a a的值为的值为_._. 【解析】【解析】在同一平面直角坐标系内在同一平面直角坐标系内, ,作出函数作出函数y=2ay=2
18、a与与y=|x+1|-1y=|x+1|-1的图象的图象, , 如图所示如图所示. . 由题意由题意, ,可知可知2a=-1,2a=-1,则则a=- .a=- . 答案答案: :- - 1 2 1 2 【补偿训练】【补偿训练】 已知函数已知函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,则则f(x)f(x)的解析式是的解析式是_._. 【解析】【解析】由题图可知由题图可知, , 当当-1x0-1x100 x100时时, ,设函数解析式为设函数解析式为y=ax+b.y=ax+b. 将将x=100,y=65x=100,y=65和和x=130,y=89x=130,y=89代入代入, , 得得 解
19、得解得 所以所以y=0.8x-15.y=0.8x-15. 综上可得综上可得y= y= 100ab65, 130ab89, a0.8, b15. 0.65x,0 x100, 0.8x15,x100. (2)(2)由由(1)(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100100度时度时, , 每度电每度电0.650.65元元; ;超过超过100100度时度时, ,超出的部分超出的部分, ,每度电每度电0.800.80元元. . (3)(3)当当x=62x=62时时,y=62,y=620.65=40.3(0.65=40.3(元元);); 当当y=1
20、05y=105时时, ,因为因为0.650.65100=65105,100=65100,x100, 所以所以105=0.8x-15,105=0.8x-15,解得解得x=150.x=150. 即若用户月用电即若用户月用电6262度时度时, ,则用户应交费则用户应交费40.340.3元元; ;若用户月交费若用户月交费105105元元, , 则该用户该月用了则该用户该月用了150150度电度电. . 【解题策略】【解题策略】 分段函数应用问题的两个关注点分段函数应用问题的两个关注点 (1)(1)应用情境应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等日常生活中的出租车计费、自来水
21、费、电费、个人所得税的收取等, ,都是最简都是最简 单的分段函数单的分段函数. . (2)(2)注意问题注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函数的求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段段”一定要分得合理一定要分得合理. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 根据统计根据统计, ,一名工人组装第一名工人组装第x x件产品所用的时间件产品所用的时间( (单位单位: :分钟分钟) )为为f(x)= f(x)= (A,c(A,c为常数为常数).).已知该工人组装第已知该工人组装第4 4件产品用时件产品用时3030分钟分钟, ,组装第组装第A A件产品用时件产品用时1515分分 钟钟, ,则则A A的值为
22、的值为_._. c xA x c xA A ， ， 【解析】【解析】由函数解析式可以看出由函数解析式可以看出, ,组装第组装第A A件产品所需时间为件产品所需时间为 =15,=15, 因为该工人组装第因为该工人组装第4 4件产品用时件产品用时3030分钟分钟1515分钟分钟, , 所以所以4A,4A,故故f(4)= =30,f(4)= =30,解得解得c=60.c=60. 所以所以 =15,=15,解得解得A=16.A=16. 答案答案: :1616 c A c 4 60 A 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.一列货运火车从某站出发一列货运火车从某站出发, ,匀加速行驶一段时间后开始匀
23、速行驶匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶, ,过了一段时过了一段时 间间, ,火车到达下一站停车火车到达下一站停车, ,装完货以后装完货以后, ,火车又匀加速行驶火车又匀加速行驶, ,一段时间后再次匀速一段时间后再次匀速 行驶行驶, ,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是 ( () ) 【解析】【解析】选选B.B.根据题意根据题意, ,知这列火车从静止开始匀加速行驶知这列火车从静止开始匀加速行驶, ,所以排除所以排除A,D;A,D;然后然后 匀速行驶一段时间后又停止了一段时间匀速行驶一段时间后又停止了一段时间, ,排除排除C.C.
24、2.2.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则则f(2)=f(2)=( () ) A.-1A.-1B.0B.0C.1C.1D.2D.2 【解析】【解析】选选A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1. x2,x2, f x1 ,x2, 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )国家规定个人稿费纳税办法国家规定个人稿费纳税办法: :不超过不超过800800元的不纳元的不纳 税税; ;超过超过800800元而不超过元而不超过4 0004 000元的按超过元的按超过800800元部分的元部分的14%14%纳税纳税;
25、 ;超过超过4 0004 000元的元的 按全部稿酬的按全部稿酬的11.2%11.2%纳税纳税. .已知某人出版一本书已知某人出版一本书, ,共纳税共纳税420420元元, ,则这个人应得稿则这个人应得稿 费费( (扣税前扣税前) )为为( () ) A.2 800A.2 800元元B.3 000B.3 000元元 C.3 800C.3 800元元D.3 818D.3 818元元 【解析】【解析】选选C.C.设纳税额为设纳税额为y y元元, ,稿费稿费( (扣税前扣税前) )为为x x元元, , 由题意由题意, ,知纳税额知纳税额y y元与稿费元与稿费( (扣税前扣税前)x)x元之间的函数解析
26、式为元之间的函数解析式为 y= y= 由于此人纳税由于此人纳税420420元元, ,所以当所以当800 x4 0008004 000 x4 000时时,0.112x=420,0.112x=420,解得解得x=3 750(x=3 750(舍去舍去),), 故这个人应得稿费故这个人应得稿费( (扣税前扣税前) )为为3 8003 800元元. . 0,x800, 0.14 x800 ,800 x4 000, 0.112x,x4 000. 4.4.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 若若f(x)=3,f(x)=3,则则x=_.x=_. 【解析】【解析】依题意依题意, ,若若x0,x0,则则x+2
27、=3,x+2=3,解得解得x=1,x=1, 不合题意不合题意, ,舍去舍去; ; 若若0 x3,0 x3,则则x x2 2=3,=3,解得解得x=- (x=- (舍去舍去) )或或x= .x= . 答案答案: : 2 x2,x0, x ,0 x3, 33 3 5.5.已知函数已知函数f(x)f(x)的图象是两条线段的图象是两条线段( (如图所示如图所示, ,不含端点不含端点),),则则 =_.=_. 1 f(f( ) 3 【解析】【解析】由题图可知由题图可知, ,函数函数f(x)f(x)的解析式为的解析式为f(x)= f(x)= 所以所以 所以所以 答案答案: : x1,0 x1, x1, 1x0, 112 f()1. 333 1221 f(f()f()1. 3333 1 3
