- 3.1.2 第2课时函数的平均变化率-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第一册练习 (2份打包)
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第三章第三章3.13.1.2第第 2 课时课时 1已知函数 f(x)在2,2上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(C) Af(2),0B0,2 Cf(2),2Df(2),2 解析:由函数最值的几何意义知,当 x2 时,有最小值 f(2);当 x1 时,有最 大值 2. 2已知函数 f(x)x22xa(x0,2)有最小值2,则 f(x)的最大值为(B) A4B6 C1D2 解析:f(x)x22xa(x0,2)为增函数,所以最小值为 f(0)a2,最大值 f(2) 8a6. 3函数 f(x) 在1,b(b1)上的最小值是 ,则 b_4_. 1 x 1 4 解析:因为 f(x)在1,b上是减函数, 所以 f(x)在1,b上的最小值为 f(b) ,所以 b4. 1 b 1 4 4函数 f(x)在区间2,4上的最大值为_ _,最小值为_ _. x x2 2 3 1 2 解析:f(x)1, x x2 x22 x2 2 x2 函数 f(x)在2,4上是增函数, f(x)minf(2) , 2 22 1 2 f(x)maxf(4) . 4 42 2 3 5已知 f(x),x2,6 1 x1 (1)证明:f(x)是定义域上的减函数; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 解析:(1)设任意实数 x12,6,x22,6,且 x10. yf(x2)f(x1) 1 x21 1 x11 , x11x21 x21x11 x1x2 x21x11 x1x2x0,x110, 0,y0. x1x2 x21x11 故函数 f(x)是定义域上的减函数 (2)由(1)知 f(x)是定义域上的减函数, f(x)maxf(2)1, f(x)minf(6) . 1 5 第三章第三章3.13.1.2第第 2 课时课时 请同学们认真完成 练案 21 A 级基础巩固 一、单选题(每小题 5 分,共 25 分) 1已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 ff(1)的实数 x 的取值范围是(C) (| 1 x|) A(1,1)B(0,1) C(1,0)(0,1)D(,1)(1,) 解析:由已知得:1,1x0 或 0 x1,故选 C | 1 x| 2下列四个函数中,在(0,)上是增函数的是(A) Af(x)Bf(x)x23x x x1 Cf(x)3xDf(x)|x| 解析:因为 f(x)1,函数 y在(0,)上是增函数,所以 f(x) x x1 1 x1 1 x1 在(0,)上是增函数,故 A 符合题意函数 f(x)x23x 在上单调递减,在 x x1 (0, 3 2) 上单调递增,故 B 不符合题意函数 f(x)3x 在(0,)上是减函数,故 C 不 ( 3 2,) 符合题意函数 f(x)|x|在(0,)上是减函数,故 D 不符合题意故选 A 3已知函数 f(x)在 R 上是增函数,若 ab0,则下列结果中正确的是(A) Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Cf(a)f(a)f(b)f(b) Df(a)f(a)f(b)f(b) 解析:f(x)在 R 上为增函数,又 ab0,ab,ba,f(a)f(b),f(b)f(a), f(a)f(b)f(a)f(b) 4函数 yx22x2 在区间2,3上的最大值、最小值分别是(B) A10,5B10,1 C5,1D12,5 解析:因为 yx22x2(x1)21,且 x2,3,所以当 x1 时,ymin1;当 x2 时,ymax(21)2110.故选 B 5函数 f(x)在区间3,1上是增函数,且最小值为2,最大值为 1,那么|f(x)|在 3,1上(C) A最小值为2,最大值为 1 B最小值为 0,最大值为 1 C最小值为 0,最大值为 2 D最小值为2,最大值为 0 解析:可用排除法去掉 A,D,再利用绝对值的性质排除 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6对于任意 xR,函数 f(x)表示x3, x ,x24x3 中的较大者,则 f(x)的最 3 2 1 2 小值是_2_. 解析:由 x (x3)0 得:x1. 3 2 1 2 由 x24x3(x3)0 得: x3 或 x0. 由 x24x30 得: ( 3 2x 1 2) x5 或 x . 1 2 则 f(x)Error! 结合图像得:f(x)minf(1)132. 7已知函数 f(x)在(,)上是减函数,若 f(a22a2)f(a23a3),则实数 a 的取值范围是_1,)_. 解析:本题考查利用函数的单调性解不等式因为函数 f(x)在(,)上是减函数, 且 f(a22a2)f(a23a3),所以 a22a2a23a3,解得 a1,所以实数 a 的取 值范围是1,) 8已知 f(x)x22(a1)x2 在1,5上的最大值为 f(1),则 a 的取值范围是 _(,2_. 解析:f(x)x22(a1)x2(xa1)2(a1)22,函数图像是对称轴为直线 x1a,开口向上的抛物线 当 11a3,即2a0 时,当 x5 时,取得最大值 f(5),不符合题意;当 31a5,即4a2 时,当 x1 时,取得最大值 f(1),符合题意;当 1a0 时,函数在1,5上为增函数,当 x5 时取得最大值 f(5),不符合题意;当 1a5,即 a4 时,函数在1,5上为减函数,当 x1 时取得最大值 f(1),符合题意综上可知,a 的取值范围是(,2 三、解答题(共 20 分) 9(10 分)已知函数 f(x),x3,5 x1 x2 (1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 解:(1)f(x)在3,5上为增函数,证明如下: 设任取 x1,x23,5且 x1x2, f(x1)f(x2). x11 x12 x21 x22 3x1x2 x12x22 3x1x25, x1x20. f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2), f(x)在3,5上为增函数 (2)由(1)可知 f(x)maxf(5) ,f(x)minf(3) . 4 7 2 5 10(10 分)已知函数 f(x)x22x2. (1)求 f(x)在区间 ,3上的最大值和最小值; 1 2 (2)若 g(x)f(x)mx 在2,4上是单调函数,求 m 的取值范围 解:(1)f(x)x22x2(x1)21,x, 1 2,3 f(x)的最小值是 f(1)1,又因为 f( ) ,f(3)5, 1 2 5 4 所以 f(x)的最大值是 f(3)5, 即 f(x)在区间 ,3上的最大值是 5,最小值是 1. 1 2 (2)g(x)f(x)mxx2(m2)x2 在2,4上是单调函数, 2 或4,即 m2 或 m6. m2 2 m2 2 故 m 的取值范围是(,26,) B 级素养提升 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1函数 f(x)Error!的最大值是(B) A1B2 C D 1 2 1 3 解析:当 x1 时,函数 f(x) 为减函数,此时 f(x)在 x1 处取得最大值,最大值为 1 x f(1)1;当 x1 时,函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值,最大值为 f(0)2.综上可得, f(x)的最大值为 2.故选 B 2若函数 yax1 在1,2上的最大值与最小值的差为 2,则实数 a 的值是(C) A2B2 C2 或2D0 解析:当 a0 时,函数 yax1 在1,2上单调递增, ymina1,ymax2a1, 2a1a12, a2. 当 a0 时,函数 yax1 在1,2上单调递减, ymin2a1, ymaxa1, a12a12, a2. 综上可知 a2. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分) 3设 c0,f(x)是区间a,b上的减函数,下列命题中正确的是(CD) Af(x)在区间a,b上有最小值 f(a) B在a,b上有最小值 f(a) 1 fx Cf(x)c 在a,b上有最小值 f(b)c Dcf(x)在a,b上有最小值 cf(a) 解析:A 中,f(x)是区间a,b上的减函数,在区间a,b上有最小值 f(b),A 错误;B 中,f(x)是区间a,b上的减函数,而函数在a,b上单调性无法确定,其最小值无法确 1 fx 定,B 错误;C 中,f(x)是区间a,b上的减函数,f(x)c 在区间a,b上也是减函数,其 最小值 f(b)c,C 正确;D 中,f(x)是区间a,b上的减函数,且 c0,则 cf(x)在区间 a,b上是增函数,则在a,b上有最小值 cf(a),D 正确 4狄利克雷是德国著名数学家,函数 D(x)Error!被称为狄利克雷函数,下面给出关 于狄利克雷函数 D(x)的结论中正确的是(CD) A若 x 是无理数,则 DD(x)0 B函数 D(x)的值域是0,1 CD(x)D(x) D若 T0 且 T 为有理数,则 D(xT)D(x)对任意的 xR 恒成立 解析:对于 A,当 x 为有理数时,D(x)1;当 x 为无理数时,D(x)0,当 x 为有 理数时,DD(x)D(1)1;当 x 为无理数时,DD(x)D(0)1,即不管 x 是有理数还是 无理数,均有 DD(x)1,故 A 不正确;对于 B,函数 D(x)的值域为0,1不是0,1,故 B 不正确;对于 C,有理数的相反数还是有理数、无理数的相反数还是无理数,对任意 xR,都有 D(x)D(x),故 C 正确;对于 D,若 x 是有理数,则 xT 也是有理数;若 x 是无理数,则 xT 也是无理数,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,D(xT)D(x)对任意的 xR 恒成立,故 D 正确 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5函数 f(x)3x 在区间2,4上的最大值为_4_. 6x 解析:因为 y在区间2,4上是减函数,y3x 在区间2,4上是减函数,所以 6x 函数 f(x)3x 在区间2,4上是减函数,所以 f(x)maxf(2)324. 6x62 6函数 f(x)(x0)的值域为_(0,1_. 3x x2x1 解析:f(x)1, 3x x2x1 3 x1 x1 3 2 x1 x1 当且仅当 x 1 时取等号 1 x 又 f(x)0,所以 0f(x)1, 故函数 f(x)的值域为(0,1 四、解答题(共 10 分) 7已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)f(2)3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间2a,a1上不单调,求 a 的取值范围; (3)若 xt,t2,试求 yf(x)的最小值 解析:(1)f(x)是二次函数,且 f(0)f(2), f(x)图像的对称轴是直线 x1. 又 f(x)的最小值为 1,则可设 f(x)k(x1)21. f(0)3,k2. f(x)2(x1)212x24x3. (2)要使 f(x)在区间2a,a1上不单调, 则 2a1a1,解得 0a . 1 2 故实数 a 的取值范围是(0, ) 1 2 (3)由(1)知,yf(x)图像的对称轴为直线 x1. 若 t1,则 yf(x)在t,t2上是增函数, yminf(t)2t24t3; 若 t21,即 t1,则 yf(x)在t,t2上是减函数, yminf(t2)2t24t3; 若 t1t2,即1t1,则 yminf(1)1. 综上,当 t1 时,ymin2t24t3; 当1t1 时,ymin1; 当 t1 时,ymin2t24t3.
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