1、9.1.2余弦定理 一、余弦定理及其证明 1.思考 (1)余弦定理是如何证明的? 所以|c|2=cc=(b-a)2=a2-2ab+b2 =a2-2|a|b|cos C+b2, 所以c2=a2+b2-2abcos C. 提示:证法1 (向量法) 证法2 (勾股定理法)在ABC中,已知边a,b及角C,求边c的长. 如果C=90,那么可以用勾股定理求c的长; 如果C90,那么是否仍可以用勾股定理来解呢? 很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计算. 当C为锐角时(图),高AD把ABC分成两个直角三角形ADB和 ADC;当C为钝角时(图),作高AD,则构造了两个直角三角形ADB 和ADC
2、,算出c的关键是先算出AD和BD(或DC). AD=bsin C,DC=bcos C,BD=a-bcos C. 在RtADB中,运用勾股定理,得 c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcos C)2 =a2+b2-2abcos C. 同理可得 b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 证法3 利用 (坐标法) 如图,建立直角坐标系, 则A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0)(写出三点的坐标). 所以a2=b2+c2-2bccos A. 证法4 (正弦定理法) 因为a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 所以b
3、2+c2-2bccos A=4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A) =4R2sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C) =4R2sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sin Bsin Ccos Bcos C =4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2. 同理可证b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abc
4、os C. (2)勾股定理和余弦定理的联系与区别? 提示:二者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反 映了任一三角形中三边平方之间的关系,勾股定理反映了直角三角 形中三边平方之间的关系,是余弦定理的特例. 2.填空 余弦定理的表示及其推论 3.做一做 (1)判断正误. 余弦定理只适用于锐角三角形. () 余弦定理不适用于钝角三角形. () 已知两边和这两边的夹角,则这个三角形就确定了. () 已知三边,则这个三角形就确定了. () 解析:余弦定理适用于任意三角形,故均不正确; 已知两边和这 两边的夹角,则这个三角形就确定了,故正确；已知三边，则这 个三角形就确定了，故正确. 答案:
5、答案:B (3)在ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=. (4)在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,则AC等于. 二、用余弦定理解三角形的问题 1.思考 (1)已知三角形的两边及一边的对角解三角形,有几种方法? 提示:不妨设已知a,b,A, 得C,最后得边c. 方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定 理求得B,C. (2)使用余弦定理有哪些注意事项? 提示:利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式. 一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用定理的推论. 余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形 时要根据条件灵活选
6、择. 余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角 形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的 公式. 要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时,要注意三角公式的 应用. 利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以使用余 弦定理.如已知a,b,A,可先由余弦定理求出c,即a2=b2+c2-2bccos A.此 时,边c的解的个数对应三角形解的个数. 在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以 知三求一. 利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理 中涉及的是边长的平方,通常转
7、化为一元二次方程求正实数.因此 解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件. 2.填空 利用余弦定理可以解决以下两类问题: (1)已知两边及夹角解三角形; (2)已知三边解三角形. 3.做一做 A.4B.8C.4或8D.无解 答案:C 答案:D (3)在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是. 解析:设中间角为,由于875,故的对边长为7,由余弦定理, 答案:120 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 已知两边和一角解已知两边和一角解三角形三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟
8、已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正 弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解. (2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程, 解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的 讨论.利用余弦定理求解相对简便. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练1(1)已知ABC中,a=1,b=1,C=120,则边c=. 答案:4或5 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 已知三边解已知三边解三角形三角形 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟已知三边
9、解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用 余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后 利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 判定三角形的形状判定三角形的形状 例3在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断ABC的 形状. 解：方法一:因为b2
10、sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C. 所以利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C. 因为sin Bsin C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C. 所以cos(B+C)=0.所以cos A=0. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形. 方法三:已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C, 所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C, 因为b2cos2C+c
11、2cos2B+2bccos Bcos C =(bcos C+ccos B)2=a2, 所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形. 方法二:已知等式可化为 b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C, 由余弦定理可得 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 反思感悟已知三角形边或角的关系解三角形或判断三角形形状的 方法 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先 观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法.当等式两端各项 都含有边时常用正弦定理变形;当等式两边含有角的正弦的同次幂 时,常用正弦定理变形;当含有边的积式及边的平方和与差的
12、形式 时,常考虑用余弦定理变形.可以化边为角,通过三角变换求解;也可 以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 用余弦定理证明用余弦定理证明问题问题 证明:在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, 所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B. 所以2(a2-b2)=2accos B-2bccos A, 即a2-b2=accos B-bccos A. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测
13、反思感悟用余弦定理证明三角恒等式的方法 (1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式 上一般有:左右,右左或左中右三种. (2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是 把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转 化为角的关系,一般是通过正弦定理转化. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 所以2ab+a2+b2-c2+2bc+b2+c2-a2=6b2. 整理得ab+bc=2b2,同除以b得a+c=2b, 故等式成立. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 求三角形求三角形(或四边形或四边形)的面积的面积 例5AB
14、C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由得sin Csin B=cos Bsin C. 又0C,sin C0,得sin B=cos B. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 变式训练5在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2as
15、in (1)求角A的大小; (2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 正、正、余弦定理的综合余弦定理的综合应用应用 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 利用正、余弦定理求解平面图形中线段的长 典例如图所示,在四边形ABCD 中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求出BC的长. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 解题流程 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析
16、当堂检测 规范解答 设BD=x.在ABD中,根据余弦定理,AB2=AD2+BD2- 2ADBDcosBDA,所以142=102+x2-210 xcos 60,即x2-10 x- 96=0.(将四边形ABCD分解为两个ABD和BCD,利用余弦定理 列出关于x的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算 的准确性.) 解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16. 因为ADCD,BDA=60,所以CDB=30. 点评本题考查了“数学建模,逻辑推理,数学运算,直观想象”的数学 核心素养. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六
17、思维辨析当堂检测 2.在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 解析:因为c2a2+b2,所以C为锐角. 因为abc,所以C为最大角,所以ABC为锐角三角形. 答案:B 3.在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=6,c=9,则角 cos C=. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 4.在ABC中,已知A=60,最大边长和最小边长恰好是方程x2- 7x+11=0的两根,则第三边的长为 . 答案:4 探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测 5.在ABC中,已知a=4,c=5,且SABC=6,求b.
