1、第2课时函数的最大值、最小 值 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思函数的最大值、最小值是怎样定义的函数的最大值、最小值是怎样定义的? ? 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 (1)(1)定义定义: : 条件条件 设设y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为A,A,如果存在如果存在x x0 0A,A,使得对于任意的使得对于任意的xA,xA, 都有都有 前提前提f(x)f(xf(x)f(x0 0) )f(x)f(xf(x)f(x0 0) ) 结论结论 称称f(xf(x0 0) )为为y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值, ,记为记为y ymax max= = f(xf(x0
2、0) ) 称称f(xf(x0 0) )为为y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值, ,记为记为 _ y ymin min=f(x =f(x0 0) ) (2)(2)本质本质: :函数图象上最高点的纵坐标即为最大值函数图象上最高点的纵坐标即为最大值; ;最低点的纵坐标即为最小值最低点的纵坐标即为最小值. . (3)(3)应用应用: :求函数的值域求函数的值域, ,参数的范围参数的范围, ,解决实际问题解决实际问题. . 【思考】【思考】 函数函数f(x)=-xf(x)=-x2 2的定义域为的定义域为R,R,存在实数存在实数1,1,对于任意对于任意xR,xR,都有都有f(x)1.f(x)1.那么
3、那么1 1是是 函数函数f(x)=-xf(x)=-x2 2的最大值吗的最大值吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :不是不是. .因为不存在因为不存在x x0 0R,R,使得使得f(xf(x0 0)= =1.)= =1. 2 0 x 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)任何函数都有最大值、最小值任何函数都有最大值、最小值. .( () ) (2)(2)如果一个函数有最大值如果一个函数有最大值, ,那么最大值是唯一的那么最大值是唯一的. .( () ) (3)(3)如果一个函数如果一个函数f(x)f(x)在区间在区间
4、a,ba,b上单调递减上单调递减, ,那么函数的最大值是那么函数的最大值是f(b).f(b). ( () ) 提示提示: :(1)(1). .如函数如函数y= y= 既没有最大值既没有最大值, ,也没有最小值也没有最小值. . (2).(2).函数的最大值是唯一的函数的最大值是唯一的. . (3)(3). .最大值为最大值为f(a).f(a). 1 x 2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-3x(|x|1)-3x(|x|1)( () ) A.A.有最大值有最大值, ,但无最小值但无最小值 B.B.有最大值有最大值, ,也有最小值也有最小值 C.C.无最大值无最大值, ,但有最小值但有
5、最小值 D.D.既无最大值既无最大值, ,也无最小值也无最小值 【解析】【解析】选选D.f(x)=xD.f(x)=x2 2-3x-3x是开口向上的抛物线是开口向上的抛物线, , 其对称轴方程为其对称轴方程为x= ,x= ,则函数则函数f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上单调递减上单调递减, ,所以函数所以函数f(x)=f(x)= x x2 2-3x(|x|1)-3x(|x|1)既无最大值既无最大值, ,也无最小值也无最小值. . 3 2 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )函数函数y= y= 在区间在区间2,62,6上的最大值、最小值分别上的最大值、最小值
6、分别 是是( () ) 【解析】【解析】选选A.A.因为因为y= y= 在区间在区间2,62,6上单调递减上单调递减, , 所以当所以当x=2x=2时取最大值时取最大值y=1;y=1; 当当x=6x=6时取最小值时取最小值y= .y= . 2 x 111 11 1 A.1, B. ,1 C. , D. , 332 44 2 2 x 1 3 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用函数的图象求函数的最值类型一利用函数的图象求函数的最值( (直观想象直观想象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)f(x)在区间在区间-2,5-2,5上的图象如图所示上的图象如图所示, ,则此函
7、数的最小值、最大值分别则此函数的最小值、最大值分别 是是( () ) A.-2,f(2)A.-2,f(2)B.2,f(2)B.2,f(2) C.-2,f(5)C.-2,f(5)D.2,f(5)D.2,f(5) 2.2.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则则f(x)f(x)的最大值、最小值分别为的最大值、最小值分别为 _,_,_,_,减区间为减区间为_._. 2 x , 1x1, 1 ,x1. x 3.(20203.(2020汉中高一检测汉中高一检测) )已知函数已知函数f(x)= f(x)= (1)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)f(x)的图
8、象的图象. . (2)(2)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时取什么值时f(x)f(x)有最值有最值. . 2 3x ,x1,2 , x3,x(2,5 , 【解析】【解析】1.1.选选C.C.由函数的图象可知由函数的图象可知, ,最小值为最小值为-2,-2,最大值为最大值为f(5).f(5). 2.2.作出函数作出函数f(x)f(x)的图象的图象( (如图如图).).由图象可知由图象可知, ,当当x=x=1 1时时,f(x),f(x)取最大值为取最大值为 f(f(1)=1;1)=1; 当当x=0 x=0时时,f(x),f(x)取最小值取最小值f(0)=0, f(0)=0, 故故f(x)f
9、(x)的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为0.0.减区间为减区间为-1,0,1,+).-1,0,1,+). 答案答案: :1 10 0-1,0,1,+)-1,0,1,+) 3.(1)3.(1)由题意知由题意知, ,当当x-1,2x-1,2时时, , f(x)=-xf(x)=-x2 2+3,+3,为二次函数的一部分为二次函数的一部分; ; 当当x(2,5x(2,5时时,f(x)=x-3,f(x)=x-3,为一次函数的一部分为一次函数的一部分; ; 所以所以, ,函数函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示. . (2)(2)由图象可知由图象可知, ,当当x=0 x=0时时,f(x
10、),f(x)有最大值有最大值3;3; 当当x=2x=2时时,f(x),f(x)min min=-1. =-1. 【解题策略】【解题策略】 图象法求最值的步骤图象法求最值的步骤 【补偿训练】【补偿训练】 已知函数已知函数f(x)= f(x)= 求函数求函数f(x)f(x)的最大值、最小值及增区间的最大值、最小值及增区间. . 2 xx(0 x2), 2 (x2), x1 【解析】【解析】作出作出f(x)f(x)的图象如图的图象如图: : 由图象可知由图象可知, ,当当x=2x=2时时,f(x),f(x)取最大值为取最大值为2;2; 当当x= x= 时时,f(x),f(x)取最小值为取最小值为 .
11、 .所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为2,2,最小值为最小值为 , ,增区间增区间 为为 . . 1 4 1 4 1 2 1 ,2 2 类型二利用单调性求函数的最值类型二利用单调性求函数的最值( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】(2020(2020石嘴山高一检测石嘴山高一检测) )已知函数已知函数f(x)= .f(x)= . (1)(1)用定义证明用定义证明f(x)f(x)在区间在区间3,+)3,+)上是增函数上是增函数. . (2)(2)求该函数在区间求该函数在区间3,53,5上的最大值与最小值上的最大值与最小值. . 1 x2 四步四步内容内容 理解理解 题意题意 条件
12、条件:f(x)= .:f(x)= . 结论结论:(1):(1)证明单调性证明单调性; ; (2)(2)求在区间求在区间3,53,5上的最值上的最值. . 思路思路 探求探求 利用定义证明函数的单调性利用定义证明函数的单调性, ,利用单调性求最值利用单调性求最值. . 1 x2 四步四步内容内容 书写书写 表达表达 (1)(1)因为函数因为函数f(x)= ,x3,+),f(x)= ,x3,+),设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间3,+)3,+)上的任意两个上的任意两个 值值, ,且且x x1 1xxx1 1, , 所以所以x x2 2-x-x1 10,0,因为因为x x2 2xx1 13
13、,3,所以所以x x1 1-20,x-20,x2 2-20,-20,所以所以f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,即即 f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1).).故故f(x)f(x)在区间在区间3,+)3,+)上是增函数上是增函数. . (2)(2)根据根据(1)(1)可知可知f(x)f(x)在区间在区间3,+)3,+)上是增函数上是增函数, , 可得可得f(x)f(x)在在3,53,5上的最小值为上的最小值为f(3)=-1,f(3)=-1,最大值为最大值为f(5)=- .f(5)=- .注意书写的规注意书写的规 范性范性: :差式分解到位差式分解到位, ,是判断符号的
14、关键是判断符号的关键; ;单调性是确定最值的依据单调性是确定最值的依据. . 题后题后 反思反思 求函数的最值时首先要关注函数的单调性求函数的最值时首先要关注函数的单调性, ,由单调性确定取最值时的自变量由单调性确定取最值时的自变量 值值. . 1 x2 221 21 1 xx11 x , x2222xx （）（） 3,5 所以函数在区间上是增函数， 1 3 【解题策略】【解题策略】 1.1.利用单调性求函数的最大利用单调性求函数的最大( (小小) )值的一般步骤值的一般步骤 (1)(1)判断函数的单调性判断函数的单调性. . (2)(2)利用单调性求出最大利用单调性求出最大( (小小) )值
15、值. . 2.2.函数的最大函数的最大( (小小) )值与单调性的关系值与单调性的关系 (1)(1)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是增上是增( (减减) )函数函数, ,则则f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上的最小上的最小( (大大) ) 值是值是f(a),f(a),最大最大( (小小) )值是值是f(b).f(b). (2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是增上是增( (减减) )函数函数, ,在区间在区间b,cb,c上是减上是减( (增增) )函数函数, ,则则 f(x)f(x)在区间在区间a,ca,c上的最大上的最大( (小小)
16、 )值是值是f(b),f(b),最小最小( (大大) )值是值是f(a)f(a)与与f(c) f(c) 中较小中较小( (大大) ) 的一个的一个. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 设函数设函数f(x)= .f(x)= . (1)(1)判断函数判断函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上的单调性并用定义加以证明上的单调性并用定义加以证明. . (2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间2,52,5上的最大值与最小值上的最大值与最小值. . 2x3 x 【解析】【解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,证明如下证明如下: : 设设
17、x x1 1,x,x2 2是是(0,+)(0,+)上的任意两个值上的任意两个值, ,且且x x1 1xx2 2, , 则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)= )= 因为因为0 x0 x1 1xx2 2, ,所以所以x x1 1-x-x2 20,x0,0, 所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),), 所以函数所以函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . 12 122112 33333(xx ) (2)(2). xxxxx x (2)(2)由由(1)(1)可知函数可知函数f(x)f
18、(x)在在2,52,5上是增函数上是增函数, , 所以所以f(x)f(x)max max=f(5)= ,f(x) =f(5)= ,f(x)min min=f(2)= . =f(2)= . 7 5 1 2 类型三常见的最值问题类型三常见的最值问题( (数学运算、数学建模数学运算、数学建模) ) 角度角度1 1换元法求最值换元法求最值 【典例】【典例】(2020(2020启东高一检测启东高一检测) )函数函数f(x)= f(x)= 的最小值为的最小值为 ( () ) A.0A.0B. B. C.-1C.-1D.D. x x1 2 12 42 1 2 【思路导引】【思路导引】令令t= ,t= ,转化
19、为二次函数求最值转化为二次函数求最值. . 【解析】【解析】选选C.C.设设 =t,t0,=t,t0,则则x=tx=t2 2-1,-1, 解析式化为解析式化为y= ty= t2 2-t- (t-1)-t- (t-1)2 2-1,t0,-1,t0, 所以所以t=1t=1时时, ,原函数的最小值为原函数的最小值为-1.-1. x1 x1 1 2 11 22 角度角度2 2基本不等式求最值基本不等式求最值 【典例】【典例】(2020(2020杭州高一检测杭州高一检测) )已知已知x3,x3,则则f(x)= +xf(x)= +x的最大值是的最大值是( () ) A.-1A.-1B.1B.1C.4C.4
20、D.7D.7 【思路导引】【思路导引】利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值. . 4 x3 【解析】【解析】选选A.A.因为因为x3,x3,所以所以x-30,x-30, 所以所以 +x= +(x-3)+3+x= +(x-3)+3 -2 +3=-1,-2 +3=-1, 当且仅当当且仅当 =x-3,=x-3,即即x=1x=1时取等号时取等号. . 故故f(x)f(x)的最大值为的最大值为-1.-1. 4 x3 4 x3 4 (3x) x3 4 x3 角度角度3 3含参数的最值问题含参数的最值问题 【典例】【典例】已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+ax- +1(aR).+ax-
21、 +1(aR). 若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的最大值为上的最大值为g(a),g(a),求求g(a)g(a)的解析式的解析式, ,并求其最小值并求其最小值. . 【思路导引】【思路导引】求出函数的对称轴求出函数的对称轴, ,讨论对称轴与区间的位置关系求最值讨论对称轴与区间的位置关系求最值. . a 2 【解析】【解析】f(x)=-xf(x)=-x2 2+ax- +1+ax- +1的对称轴为的对称轴为x= ,x= , (1)(1)当当 11即即a2a2时时,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上为增函数上为增函数, ,可得可得g(a)=f(1)= ,g(a)=f(
22、1)= ,且且g(a)g(a) 的最小值为的最小值为g(2)=1.g(2)=1. (2)(2)当当 -1-1即即a-2a-2时时,f(x),f(x)在在-1,1-1,1上为减函数上为减函数, ,可得可得g(a)=f(-1)=- a,g(a)=f(-1)=- a, 此时此时g(a)g(a)的最小值为的最小值为g(-2)=3.g(-2)=3. a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 3 2 (3)(3)当当-1 1,-1 1,即即-2a2-2a1a1时时,f(x),f(x)max max=f(0)=1, =f(0)=1, 所以所以f(x)f(x)max max= = 54a,a1, 1,a1. 【
23、解题策略】【解题策略】 1.1.多种方法求函数的最值多种方法求函数的最值 首先由函数解析式的特征确定求最值的方法首先由函数解析式的特征确定求最值的方法, ,灵活应用解不等式、换元法、单灵活应用解不等式、换元法、单 调性求最值调性求最值. . 2.2.含参数的一元二次函数的最值含参数的一元二次函数的最值 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x=mx=m为例为例, ,区间为区间为a,ba,b (1)(1)最小值最小值:f(x):f(x)min min= = (2)(2)最大值最大值:f(x):f(x)max max= = 当开口向下、区间是闭区间时当开口向下、区
24、间是闭区间时, ,用类似方法进行讨论用类似方法进行讨论, ,其实质是讨论对称轴与区其实质是讨论对称轴与区 间的位置关系间的位置关系. . f(a),ma, f(m),amb, f(b),mb; ab f(a),m, 2 ab f(b),m. 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.函数函数y= y= 在在2,32,3上的最小值为上的最小值为( () ) A.1A.1B. B. C. C. D. D. 【解析】【解析】选选B.y= B.y= 在在2,32,3上为减函数上为减函数, , 所以所以x=3x=3时取最小值为时取最小值为 . . 2 x1 1 2 1 2 2 3 2 x1 1 2
25、2.2.函数函数f(x)f(x)的图象如图的图象如图, ,则其最大值、最小值分别为则其最大值、最小值分别为( () ) A. A. B.f(0), B.f(0), C. ,f(0)C. ,f(0)D.f(0),f(3)D.f(0),f(3) 【解析】【解析】选选B.B.观察函数图象观察函数图象,f(x),f(x)的最大值、最小值分别为的最大值、最小值分别为f(0), .f(0), . 33 f( )f() 22 ， 3 f( ) 2 3 f() 2 3 f( ) 2 3.3.函数函数y= y= 的最大值是的最大值是( () ) A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 x3,(x1)
26、x5,(x1) ， 【解析】【解析】选选B.B.函数函数y= y= 的图象如图所示的图象如图所示: : 由图象可得函数由图象可得函数y= y= 的最大值是的最大值是4.4. x3,(x1) x5,(x1) ， x3,(x1) x5,(x1) ， 4.4.当当0 x20 x2时时,a-x,a-x2 2+2x+2x恒成立恒成立, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () ) A.(-,1A.(-,1B.(-,0B.(-,0 C.(-,0)C.(-,0)D.(0,+)D.(0,+) 【解析】【解析】选选C.C.令令f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x,+2x,则则f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x=-(x-1)+2x=-(x-1)2 2+1.+1.又因为又因为x0,2,x0,2,所以所以 f(x)f(x)min min=f(0)=f(2)=0. =f(0)=f(2)=0.所以所以a0.a1)1,b(b1)上的最小值是上的最小值是 , ,则则 b=_.b=_. 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)在在1,b1,b上为减函数上为减函数, ,所以所以f(x)f(x)在在1,b1,b上的最小值为上的最小值为 f(b)= ,f(b)= ,所以所以b=4.b=4. 答案答案: :4 4 1 x 1 4 11 b4 ，
