1、1/14 3.万有引力理论的成就万有引力理论的成就 学习目标：学习目标：1.物理观念物理观念理解理解“称量地球质量称量地球质量”的基本思路，了解万有引力的基本思路，了解万有引力 定律在天文学上的重要应用。定律在天文学上的重要应用。2.科学思维科学思维理解计算太阳质量的基本思路，能理解计算太阳质量的基本思路，能 将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。3.科学态度与责任科学态度与责任 认识万有引力定律的科学成就认识万有引力定律的科学成就， 体会科学的迷人魅力体会科学的迷人魅力， 进一步认识运动与相互作进一步认识运动与相互作 用观念。用观
2、念。 阅读本节教材，回答第阅读本节教材，回答第 55 页页“问题问题”并梳理必要知识点。并梳理必要知识点。 教材第教材第 55 页页“问题问题”提示提示：利用利用GMm R2 mg 得得 MR 2g G ，g 为地球表面重力为地球表面重力 加速度，加速度，R 为地球半径，为地球半径，G6.6710 11Nm2/kg2，代入数据可以算出地球的质 ，代入数据可以算出地球的质 量。量。 一、一、“称量称量”地球的质量地球的质量 1合理假设合理假设：不考虑地球自转：不考虑地球自转。 2“称量称量”依据依据：地面上质量为地面上质量为 m 的物体所受的重力的物体所受的重力 mg 等于地球对物体 等于地球对
3、物体 的引力的引力，即即 mgGmm 地地 R2 ，由此可解得由此可解得 m地 地 gR 2 G 。 卡文迪什把测引力常量的实验称为卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量称量地球的质量”是不无道理的。是不无道理的。 3结论结论：只要知道：只要知道 g、R 的值的值，就可以算出地球的质量就可以算出地球的质量。 。 二、计算天体质量二、计算天体质量 1计算太阳的质量计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有 引力提供引力提供，列出方程列出方程 Gmm 太太 r2 m4 2r T2 ，由此可解得由此可解得 m 太太 4 2r
4、3 GT2 。 这种方法我们称之为这种方法我们称之为“rT”法法 小小 r 大大 T 法，小法，小 r 是行星轨道的半径，大是行星轨道的半径，大 T 是行星的公转周期是行星的公转周期 。 2结论结论：只要知道行星绕太阳运动的周期：只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径和半径 r，就可以计算出太阳就可以计算出太阳 的质量的质量。 3计算行星的质量计算行星的质量：与计算太阳的质量一样：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周若已知卫星绕行星运动的周 2/14 期期 T 和轨道半径和轨道半径 r，就可计算出行星的质量就可计算出行星的质量 m 行行 4 2r3 GT2 。 三、发现未知天体及预
5、言哈雷彗星回归三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归 1海王星的发现海王星的发现 英国剑桥大学的学生英国剑桥大学的学生亚当斯亚当斯和法国年轻的天文学家和法国年轻的天文学家勒维耶勒维耶根据天王星的观根据天王星的观 测资料测资料， 各自独立地利用万有引力定律计算出这颗各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新新”行星的轨道行星的轨道。 1846 年年 9 月月 23 日晚日晚，德国的德国的伽勒伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星海王星。 2其他天体的发现其他天体的发现 近近 100 年来年来， 人们在海王星的轨道之外又发现了人们在海王星的轨道之外又发现了冥王
6、星冥王星、 阋神星等几个较大阋神星等几个较大 的天体的天体。 3预言哈雷彗星回归预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷依据英国天文学家哈雷依据万有引力定律万有引力定律， 计算了三颗彗星的轨道计算了三颗彗星的轨道， 并大胆预言并大胆预言 这三次出现的彗星是同一颗星这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为周期约为 76 年年。 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)利用地球绕太阳转动利用地球绕太阳转动，可求地球的质量可求地球的质量。() (2)海王星海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。() (3
7、)科学家在观测双星系统时科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析同样可以用万有引力定律来分析。() (4)冥王星被称为冥王星被称为“笔尖下发现的行星笔尖下发现的行星”。() 2下列说法正确的是下列说法正确的是() A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道
8、存在偏差，其原因是天其原因是天 王星受到轨道外的行星的引力作用王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星由此人们发现了海王星 D由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道 而发现的而发现的； 海王星不是通过观测发现海王星不是通过观测发现， 也不是直接由万有引力定律计算出轨道而也不是直接由万有引力定律计算出轨道而 发现的发现的， 而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差， 然后运用万有引然后运用万有引 力定律计算出力定律计算出“新新”星的轨道星的轨道，从而发
9、现了海王星从而发现了海王星。由此可知由此可知，A、B、C 错误错误， D 正确。正确。 3/14 3已知引力常量已知引力常量 G、月球中心到地球中心的距离月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周和月球绕地球运行的周 期期 T，仅利用这三个数据仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有可以估算出的物理量有() A月球的质量月球的质量B地球的质量地球的质量 C地球的半径地球的半径D地球的密度地球的密度 B由天体运动规律知由天体运动规律知 GMm R2 m4 2 T2 R 可得地球质量可得地球质量 M4 2R3 GT2 ，由于不知，由于不知 地球的半径，无法求地球的密度，故选项地球的半径，无法
10、求地球的密度，故选项 B 正确。正确。 计算天体的质量与密计算天体的质量与密 度度 (教师用书独具教师用书独具)教材第教材第 56 页页“思考与讨论思考与讨论”答案提示答案提示： GMm r2 m4 2 T2 r， M 4 2r3 GT2 ，T 为地球绕太阳公转的周期为地球绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量代入数据可计算太阳的质量，换用其他行换用其他行 星的相关数据计算星的相关数据计算，结果相近结果相近。因为各行星以太阳为中心天体因为各行星以太阳为中心天体，有有r 3 地地 T2 地地 r 3 行行 T2 行行 k， k 为定值为定值，可知估算结果相似可知估算结果相似。 (1)假设地球
11、绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量 G、地球绕太、地球绕太 阳运动的周期阳运动的周期 T 和轨道半径和轨道半径 r，可以计算出地球的质量吗？，可以计算出地球的质量吗？ (2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？ 提示：提示：(1)不可以不可以。 (2)万有引力常量万有引力常量 G、太阳半径太阳半径 R、地球绕太阳运动的周期地球绕太阳运动的周期 T 和轨道半径和轨道半径 r。 1天体质量的计算天体质量的计算 (1)重力加速度法重力加速度法 若已知天体若已知天体(如地球如地球)的半径的半径 R
12、 及其表面的重力加速度及其表面的重力加速度 g，根据在天体表面上根据在天体表面上 物体的重力近似等于天体对物体的引力物体的重力近似等于天体对物体的引力，得得 mgGMm R2 ，解得天体的质量为解得天体的质量为 M 4/14 gR 2 G ，g、R 是天体自身的参量是天体自身的参量，所以该方法俗称所以该方法俗称“自力更生法自力更生法”。 (2)环绕法环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星或卫星)计算中心天体的质量计算中心天体的质量，俗称俗称 “借助外援法借助外援法”。常见的情况如下：常见的情况如下： 万有引力提供向心力万有引力提供向心力中心天体的质量中
13、心天体的质量说明说明 GMm r2 mv 2 r Mrv 2 G r 为行星为行星(或卫星或卫星)的轨道半的轨道半 径径，v、T 为行星为行星(或卫或卫 星星)的线速度的线速度、角速度和周角速度和周 期期 GMm r2 mr2Mr 32 G GMm r2 mr4 2 T2 M4 2r3 GT2 特别提醒特别提醒 1 求解中心天体的质量求解中心天体的质量， 需知道绕该天体转动的某一环绕天体需知道绕该天体转动的某一环绕天体 的运行规律，与环绕天体的质量无关。的运行规律，与环绕天体的质量无关。 2 利用上述两种方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质利用上述两种方法只能求出中心天体的质量，
14、而不能求出环绕天体的质 量。量。 2天体密度的计算天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度利用天体表面的重力加速度求天体密度 由由 mgG Mm R2 和和 M4R 3 3 ，得得 3g 4GR。 。 (2)利用天体的卫星求天体密度利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半若已知中心天体的半径径 R， 环绕天体的运转周环绕天体的运转周期期 T， 轨道半轨道半径径 r， 则可则可得得 GMm r2 m4 2 T2 r，中心天体质量中心天体质量 M4 3R 3， ，联立可得联立可得 3r3 GT2R3。 。 特殊情况特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时当卫星环绕天体表面运动时，卫星
15、的轨道半径卫星的轨道半径 r 可认为等于天体可认为等于天体 半径半径 R，则则 3 GT2。 。 【例【例 1】 (多选多选)若宇航员在月球表面附近自高若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度处以初速度 v0水平抛出一水平抛出一 个小球个小球，测出小球的水平射程为测出小球的水平射程为 L。已知月球半径为已知月球半径为 R，万有引力常量为万有引力常量为 G。则则 下列说法正确的是下列说法正确的是() 5/14 A月球表面的重力加速度月球表面的重力加速度 g月 月 2hv 2 0 L2 B月球的质量月球的质量 m月 月 2hR 2v2 0 GL2 C月球的自转周期月球的自转周期 T2R v0 D
16、月球的平均密度月球的平均密度 3hv20 2GL2 AB根据平抛运动规律根据平抛运动规律，Lv0t，h1 2g 月月t2， ，联立解得联立解得 g月 月 2hv 2 0 L2 ，选项选项 A 正确；由正确；由 mg月 月 G mm月 月 R2 解得解得 m月 月 2hR 2v2 0 GL2 ，选项，选项 B 正确；根据题目条件无法求正确；根据题目条件无法求 出月球的自转周期，选项出月球的自转周期，选项 C 错误；月球的平均密度错误；月球的平均密度 m月 月 4 3R 3 3hv20 2GL2R，选项 ，选项 D 错误。错误。 求解天体质量和密度时的两种常见误区求解天体质量和密度时的两种常见误区
17、 (1)根据轨道半径根据轨道半径 r 和运行周期和运行周期 T，求得，求得 M4 2r3 GT2 是中心天体的质量，而不是中心天体的质量，而不 是行星是行星(或卫星或卫星)的质量。的质量。 (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就 养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用表示，轨道半径用 r 表示，这表示，这 样就可以避免如样就可以避免如 3r3 GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如 误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动
18、时，如 近地卫星，轨道半径近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径才可以认为等于天体半径 R。 跟进训练跟进训练 1(计算中心天体质量计算中心天体质量)中国古代的中国古代的“太白金星太白金星” ”指的是八大行星中的金星指的是八大行星中的金星。 已知引力常量已知引力常量 G，再给出下列条件再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是其中可以求出金星质量的是() A金星绕太阳运动的轨道的半径和周期金星绕太阳运动的轨道的半径和周期 B卫星绕金星表面附近运动时的线速度卫星绕金星表面附近运动时的线速度 C金星的半径和金星表面的重力加速度金星的半径和金星表面的重力加速度 6/14 D金星绕太阳运动的周期
19、及地球绕太阳运动的轨道半径和周期金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期 C行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有 GMm 金金 r2 m 金金4 2r T2 ，可得太阳的质量表达式为，可得太阳的质量表达式为 M4 2r3 GT2 ，而金星的质量，而金星的质量 m 金金在等式中已消 在等式中已消 掉掉，故故 A、D 错误错误；由由 Gm 金金m卫卫 R2 m 卫卫v2 R ，可得可得 m 金金 v 2R G ，由于金星的半径不知由于金星的半径不知， 故不能求出金星的质量，故故不能求出金星的质量，故 B 错误；在金星表
20、面时，质量为错误；在金星表面时，质量为 m 的物体所受重力的物体所受重力 与金星对其的万有引力相等与金星对其的万有引力相等，则则 mgGm 金金m R2 ，得得 m 金金 gR 2 G ，若已知金星的半径若已知金星的半径 与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故 C 正确。正确。 2(计算天体的密度计算天体的密度)我国成功地进行了我国成功地进行了“ “嫦娥三号嫦娥三号”的发射和落月任务的发射和落月任务， 进一步获取了月球的相关数据进一步获取了月球的相关数据。 该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时， 经经
21、 过时间过时间 t，卫星运动的路程为卫星运动的路程为 s，卫星与月球中心连线扫过的角度是卫星与月球中心连线扫过的角度是(弧度弧度)，引引 力常量为力常量为 G，月球半径为月球半径为 R，则可推知月球的密度是则可推知月球的密度是() A 3t2 4Gs3R3 B 3s3 4Gt2R3 C4R 3Gt2 3s3 D4R 3Gs3 3t2 B该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间经过时间 t，卫星运动的卫星运动的 路程为路程为 s，卫星与月球中心连线转过的角度是卫星与月球中心连线转过的角度是(弧度弧度)，所以该卫星的线速度所以该卫星的线速度、角角 速度
22、分别为速度分别为 vs t， ， t ，又因为，又因为 vr，所以轨道半径为，所以轨道半径为 rv s 。根据万有 。根据万有 引力提供向心力，有引力提供向心力，有 GMm r2 mv 2 r ，得月球的质量为，得月球的质量为 Mv 2r G s3 Gt2，又因为月球 ，又因为月球 的体积为的体积为 V4 3R 3，所以月球的密度 ，所以月球的密度M V s3 Gt2 4 3R 3 3s3 4Gt2R3，故 ，故 B 正确。正确。 天体运动的分析与计算天体运动的分析与计算 如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。 7/14 (1)地球地球、火星等行星绕太阳的
23、运动遵守什么规律？火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？ (2)如何比较地球如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度角速度、周期及向周期及向 心加速度等各量的大小关系？心加速度等各量的大小关系？ 提示：提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力 提供向心力。提供向心力。 (2)由由 GMm r2 manmv 2 r m2rm4 2 T2 r 表达式可知线速度、角速度、周期表达式可知线速度、角速度、周期 及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。及向心加速度等各量都与轨道半径有关
24、系。 1天体运动的定性分析天体运动的定性分析 设质量设质量为为m的天体绕另一质量的天体绕另一质量为为M的中心天体做半径的中心天体做半径为为r的匀速圆周运动的匀速圆周运动。 (1)由由 GMm r2 m v2 r 得得 v GM r ，r 越大越大，天体的天体的 v 越小越小。 (2)由由 GMm r2 m2r 得得 GM r3 ，r 越大越大，天体的天体的越小越小。 (3)由由 GMm r2 m 2 T 2 r 得得 T2 r3 GM， ，r 越大越大，天体的天体的 T 越大越大。 (4)由由 GMm r2 man得得 anGM r2 ，r 越大越大，天体的天体的 an越小越小。 2天体运动的
25、定量计算天体运动的定量计算 (1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周 运动运动， 所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供， 所以研究天体时可建所以研究天体时可建 立基本关系式：立基本关系式：GMm r2 ma，式中式中 a 是向心加速度是向心加速度。 (2)常用的关系式：常用的关系式： GMm r2 mv 2 r m2rm4 2 T2 r， 万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运 动的向心力动的向心力。 8/14 mg
26、G Mm R2 即即 gR2GM， 物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。 该公式通常被称为黄金代换式该公式通常被称为黄金代换式。 【例【例 2】有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星矮行星”，而而 另外一些人把它们叫作另外一些人把它们叫作“小行星小行星”， 谷神星就是小行星之一谷神星就是小行星之一。 现有两个这样的天现有两个这样的天 体体，它们的质量分别为它们的质量分别为 m1和和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是绕太阳运行的轨道半径分别是 r1和和 r2，求：求： (1)它们与太阳间的万有引力
27、之比；它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比它们的公转周期之比。 解析解析(1)设太阳质量为设太阳质量为 M， 由万有引力定律得由万有引力定律得， 两天体与太阳间的万有引两天体与太阳间的万有引 力之比力之比F1 F2 GMm1 r21 GMm2 r22 m1r 2 2 m2r21。 。 (2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则 有有 GMm r2 m 2 T 2 r 所以，天体绕太阳运动的周期所以，天体绕太阳运动的周期 T2 r3 GM 则两天体绕太阳的公转周期之比则两天体绕太阳的公转周期
28、之比T1 T2 r31 r32。 。 答案答案(1)m1r 2 2 m2r21 (2) r31 r32 上例中上例中，若若 r1r2，则两行星的运行的角速度则两行星的运行的角速度1、2和线速度和线速度 v1、v2的关的关 系怎样？系怎样？ 提示：提示：12，v1v2. 跟进训练跟进训练 3(天体运动的定性分析天体运动的定性分析)金星金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆 周运动周运动，它们的向心加速度大小分别为它们的向心加速度大小分别为 a 金金、a地 地、 、a 火火， ，它们沿轨道运行的速率它们沿轨道运行的速率 分别为分别为 v金 金、 、v地 地、
29、 、v火 火。 。 已知它们的轨道半径已知它们的轨道半径 R金 金 R 地地 R 火火， ，由此可以判定由此可以判定() Aa金 金 a地 地 a火 火 Ba火 火 a地 地 a金 金 Cv地 地 v火 火 v金 金 Dv火 火 v地 地 v金 金 9/14 A金星金星、 地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力， 则有则有 GMm R2 ma， 解得解得 aGM R2，结合题中 ，结合题中 R 金金 R 地地 R 火火，可得 ，可得 a 金金 a 地地 a 火火，选项 ，选项 A 正确，正确，B 错误错误；同理同理，有有 GMm R2 mv 2 R ，
30、解得解得 v GM R ，再结合题中再结合题中 R金 金 R地 地 R火 火， ，可可 得得 v金 金 v地 地 v火 火，选项 ，选项 C、D 错误。错误。 4(天体运动的定量计算天体运动的定量计算)我国古代神话传说中：地上的我国古代神话传说中：地上的“凡人凡人”过一年过一年， 天上的天上的“神仙神仙”过一天过一天。 如果把看到一次日出就当作如果把看到一次日出就当作“一天一天”， 某卫星的运行半某卫星的运行半 径为月球绕地球运行半径的径为月球绕地球运行半径的 1 36， ，则该卫星上的宇航员则该卫星上的宇航员 24 h 内在太空中度过的内在太空中度过的 “天天”数约为数约为(已知月球的运行周
31、期为已知月球的运行周期为 27 天天)() A1B8C16D24 B根据天体运动公根据天体运动公式式 GMm r2 m4 2 T2 r 得得r 3 1 r32 T 2 1 T22， ， 解得卫星运行的周期解得卫星运行的周期为为 3 h， 故故 24 h 内看到内看到 8 次日出，故次日出，故 B 正确。正确。 双星问题的分析与求解双星问题的分析与求解 2019 年年 7 月，美国天文学家在最新一期自然杂志撰文称，他们发现了月，美国天文学家在最新一期自然杂志撰文称，他们发现了 迄今已知宇宙中迄今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统运行速度最快的白矮星双星系统”“ZTF J1539 5027”
32、，这一发现或对研究引力波具有重要意义。，这一发现或对研究引力波具有重要意义。 如图所示如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下在相互引力作用下，形形 成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。 (1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？ (2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？ 提示：提示：(1)大小相等。大小相等。 10/14 (2)双星做圆周运动
33、的角速度和周期都相同。双星做圆周运动的角速度和周期都相同。 1定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统， ，我们称之为双星系统我们称之为双星系统， 如图所示如图所示。 2特点：特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即即 Gm1m2 L2 m1 2 2 1 1r1， ，Gm1m2 L2 m2 2 2 2 2r2。 。 (2)两颗星的周期及角速度都相同两颗星的周期及角速度都相同，即即 T1T2，12。 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L。 3两
34、颗星到圆心的距离两颗星到圆心的距离 r1、r2与星体质量成反比与星体质量成反比，即即m1 m2 r2 r1， ，与星体运动与星体运动 的线速度成正比的线速度成正比。 4几个基本结论几个基本结论(建议自行推导建议自行推导) (1)轨道半径：轨道半径：r1 m2 m1m2L r2 m1 m1m2L。 。 (2)星体质量：星体质量：m14 2r2L2 GT2 m24 2r1L2 GT2 。 (3)周期：周期：T2L L G m1m2 。 。 【例【例 3】(多选多选)2017 年年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力 波波。根据科学家们复原的过程根据
35、科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约在两颗中子星合并前约 100 s 时时，它们相距它们相距 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布将两颗中子星都看作是质量均匀分布 的球体的球体，由这些数据由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻可以估算出这一时刻 11/14 两颗中子星两颗中子星() A质量之积质量之积B质量之和质量之和 C速率之和速率之和D各自的自转角速度各自的自转角速度 思路点拨思路点拨双星系统靠相互间的万有引力提供向心力双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，
36、结合牛顿第二定律结合牛顿第二定律 求出双星总质量与双星距离和周期的关系式求出双星总质量与双星距离和周期的关系式， 从而分析判断从而分析判断。 结合周期求出双星结合周期求出双星 系统旋转的角速度和线速度关系。系统旋转的角速度和线速度关系。 BC由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动 12 圈，则两中圈，则两中 子星的周期相等，且均为子星的周期相等，且均为 T 1 12 s，两中子星的角速度均为，两中子星的角速度均为2 T ，两中子星构，两中子星构 成了双星模型，假设两中子星的质量分别为成了双星模型，假设两中子星的质量分别为 m1、m2，轨道半
37、径分别为，轨道半径分别为 r1、r2， 速率分别为速率分别为 v1、v2，则有则有：Gm1m2 L2 m12r1、Gm1m2 L2 m22r2，又又 r1r2L400 km，解得解得 m1m2 2L3 G ，A 错误错误，B 正确正确；又由又由 v1r1、v2r2，则则 v1v2 (r1r2)L，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。错误。 跟进训练跟进训练 5(多选多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互它们以相互 间的万有引力彼此提供向心力间的万有引力彼
38、此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运 动动，若已知它们的运转周期为若已知它们的运转周期为 T，两星到某一共同圆心的距离分别为两星到某一共同圆心的距离分别为 R1和和 R2， 那么那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是() A这两颗恒星的质量必定相等这两颗恒星的质量必定相等 B这两颗恒星的质量之和为这两颗恒星的质量之和为4 2 R1 R2 3 GT2 C这两颗恒星的质量之比为这两颗恒星的质量之比为 m1m2R2R1 D必有一颗恒星的质量为必有一颗恒星的质量为4 2R1 R1 R2 2 GT2
39、 BCD对于两星有共同的周期对于两星有共同的周期 T，由牛顿第二定律得，由牛顿第二定律得 Gm1m2 R1R2 2 m14 2 T2 R1 m24 2 T2 R2，所以两星的质量之比，所以两星的质量之比 m1m2R2R1，C 正确；由上式可得正确；由上式可得 m1 42R2 R1R2 2 GT2 ，m24 2R1 R1 R2 2 GT2 ，D 正确正确，A 错误错误；m1m24 2 R1 R2 3 GT2 ， 12/14 B 正确。正确。 1设太阳质量为设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视作半径为轨道可视作半径为 r 的的 圆圆。已知万有引力常量为已知万
40、有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足则描述该行星运动的上述物理量满足() AGM4 2r3 T2 BGM4 2r2 T2 CGM4 2r2 T3 DGM4r 3 T2 A本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求 解。对行星有解。对行星有GMm r2 m4 2 T2 r，故，故 GM4 2r3 T2 ，选项，选项 A 正确。正确。 2土星最大的卫星叫土星最大的卫星叫“泰坦泰坦”，如图如图。 。每每 16 天绕土星一周天绕土星一周，其公转轨道半其公转轨道半 径约为径约为 1.2106km，已知引力常量已知引力
41、常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，则土星的质量约则土星的质量约 为为() A51017kgB51026kg C71033kgD41036kg B卫星绕土星运动卫星绕土星运动， 土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。 设设 土星质量为土星质量为 M，则有，则有GMm R2 m4 2 T2 R，解得，解得 M4 2R3 GT2 ，代代入数据计算可得入数据计算可得 M 13/14 43.142 1.2106103 3 6.6710 11 16243 600 2 kg51026kg，故，故 B 正确，正确，A、C、D 错误。错误。 3一艘宇宙飞
42、船绕一个不知名的行星表面飞行一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行， ，要测定该行星的密度要测定该行星的密度，仅仅 仅需要仅需要() A测定飞船的运行周期测定飞船的运行周期B测定飞船的环绕半径测定飞船的环绕半径 C测定行星的体积测定行星的体积D测定飞船的运行速度测定飞船的运行速度 A取飞船为研究对象取飞船为研究对象，由由 GMm R2 mR 42 T2 及及 M4 3R 3， ，知知 3 GT2， ，故故 A 正确。正确。 4(多选多选)宇宙观测发现宇宙观测发现，在宇宙中甲在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统乙两个星体组成的双星系统，它们它们 同时绕其连线上的某点同时绕其连线上的某点 O 做匀
43、速圆周运动做匀速圆周运动，已知甲已知甲、乙的质量之比为乙的质量之比为 71，由由 此可知此可知() A甲甲、乙的线速度大小之比为乙的线速度大小之比为 71 B甲甲、乙的向心力大小之比为乙的向心力大小之比为 11 C甲甲、乙的运行轨道半径之比为乙的运行轨道半径之比为 17 D甲甲、乙的周期之比为乙的周期之比为 17 BC作为双星系统作为双星系统，甲甲、乙两星体周期是相等的乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的角速度也是相等的，它它 们之间的万有引力提供各自的向心力得们之间的万有引力提供各自的向心力得 m2rM2R，甲、乙质量比为，甲、乙质量比为 71， 所以甲、乙运行轨道半径之比为所以甲、乙运行
44、轨道半径之比为 17，根据，根据 vr 可知，线速度之比为可知，线速度之比为 17， 故故 A 错误，错误，C 正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力 大小相等，故大小相等，故 B 正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故 D 错错 误。误。 5情境：在不久的将来情境：在不久的将来，人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚， 一个体重一个体重(连同装备连同装备)为为 200 kg 的旅行者的旅行者， 在航行到离地球表面等于
45、地球半径高度在航行到离地球表面等于地球半径高度 处处。 问题：若已知地球表面的重力加速度为问题：若已知地球表面的重力加速度为 10 m/s2，月球的质量约为地球质量月球的质量约为地球质量 的的 1 81， ，月球的半径约为地球半径的月球的半径约为地球半径的1 4， ，求：求： (1)此时旅行者所受的地球引力是多少？此时旅行者所受的地球引力是多少？ (2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少？旅行者登上月球后所受的月球引力是多少？ 解析解析(1)设地球的质量为设地球的质量为 M，半径为，半径为 R， 14/14 旅行者在地面所受引力旅行者在地面所受引力 F1GMm R2 mg20010 N2 000 N 旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力 F2G Mm RR 2 GMm 4R2 1 4mg 500 N。 (2)旅行者在月球表面所受引力旅行者在月球表面所受引力 F3GM 月月m R2 月月 G 1 81Mm 1 4R 2 16 81G Mm R2 16 81mg 395 N。 答案答案(1)500 N(2)395 N
