1、1 课时分层作业课时分层作业(十十)万有引力理论的成就万有引力理论的成就 (建议用时：建议用时：25 分钟分钟) 考点一考点一计算天体的质量与密度计算天体的质量与密度 1地球表面的平均重力加速度为地球表面的平均重力加速度为 g，地球半径为地球半径为 R，万有引力常量为万有引力常量为 G， 用上述物理量估算出来的地球平均密度是用上述物理量估算出来的地球平均密度是() A 3g 4RG B 3g 4R2G C g RG D g RG2 A地球表面有地球表面有 GMm R2 mg，得，得 MgR 2 G ，又由，又由M V 3M 4R3 ，由，由 得出得出 3g 4RG，故 ，故 A 正确。正确。
2、2若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为 T 和和 R，月球绕地球公月球绕地球公 转周期和公转半径分别为转周期和公转半径分别为 t 和和 r，则太阳质量与地球质量之比则太阳质量与地球质量之比M 日日 M 地地 为为() AR 3t2 r3T2 BR 3T2 r3t2 CR 3t2 r2T3 DR 2T3 r2t3 A无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转， 统一表示为统一表示为 GMm r2 m4 2 T2 r， 即即 Mr 3 T2，所以 ，所以M 日日 M地 地 R 3t2 r3T2，选项 ，选项 A 正确。正
3、确。 3已知太阳光从太阳射到地球需时间已知太阳光从太阳射到地球需时间 t， ，光速为光速为 c，地球公转轨道可近似看地球公转轨道可近似看 成圆轨道成圆轨道，公转周期为公转周期为 T，地球半径为地球半径为 R，地球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度为 g，试计算试计算： (1)太阳的质量；太阳的质量； (2)地球的质量地球的质量。 解析解析(1)设太阳的质量为设太阳的质量为 M， 地球的质量为地球的质量为 m， 因为太阳对地球的万有引因为太阳对地球的万有引 力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有 GMm r2 m2rm4 2 T2 r 2 解得解
4、得 M4 2r3 GT2 4 2c3t3 GT2 。 (2)地球半径为地球半径为 R，则地面上质量为，则地面上质量为 m的物体的重力近似等于物体与地球的的物体的重力近似等于物体与地球的 万有引力，故有：万有引力，故有：F引 引 mg，即，即 Gmm R2 mg，mgR 2 G 。 答案答案(1)4 2c3t3 GT2 (2)gR 2 G 考点二考点二天体运动的分析与计算天体运动的分析与计算 4科学家们推测科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上， ，从地球上看从地球上看， 它永远在太阳的背面它永远在太阳的背面， 人类一直未能发现它人类一直未能发现它，
5、可以说是可以说是“隐居隐居”着的地球的着的地球的“孪孪 生兄弟生兄弟”。由以上信息我们可能推知由以上信息我们可能推知() A这颗行星的公转周期与地球相等这颗行星的公转周期与地球相等 B这颗行星的自转周期与地球相等这颗行星的自转周期与地球相等 C这颗行星质量等于地球的质量这颗行星质量等于地球的质量 D这颗行星的密度等于地球的密度这颗行星的密度等于地球的密度 A由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地 球上看，它才能永远在太阳的背面，球上看，它才能永远在太阳的背面，A 正确。正确。 5(多选多选)美国宇航局美国宇航局
6、2011 年年 11 月月 5 日宣布日宣布， ，他们发现了太阳系外第一颗他们发现了太阳系外第一颗 类似地球的类似地球的、可能适合人类居住的行星可能适合人类居住的行星“开普勒开普勒22b”，它每它每 290 天环绕着天环绕着 一颗类似于太阳的恒星运转一周一颗类似于太阳的恒星运转一周。若引力常量已知若引力常量已知，根据下列选项中的信息能根据下列选项中的信息能 求出该行星的轨道半径的是求出该行星的轨道半径的是() A该行星表面的重力加速度该行星表面的重力加速度 B该行星的密度该行星的密度 C该行星的线速度该行星的线速度 D被该行星环绕的恒星的质量被该行星环绕的恒星的质量 CD行星做圆周运动的向心力
7、由万有引力提供，有行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有GMm r2 mr 2 T 2 ，v 2r T ，其中，其中 M 为被该行星环绕的恒星的质量，为被该行星环绕的恒星的质量，v 为该行星的线速度，为该行星的线速度，T 为该行星为该行星 的运行周期，故的运行周期，故 C、D 正确。正确。 3 6如图所示如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小假设该行星带中的小 行星只受到太阳的引力行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是下列说法正确的是() A太阳对各小行星的引力相同太阳对各小行星的引力相同
8、B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 C由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对 各小行星的引力不同，选项各小行星的引力不同，选项 A 错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆 周运动的向心力，由周
9、运动的向心力，由 GMm r2 m 2 T 2 r 可得可得 T 42r3 GM ，又小行星的轨道半径大，又小行星的轨道半径大 于地球的轨道半径于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项选项 B 错误错误； 由由 GMm r2 ma 可得可得 aGM r2 ，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧 小行星的向心加速度值小行星的向心加速度值，选项选项 C 正确正确；由由 GMm r2 m v2 r 可得可得 v GM r ，可知小可知小 行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线
10、速度值，选项行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项 D 错错 误。误。 7据报道据报道，最近在太阳系外发现了首颗最近在太阳系外发现了首颗“宜居宜居”行星行星，其质量约为地球质其质量约为地球质 量量的的6.4倍倍， 一个在地球表面重量一个在地球表面重量为为600 N的人在这个行星表面的重量将变的人在这个行星表面的重量将变为为960 N。由此可推知由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为该行星的半径与地球半径之比约为() A0.5B2C3.2D4 B在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力， 即即 G地 地 GM 地
11、地m R 2 地地 同样在行星表面有同样在行星表面有 G行 行 GM 行行m R 2 行行 以上二式相比可得以上二式相比可得G 地地 G行 行 M 地地 R 2 地地 R 2 行行 M行 行 1 6.4 R 2 行行 R 2 地地 R 行行 R 地地 6.4600 1960 2 4 故该行星的半径与地球的半径之比约为故该行星的半径与地球的半径之比约为 2，故，故 B 正确。正确。 考点三考点三双星问题的分析与双星问题的分析与 8(多选多选)甲甲、乙两恒星相距为乙两恒星相距为 L，质量之比质量之比m 甲甲 m乙 乙 2 3， ，它们离其他天体都很它们离其他天体都很 遥远遥远，我们观察到它们的距离
12、始终保持不变我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知由此可知() A两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动 B甲甲、乙两恒星的角速度之比为乙两恒星的角速度之比为 23 C甲甲、乙两恒星的线速度之比为乙两恒星的线速度之比为 3 2 D甲甲、乙两恒星的向心加速度之比为乙两恒星的向心加速度之比为 32 AD据题意可知甲据题意可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一围绕两星连线上的一 点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同
13、，故 A 正确正确，B 错误错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等角速度大小相等，向心力向心力 大小相等大小相等， 则有则有 m甲 甲r甲甲2 m乙 乙r乙乙2， ， 得得r 甲甲 r 乙乙 m 乙乙 m 甲甲 32， 根据根据 vr， 知知 v甲 甲 v 乙乙 r 甲甲 r 乙乙 32， 故故 C 错误错误； 根据根据 ar2知知， 向心加速度之比向心加速度之比 a甲 甲 a 乙乙 r 甲甲 r 乙乙 32，故，故 D 正确。正确。 92019 年年 4 月月 10 日日 9 时许时许，包括中国在内包括中国在内， ，全球多地天文学家同步公布全球
14、多地天文学家同步公布 了黑洞了黑洞“真容真容”。这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体黑洞黑洞， 一种体积极小一种体积极小、质量极大的天体质量极大的天体，如同一个宇宙如同一个宇宙“吞噬之口吞噬之口”，连光也无法逃连光也无法逃 逸逸。在两个黑洞合并过程中在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双会形成短时间的双 星系统星系统。如图所示如图所示，黑洞黑洞 A、B 可视为质点可视为质点，它们围绕连线上它们围绕连线上 O 点做匀速圆周点做匀速圆周 运动运动，且且 AO 大于大于 BO，不考虑其他天体的影响不考虑
15、其他天体的影响。下列说法错误的是下列说法错误的是() A黑洞黑洞 A 做圆周运动的向心力大小等于做圆周运动的向心力大小等于 B 做圆周运动的向心力大小 做圆周运动的向心力大小 B黑洞黑洞 A 的质量大于的质量大于 B 的质量的质量 C黑洞黑洞 A 的线速度大于的线速度大于 B 的线速度的线速度 D两黑洞之间的距离越大两黑洞之间的距离越大，A 的周期越大的周期越大 B两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力， 根据牛顿第三定律可知根据牛顿第三定律可知， A 对对 B 的作用力与的作用力与 B 对对 A 的作用力大小相等，方向相反，则黑洞的作用力大小相等，方向相反，则黑
16、洞 A 的向心力大小等的向心力大小等 于于 B 的向心力大小，故的向心力大小，故 A 正确；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有正确；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有 5 相同的角速度相同的角速度，由题图可知由题图可知 A 的运动半径比较大的运动半径比较大，根据根据 vr 可知可知，黑洞黑洞 A 的的 线速度大于线速度大于 B 的线速度，故的线速度，故 C 正确；正确；A、B 在匀速转动时的向心力大小关系在匀速转动时的向心力大小关系为为 mA2rAmB2rB，由于由于 A 运动的半径比较大运动的半径比较大，所以所以 A 的质量小的质量小，故故 B 错误错误；两两 黑洞靠相互间的万有
17、引力提供向心力，所以黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以 GmAmB L2 mA4 2rA T2 mB4 2rB T2 ，又，又 rA rBL，L 为两者之间的距离为两者之间的距离，T 42L3 G mAmB ， ，则两黑洞之间的距离越大则两黑洞之间的距离越大， A 的周期越大，故的周期越大，故 D 正确，正确，B 符合题意。符合题意。 (建议用时：建议用时：15 分钟分钟) 10近年来近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进正在进 行着激动人心的科学探究行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星为我们将来登上火星，开发利用火星
18、奠定了坚定的开发利用火星奠定了坚定的 基础基础。如果火星探测器环绕火星做如果火星探测器环绕火星做“近地近地”匀速圆周运动匀速圆周运动，并测得运动的周期并测得运动的周期 为为 T，则火星的平均密度的表达式为则火星的平均密度的表达式为(K 为常数为常数)() AKTBK T CKT2D K T2 D火星探测器环绕火星做火星探测器环绕火星做“近地近地”匀速圆周运动匀速圆周运动，万有引力提供向心力万有引力提供向心力， 有有GMm R2 m 2 T 2 R 及密度公式及密度公式M V M 4 3R 3，得 ，得 3 GT2 K T2，故 ，故 D 正确。正确。 11(多选多选)某同学阅读了某同学阅读了“
19、火星的现在火星的现在、地球的未来地球的未来” ”一文一文，摘录了以下资摘录了以下资 料：料：根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知，引力常量在极其缓引力常量在极其缓 慢地减小；慢地减小；火星位于地球绕太阳轨道的外侧；火星位于地球绕太阳轨道的外侧；由于火星与地球的自转周期由于火星与地球的自转周期 几乎相同几乎相同，自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同，所以火星上也有四季变所以火星上也有四季变 化化。根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律，可推断可推断() A太阳对地球的引力
20、在缓慢减小太阳对地球的引力在缓慢减小 B太阳对地球的引力在缓慢增加太阳对地球的引力在缓慢增加 C火星上平均每个季节持续的时间等于火星上平均每个季节持续的时间等于 3 个月个月 D火星上平均每个季节持续的时间大于火星上平均每个季节持续的时间大于 3 个月个月 AD由于引力常量在缓慢减小由于引力常量在缓慢减小， 根据万有引力公式得知太阳对地球的引力根据万有引力公式得知太阳对地球的引力 6 在缓慢减小，在缓慢减小，A 正确；由于火星的轨道半径比地球的轨道半径大，由正确；由于火星的轨道半径比地球的轨道半径大，由GMm R2 m4 2 T2 R，得得 T2 R3 GM， ，所以火星绕太阳公转的周期比地球
21、大所以火星绕太阳公转的周期比地球大，地球公转周期地球公转周期 是一年，即是一年，即 12 个月，则火星的公转周期大于个月，则火星的公转周期大于 12 个月，因而火星上的每个季节个月，因而火星上的每个季节 持续的时间要大于持续的时间要大于 3 个月，个月，D 正确。正确。 12若宇航员登上月球后若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个 铁锤从同一高度由静止同时释放铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度若羽毛和铁锤是从高度 为为 h 处下落处下落，经时间经时间 t 落到月球表面落到月球表面。已
22、知引力常量为已知引力常量为 G，月球的半径为月球的半径为 R。求求： (不考虑月球自转的影响不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小月球表面的自由落体加速度大小 g月 月； ； (2)月球的质量月球的质量 M； (3)月球的密度月球的密度。 解析解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有月球表面附近的物体做自由落体运动，有 h1 2g 月月t2，所以月球 ，所以月球 表面的自由落体加速度大小表面的自由落体加速度大小 g月 月 2h t2 。 (2)因不考虑月球自转的影响，则有因不考虑月球自转的影响，则有 GMm R2 mg月 月， ， 月球的质量月球的质量 M2hR 2
23、Gt2 。 (3)月球的密度月球的密度M V 2hR2 Gt2 4 3R 3 3h 2RGt2。 。 答案答案(1)2h t2 (2)2hR 2 Gt2 (3) 3h 2RGt2 13“黑洞黑洞”是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊天体是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极它的密度极 大大，对周围的物质对周围的物质(包括光子包括光子)有极强的吸引力有极强的吸引力。根据爱因斯坦的理论根据爱因斯坦的理论，光子是有光子是有 质量的质量的(指它的相对论质量指它的相对论质量)，光子到达黑洞表面时也将被吸入光子到达黑洞表面时也将被吸入，并恰能绕黑洞表并恰能绕黑洞表 面做圆周运动面做圆周运动。
24、 根据天文观测根据天文观测， 银河系中心可能有一个黑洞银河系中心可能有一个黑洞， 距该黑洞距该黑洞 6.01012m 远的星体正以远的星体正以 2.0106m/s 的速度绕它旋转的速度绕它旋转， 请据此估算光子绕黑洞做圆周运动请据此估算光子绕黑洞做圆周运动 的半径的半径。(结果保留两位有效数字结果保留两位有效数字) 解析解析根据爱因斯坦理论根据爱因斯坦理论，光子有质量光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它所以黑洞对光子的引力就等于它 7 做圆周运动时的向心力，即做圆周运动时的向心力，即 GMm r2 mc 2 r 其中其中 M 为黑洞质量，为黑洞质量，m 为光子质量，为光子质量，c 为光速，为光速，r 为轨道半径为轨道半径 银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力 为二者之间的万有引力，所以有为二者之间的万有引力，所以有 GMm R2 mv 2 R 其中其中 m为星体质量，为星体质量，R 为星体的轨道半径，由为星体的轨道半径，由式可得光子绕黑洞做圆式可得光子绕黑洞做圆 周运动的半径周运动的半径 rv 2 c2R 2106 3108 2 61012m2.7108m。 答案答案2.7108m
