1、第第 4 节节幂函数与二次函数幂函数与二次函数 考试要求1.通过具体实例，结合 yx，y1 x，yx 2，y x，yx3的图象，理 解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、 方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当0)yax2bxc(a0， 0；当 a0， 0 时，恒有 f(x)0 时，幂函数
2、 yx在(0，)上是增函数.() (3)二次函数 yax2bxc(a0)的两个零点可以确定函数的解析式.() (4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb 2 4a .() 解析(1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故 y2x 1 3不是幂函数，(1)错. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件， 两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴 x b 2a，当 b 2a小于 a 或大于 b 时，最值不是 4acb2 4a ，故(4)错. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(多填题)(老教材必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)kx的图象过点 1 2， 2 2
3、， 则 k_，_. 解析因为 f(x)kx是幂函数，所以 k1. 又 f(x)的图象过点 1 2， 2 2 ，所以 1 2 2 2 ， 所以1 2. 答案1 1 2 3.(新教材必修第一册 P86T7 改编)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(， 4)上单 调递增，则实数 a 的取值范围是_. 解析当 a0 时，f(x)2x3 在(，4)单调递增. 当 a0 时，f(x)在(，4)上单调递增. 则 a 需满足 a0， 1 a4， 解得1 4a0. 综上可知，1 4a0. 答案 1 4，0 4.(2016全国卷)已知 a24 3，b3 2 3，c25 1 3，则( ) A.bacB.abc
4、C.bcaD.caab. 答案A 5.(2020广东省实验中学质检)已知函数 f(x)3x22(m3)xm3 的值域为0， )，则实数 m 的取值范围为() A.0，3B.3，0 C.0，3D.(，30，) 解析依题意，得4(m3)243(m3)0，则 m0 或 m3.实数 m 的 取值范围是0，3. 答案A 6.(2018上海卷)已知 2，1，1 2， 1 2，1，2，3.若幂函数 f(x)x为奇函 数，且在(0，)上递减，则_. 解析由 yx为奇函数，知取1，1，3. 又 yx在(0，)上递减，0，取1. 答案1 考点一幂函数的图象和性质 【例 1】(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4，
5、 2)， 则幂函数 yf(x)的大致图象是() (2)(2020衡水中学调研)已知点(m， 8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上， 设af 1 3 ， bf(ln )，cf(2 1 2)，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.acbB.abc C.bcaD.bac 解析(1)设幂函数的解析式为 yx， 因为幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)， 所以 24，解得1 2. 所以 y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 x12 1 2 2 2 1 3， 所以 f(ln )f(2 1 2)f 1 3 ，则 bca. 答案(1)C(2)A 规律方法1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象
6、限内三条线分第一象限为 六个区域，即 x1，y1，yx 所分区域.根据0，01 的取值 确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性 进行比较. 【训练 1】(1)(多选题)已知点 a，1 2 在幂函数 f(x)(a1)xb的图象上， 则函数 f(x) 是() A.奇函数 B.偶函数 C.(0，)上的增函数 D.(0，)上的减函数 (2)若幂函数 yx 1， yxm 与 yxn在第一象限内的图象如图所示， 则 m 与 n 的取 值情况为() A.1m0n1B.1n0m C.1m0nD.1n0m0 时，yx在(0，)上为增函数，
7、且 01 时，图象上 凸，0m1. 当0 时，yx在(0，)上为减函数. 不妨令 x2，由图象得 2 12n，则1n0. 综上可知，1n0m0 且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐 标系内的图象可能是() (2)设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0D.f(m1)0 解析(1)若 0a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数， y(a1)x2x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足. (2)因为 f(x)的对称轴为 x1 2，f(0)a0，所以 f(x)的大致图 象如图所示. 由 f(m)0，得1m0，所以 f(m1)f(0)
8、0. 答案(1)A(2)C 规律方法1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中 有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交 点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关 系成立的条件. 【训练 3】 一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象 大致是() 解析A 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，此时二次函数 yax2bx c 的图象应该开口向上，A 错误； B 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，b0，此
9、时二次函数 yax2bxc 的图象应该开口向上，对称轴 x b 2a0，B 错误；C 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，b0，此时二次函数 yax2bxc 的图象应该开口向下，对称 轴 x b 2a0，C 正确； D 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，bxk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的取值范围. 解(1)由题意知 a0， b 2a1， f（1）ab10， 解得 a1， b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为 (，1. (2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区
10、间 3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1， 由 g(x) x1 2 2 3 4知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x) ming(1)1， 所以 k1， 故 k 的取值范围是(，1). 角度 2二次函数中的恒成立问题 【例 42】 (2020沈阳模拟)已知函数 f(x)x2ax6，g(x)x4.若对任意 x1(0，)，存在 x2(，1，使 f(x1)g(x2)，则实数 a 的最大值为() A.6B.4C.3D.2 解析由题意 f(x)maxg(x)max，(*) 由 g(x)在(，1上单调递增，则 g(x)maxg(1)3， f(x)x2ax6 xa 2 2 a 2 4 6
11、. 当 a0 时，f(x)在0，)上单调递减， 所以 f(x)f(0)6，显然 f(x)0 时，xa 2(0，)，f(x) maxf a 2 a 2 4 6. 此时应有a 2 4 63，且 a0，解得 00， 所以 f(x) 在(，2上是递减的，在2，)上是递增的. (2)x1，1时，f(x)0a(x1)2x1.(*) 当 x1 时，aR，(*)式恒成立. 当 x1，1)时，(*)式等价于 a 1 x1恒成立. 又 t 1 x1在1，1)上是减函数，a 1 x1 max 1 2. 综上知 a1 2. 答案(1)A(2) 1 2， A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020濮阳模拟)已知函数 f
12、(x)(m2m1)xm22m3 是幂函数，且其图象与 两坐标轴都没有交点，则实数 m() A.1B.2C.3D.2 或1 解析由题意，得 m2m11，解得 m2 或 m1. 当 m2 时，f(x)x5的图象与坐标轴有交点，不合题意. 当 m1 时，f(x)x 4 的图象与坐标轴无交点，符合题意. 综上可知，m1. 答案A 2.已知 p：|m1|1，q：幂函数 y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则 p 是 q 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析p：由|m1|1 得2m0， 又幂函数 y(m2m1)xm在(0，)上单调递减， 所以 m2m
13、11，且 m0)，当1x1 时，|f(x)|1 恒成立，则 f 2 3 _. 解析当 x1，1时，|f(x)|1 恒成立. |f（0）|1|n|11n1； |f（1）|1|2n|13n1， 因此 n1，f(0)1，f(1)1. 由 f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线 x0，2m0，m 2， f(x)2x21，f 2 3 1 9. 答案1 9 14.已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x1，1时，函数 yf(x)的图象恒在函数 y2xm 的图象的上方，求实 数 m 的取值范围. 解(1)设 f(x)ax2
14、bxc(a0)， 由 f(x1)f(x)2x，得 2axab2x. 所以，2a2 且 ab0，解得 a1，b1， 又 f(0)1，所以 c1. 因此 f(x)的解析式为 f(x)x2x1. (2)因为当 x1，1时，yf(x)的图象恒在 y2xm 的图象上方， 所以在1，1上，x2x12xm 恒成立； 即 x23x1m 在区间1，1上恒成立. 所以令 g(x)x23x1 x3 2 2 5 4， 因为 g(x)在1，1上的最小值为 g(1)1， 所以 m4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确. 对称轴为 x1，即 b 2a1，2ab0，错误. 结合图象，当 x1 时，y0，即
15、abc0，错误. 由对称轴为 x1 知，b2a. 根据抛物线开口向下，知 a0，所以 5a2a， 即 5ab，正确. 答案B 16.(情景创新题)(2019衡水中学二调)若直角坐标平面内不同两点 P， Q 满足条件： P，Q 都在函数 yf(x)的图象上，P，Q 关于原点对称，则称(P，Q)是函数 y f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”).已知 函数 f(x) k（x1），x0， x21，x0 有两个“伙伴点组”，则实数 k 的取值范围是 _. 解析设点(m，n)(m0)是函数 yf(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关 于原点的对称点(m，n)必在该函数图象上，故 nm21， nk（m1），消去 n， 整理得 m2kmk10.若函数 f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相 等的正实数根，即 k24（k1）0， k0， k10， 解得 k22 2.故实数 k 的取值范围 是(22 2，). 答案(22 2，)
