1、1/8 素养培优课素养培优课(一一)抛体运动规律的应用抛体运动规律的应用 培优目标培优目标：1.科学思维科学思维能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问 题和与其他运动形式相综合的问题。题和与其他运动形式相综合的问题。2.科学思维科学思维能准确把握类平抛运动中涉及能准确把握类平抛运动中涉及 的方向问题。的方向问题。 平抛运动与曲面的结平抛运动与曲面的结 合问题合问题 两种常见类型两种常见类型 (1)抛出点和落点都在圆面上抛出点和落点都在圆面上。如图所示如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨一小球从与圆心等高的半圆形轨 道的道的 A 点以点以 v0
2、水平向右抛出水平向右抛出，落在圆形轨道上的落在圆形轨道上的 C 点点。 (2)抛出点在圆面外抛出点在圆面外，落点在圆面上落点在圆面上。如图所示如图所示，一小球从一半圆轨道左端一小球从一半圆轨道左端 A 点正上方某处开始做平抛运动点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 B 点点。 【例【例 1】(多选多选)如图所示如图所示，一个半径一个半径 R0.75 m 的半圆柱体放在水平地面的半圆柱体放在水平地面 上上， 一小球从圆柱体左端一小球从圆柱体左端 A 点正上方的点正上方的 B 点水平抛出点水平抛出(小球可视为质点小球可视为质点)， 恰好从恰好从
3、半圆柱体的半圆柱体的 C 点掠过点掠过。已知已知 O 为半圆柱体圆心为半圆柱体圆心，OC 与水平方向夹角为与水平方向夹角为 53，重重 力加速度为力加速度为 g10 m/s2，则则() A小球从小球从 B 点运动到点运动到 C 点所用时间为点所用时间为 0.3 s B小球从小球从 B 点运动到点运动到 C 点所用时间为点所用时间为 0.5 s C小球做平抛运动的初速度为小球做平抛运动的初速度为 4 m/s 2/8 D小球做平抛运动的初速度为小球做平抛运动的初速度为 6 m/s 思路点拨思路点拨将小球在将小球在 C 点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方
4、向分 解解， 然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解， 注意速度方向与水平方注意速度方向与水平方 向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的 2 倍。倍。 AC小球做平抛运动小球做平抛运动， 飞行过程中恰好与半圆轨道相切于飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 C 点点， 根据几何根据几何 关系可知小球在关系可知小球在 C 点时速度方向与水平方向的夹角为点时速度方向与水平方向的夹角为 37， 设位移方向与水平方设位移方向与水平方 向的夹角为向的夹角为，则有，则有 tan tan 37 2 3 8，又
5、水平位移 ，又水平位移 x1.6R，tan y x y 1.6R， ， R0.75 m，解得，解得 y 9 20 m，根据，根据 y1 2gt 2得 得 t0.3 s，根据水平位移，根据水平位移 x1.6R v0t，得，得 v04 m/s。选项。选项 A、C 正确。正确。 解决平抛运动与曲面结合问题的方法解决平抛运动与曲面结合问题的方法 (1)充分利用几何关系找出小球到达圆面时水平位充分利用几何关系找出小球到达圆面时水平位移移 x 和竖直位和竖直位移移 y 的关系的关系。 (2)找出小球到达圆面时找出小球到达圆面时，速度方向与水平方向之间的夹角速度方向与水平方向之间的夹角。 (3)通过位移或速
6、度关系求解飞行时间及相关物理量通过位移或速度关系求解飞行时间及相关物理量。 跟进训练跟进训练 1(多选多选)如图所示如图所示，从半径为从半径为 R1 m 的半圆 的半圆 PQ 上的上的 P 点水平抛出一个可点水平抛出一个可 视为质点的小球视为质点的小球，经经 t0.4 s 小球落到半圆上小球落到半圆上。已知当地的重力加速度已知当地的重力加速度 g10 m/s2，据此判断小球的初速度可能为据此判断小球的初速度可能为() A1 m/sB2 m/s C3 m/sD4 m/s AD小球下降的高度小球下降的高度 h1 2gt 2 1 2 100.42m0.8 m。 若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何
7、关系有若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何关系有 R2h2(Rx)2，解得，解得 水平位移水平位移 x0.4 m，则初速度，则初速度 v0 x t 0.4 0.4 m/s1 m/s。 若小球落在右边四分之一圆弧上若小球落在右边四分之一圆弧上，根据几何关系有根据几何关系有 R2h2(xR)2，解得解得 3/8 水平位移水平位移 x1.6 m，初速度初速度 v0 x t 1.6 0.4 m/s4 m/s。故故 A、D 正确正确，B、C 错错 误。误。 平抛运动的相遇问题平抛运动的相遇问题 平抛运动的相遇问题是指两个或两个以上物体在同一竖直平面内做平抛运平抛运动的相遇问题是指两个或两个以上物体在同
8、一竖直平面内做平抛运 动时所涉及的问题动时所涉及的问题。 三类常见的平抛运动的相遇问题三类常见的平抛运动的相遇问题 (1)若两物体同时从同一高度若两物体同时从同一高度(或同一点或同一点)水平抛出水平抛出， 则两物体每个时刻都在同则两物体每个时刻都在同 一高度一高度，二者间距只取决于两物体抛出速度的大小关系二者间距只取决于两物体抛出速度的大小关系。 (2)若两物体同时从不同高度水平抛出若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体之间的高度差始终与抛出则两物体之间的高度差始终与抛出 点之间的高度差相同点之间的高度差相同，二者间距由两物体的抛出速度和高度差共同决定二者间距由两物体的抛出速度和高度差共同决
9、定。 (3)若两物体从同一点先后水平抛出若两物体从同一点先后水平抛出，两物体之间的高度差随时间均匀增大两物体之间的高度差随时间均匀增大， 二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。 【例【例 2】(多选多选)如图所示如图所示，a、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平两个小球从不同高度同时沿相反方向水平 抛出抛出，它们做平抛运动的轨迹的交点为它们做平抛运动的轨迹的交点为 P，则以下说法正确的是则以下说法正确的是() Aa、b 两球同时落地两球同时落地 Bb 球先落地球先落地 Ca、b 两球在两球在 P 点相遇点相遇 D无论两球初速度大小为多大无
10、论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇两球总不能相遇 BD由由 h1 2gt 2可得 可得 t 2h g ，因因 hahb，且且 a、b 两球同时抛出两球同时抛出，故故 b 球球 先落地先落地，A 错误错误，B 正确正确；两球的运动轨迹相交于两球的运动轨迹相交于 P 点点，因为因为 P、a 之间的高度之间的高度 大于大于 P、b 之间的高度之间的高度，同时抛出两球同时抛出两球，所以所以 b 球先通过球先通过 P 点点，两球不会同时到两球不会同时到 达达 P 点，故无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇，点，故无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇，C 错误，错误，D 正确。正确。 跟进训练
11、跟进训练 2如图所示如图所示，在同一竖直面内在同一竖直面内，小球小球 a、b 从高度不同的两点从高度不同的两点，分别以初速分别以初速 度度 va和和 vb沿水平方向抛出沿水平方向抛出，经过时间经过时间 ta和和 tb后落到与两抛出点水平距离相等后落到与两抛出点水平距离相等的的 4/8 P 点点。若不计空气阻力若不计空气阻力，下列关系式正确的是下列关系式正确的是() Atatb，vavbBtatb， ，vavb Ctatb，vavbDtatb，vavb A由于小球由于小球 b 距地面的高度小距地面的高度小，由由 h1 2gt 2知 知 tbta，而小球而小球 a、b 运动的运动的 水平距离相等，
12、由水平距离相等，由 xv0t 知知 vavb，A 正确。正确。 类平抛运动的分析与求解类平抛运动的分析与求解 1类平抛运动类平抛运动 类平抛运动是一种匀变速曲线运动类平抛运动是一种匀变速曲线运动。 在初速度方向上不受力在初速度方向上不受力， 初速度保持不初速度保持不 变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力区别于平抛运动中的重力。 特别提示特别提示类比法是一种重要的物理思维方法类比法是一种重要的物理思维方法。充分运用类比法充分运用类比法，可加深可加深 对物理规律和概念的理解对物理规律和概念的理解，提高分析解决问题的能力提高分析解决问题的能
13、力，从而达到触类旁通从而达到触类旁通、以点以点 带面、事半功倍的学习效果。带面、事半功倍的学习效果。 2类平抛运动的特点及处理方法类平抛运动的特点及处理方法 受力特点受力特点物体所受合力为恒力物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直且与初速度的方向垂直。 运动特点运动特点 在初速度在初速度 v0方向做匀速直线运动方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的在合力方向做初速度为零的 匀加速直线运动匀加速直线运动，加速度加速度 aF 合合 m 。 处处 理理 方方 法法 常常 规规 分分 解解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直
14、于初 速度方向速度方向(即沿合力的方向即沿合力的方向)的匀加速直线运动的匀加速直线运动，两个分运动彼此两个分运动彼此 独立独立、互不影响互不影响，且与合运动具有等时性且与合运动具有等时性。 特特 殊殊 分分 解解 对于有些问题对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度将加速度 分解为分解为 ax、ay，初速度初速度 v0分解为分解为 vx、vy，然后分别在然后分别在 x、y 轴方轴方 向列方程求解向列方程求解。 【例【例 3】如图所示如图所示，光滑斜面长光滑斜面长 L10 m，倾角为倾角为 30，一小球从斜面的一小球从斜面的 顶端以顶端以 v010
15、 m/s 的初速度水平射入的初速度水平射入，求：求：(g 取取 10 m/s2) 5/8 (1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移小球沿斜面运动到底端时的水平位移 x； (2)小球到达斜面底端时的速度大小小球到达斜面底端时的速度大小。 思路点拨思路点拨小球的运动过程与平抛运动的过程类似小球的运动过程与平抛运动的过程类似，以一定的初速度抛出以一定的初速度抛出 后后， 在与初速度方向垂直的恒力作用下运动在与初速度方向垂直的恒力作用下运动。 可以将小球的运动分解为沿合外力可以将小球的运动分解为沿合外力 方向的初速度为零的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速直线运动。方向的初速度为零的匀加速直线运动和沿初
16、速度方向的匀速直线运动。 解析解析(1)小球在斜面上沿小球在斜面上沿 v0方向做匀速直线运动，沿垂直于方向做匀速直线运动，沿垂直于 v0方向做初方向做初 速度为零速度为零、 加速度为加速度为 a 的匀加速直线运动的匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有 mgsin 30ma， 又又 L1 2at 2 解得解得 t 2L gsin 30 所以所以 xv0tv0 2L gsin 30 20 m。 (2)小球运动到斜面底端时的速度大小用小球运动到斜面底端时的速度大小用 v 表示，则有表示，则有 vxv010 m/s vy 2aL 2gsin 30L gL10m/s 故故 v v 2
17、xv 2 y10 2 m/s。 答案答案(1)20 m(2)10 2 m/s 解题技巧解题技巧类平抛运动问题的求解思路类平抛运动问题的求解思路 1 分析物体的初速度与受力情况分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度确定物体做类平抛运动的加速度，并明并明 确两个分运动的方向确两个分运动的方向。 2 利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。 3 根据题目的已知条件与未知条件根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性充分利用运动的等时性、独立性独立性、等等 效性效性。 跟进训练跟进训练 3A、B 两个质点以相同的水平速度两个质点以
18、相同的水平速度 v0抛出抛出，A 在竖直平面内运动在竖直平面内运动。落地落地 点为点为 P1。B 沿光滑斜面运动沿光滑斜面运动，落地点为落地点为 P2。不计阻力不计阻力，如图所示如图所示，则则 P1、P2在在 x 轴上轴上() 6/8 AP1较远较远BP2较远较远 CP1、P2等远等远DA、B 两选项都有可能两选项都有可能 B质点质点 A 做平抛运动做平抛运动，根据平抛规律得根据平抛规律得 A 运动时间运动时间：t 2h g ；B 质点视质点视 为在光滑斜面上的类平抛运动为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为其加速度为：amgsin m gsin ，B 运动时间运动时间： t 2h g sin
19、 2； ； A、B 沿沿 x 轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运 动时间不等，所以沿动时间不等，所以沿 x 轴方向的位移大小不同，轴方向的位移大小不同，P2较远，较远，B 正确。正确。 1甲甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置乙两球位于同一竖直直线上的不同位置， ，甲比乙高甲比乙高 h，如图所示如图所示， 将甲将甲、乙两球分别以乙两球分别以 v1、v2的速度沿同一方向水平抛出的速度沿同一方向水平抛出，不计空气阻力不计空气阻力，下列下列 条件中条件中，乙球可能击中甲球的是乙球可能击中甲球的是() A同时抛出同时抛出，且且 v1v2B甲先抛出
20、甲先抛出，且且 v1v2 C甲先抛出甲先抛出，且且 v1v2D甲后抛出甲后抛出， ，且且 v1v2 B甲球从较高位置抛出甲球从较高位置抛出， 乙球击中甲球时乙球击中甲球时， 甲的竖直位移大甲的竖直位移大， 运动时间长运动时间长， 故应先抛出甲球；甲、乙两球的水平位移相等，由故应先抛出甲球；甲、乙两球的水平位移相等，由 xv0t，又，又 t 甲甲 t 乙乙，知 ，知 v1 v2，故，故 B 正确。正确。 2(多选多选)如图所示如图所示，ab 为竖直平面内的半圆环为竖直平面内的半圆环 acb 的水平直径 的水平直径，c 为环上为环上 最低点最低点，环半径为环半径为 R。将一个小球从将一个小球从 a
21、 点以初速度点以初速度 v0沿沿 ab 方向抛出方向抛出，设重力加设重力加 速度为速度为 g，不计空气阻力不计空气阻力。则则() 7/8 A当小球的初速度当小球的初速度 v0 1 2gR时 时，落到环上时的竖直分速度最大落到环上时的竖直分速度最大 B当小球的初速度当小球的初速度 v0 1 3gR时 时，将落到环上的将落到环上的 cb 段段 Cv0取适当值取适当值，小球可以垂直撞击圆环小球可以垂直撞击圆环 D无论无论 v0取何值取何值，小球都不可能垂直撞击圆环小球都不可能垂直撞击圆环 AD小球做平抛运动小球做平抛运动，当小球落在当小球落在 c 点时竖直分速度最大点时竖直分速度最大，由由 R1 2
22、gt 2， ，R v0t，解得，解得 v0 1 2gR， ，A 正确；当小球的初速度正确；当小球的初速度 v0 1 3gR 1 2gR时，水 时，水 平位移小于平位移小于 R，小球将落到环上的小球将落到环上的 ac 段段，B 错误错误；小球撞击在小球撞击在 ac 段时段时，速度方速度方 向斜向右下方向斜向右下方，不可能与圆环垂直不可能与圆环垂直；当小球落在当小球落在 cb 段时段时，由于由于 O 不在水平位移不在水平位移 的中点的中点， 根据平抛运动的推论根据平抛运动的推论， 可知小球落在圆环上时的速度反向延长线不可能可知小球落在圆环上时的速度反向延长线不可能 通过通过 O 点，也就不可能垂直
23、撞击圆环，点，也就不可能垂直撞击圆环，C 错误，错误，D 正确。正确。 3如图所示如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心在竖直放置的半球形容器的中心 O 点分别以水平初速度点分别以水平初速度 v1、 v2沿相反方向抛出两个小球沿相反方向抛出两个小球 1 和和 2(可视为质点可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的最终它们分别落在圆弧上的 A 点和点和 B 点点，已知已知 OA 与与 OB 互相垂直互相垂直，且且 OA 与竖直方向成与竖直方向成角角，则两小球的初则两小球的初 速度之比速度之比v1 v2为 为() Atan Bcos Ctan tan Dcos cos C两小球被抛出后都做平抛运动两
24、小球被抛出后都做平抛运动， 设容器的半径为设容器的半径为 R， 两小球运动的时间两小球运动的时间 分别为分别为 t1、t2。 对球对球 1：Rsin v1t1，Rcos 1 2gt 2 1， 对球对球 2：Rcos v2t2，Rsin 1 2gt 2 2， 联立以上四式解得联立以上四式解得v1 v2 tan tan 。故。故 C 正确。正确。 4如图所示的光滑斜面长为如图所示的光滑斜面长为 l、宽为宽为 b、倾角为倾角为，一物块一物块(可看成质点可看成质点)沿斜沿斜 8/8 面左上方顶点面左上方顶点 P 水平射入水平射入，恰好从底端恰好从底端 Q 点离开斜面点离开斜面，试求试求：(重力加速度为
25、重力加速度为 g) (1)物块由物块由 P 运动到运动到 Q 所用的时间所用的时间 t； (2)物块由物块由 P 点水平射入时的初速度点水平射入时的初速度 v0； (3)物块离开物块离开 Q 点时速度的大小点时速度的大小 v。 解析解析(1)沿斜面向下的方向有沿斜面向下的方向有 mgsin ma，l1 2at 2 联立解得联立解得 t 2l gsin 。 。 (2)沿水平方向有沿水平方向有 bv0t v0b t b gsin 2l 。 (3)物块离开物块离开 Q 点时的速度大小点时的速度大小 v v20 at 2 b24l2 gsin 2l 。 答案答案(1) 2l gsin (2)b gsin 2l (3) b24l2gsin 2l
