1、第二课时第二课时直线与椭圆直线与椭圆 考点一直线与椭圆的位置关系 【例 1】 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y 2 2 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点. 解将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组 y2xm， x2 4 y 2 2 1， 将代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144. (1)当0，即3 2m32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两 组不同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点. (2
2、)当0，即 m32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组 相同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点. (3)当0，即 m32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实 数解.这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点. 规律方法研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方 程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交 点. 【训练 1】 (一题多解)若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y 2 m1 总有公共点，则 m 的取 值
3、范围是() A.m1B.m0 C.0m5 且 m1D.m1 且 m5 解析法一由于直线 ykx1 恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00 且 m5，m15k2恒成立， m1 且 m5. 答案D 考点二中点弦问题 【例 2】 (一题多解)已知 P(1，1)为椭圆x 2 4 y 2 2 1 内一定点，经过 P 引一条弦， 使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为_. 解析法一易知此弦所在直线的斜率存在， 设其方程为 y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，设 A(x1， y1)，B(x2，y2). 由 y1k（x1）， x2 4 y 2 2 1 消去
4、 y 得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0， x1x24k（k1） 2k21 ， 又x1x22，4k（k1） 2k21 2，解得 k1 2. 经检验，k1 2满足题意. 故此弦所在的直线方程为 y11 2(x1)， 即 x2y30. 法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为 k， 弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 4 y 2 1 2 1， x22 4 y 2 2 2 1， 得（x1x2）（x1x2） 4 （y1y2）（y1y2） 2 0， x1x22，y1y22， x1x2 2 y1y20，ky1y2 x1x2 1
5、2. 经检验，k1 2满足题意. 此弦所在的直线方程为 y11 2(x1)， 即 x2y30. 答案x2y30 规律方法弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 【训练 2】 (2019长春二检)椭圆 4x29y2144 内有一点 P(3，2)，则以 P 为中点 的弦所在直线的斜率为() A.2 3 B.3 2 C.4 9 D.9 4 解析设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x219y21144，4x229y22
6、144，两式相减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1 y2)0，又 x1x26，y1y24，y1y2 x1x2k，代入解得 k 2 3. 答案A 考点三弦长问题 【例 3】 (2020济南一模)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2， 离心率 e1 2，点 P 是椭圆上的一个动点，PF 1F2面积的最大值是 4 3. (1)求椭圆的方程； (2)若 A，B，C，D 是椭圆上不重合的四点，AC 与 BD 相交于点 F1，AC BD 0， 且|AC |BD |96 7 ，求此时直线 AC 的方程. 解(1)由题意知，当点 P 是椭圆上(或下)顶点
7、时，PF1F2的面积取得最大值. 此时，SPF1F 2 1 22cb4 3， 又 ec a 1 2，a 2b2c2， 解得 a4，b2 3，故所求椭圆的方程为x 2 16 y2 121. (2)由(1)知 F1(2，0)，由AC BD 0 得 ACBD. 当直线 AC 与 BD 中有一条直线的斜率不存在时， |AC |BD |14，不合题意. 当直线 AC 的斜率存在且为 k(k 不为 0)时， 其方程为 yk(x2). 由 yk（x2）， x2 16 y2 121 消去 y 得 (34k2)x216k2x16k2480. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 16k2 34k
8、2，x 1x216k 248 34k2 . 所以|AC | 1k2|x1x2|24（1k2） 34k2 . 直线 BD 的方程为 y1 k(x2)，同理可得|BD |24（1k 2） 43k2 . 由|AC |BD | 168（1k2）2 （43k2）（34k2） 96 7 ， 解得 k21，则 k1. 故所求直线 AC 的方程为 xy20 或 xy20. 规律方法弦长问题的求解方法有： (1)求出两交点坐标， 用两点间距离公式求解； (2)用弦长公式：|AB| 1k2|x1x2|或|AB|11 k2|y 1y2|(k0)求解，其中 k 为直线 AB 的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)
9、. 注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线 的焦点. 【训练 3】 (一题多解)已知斜率为 2 的直线经过椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点 F，与椭 圆相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为_. 解析法一由题意知，椭圆的右焦点 F 的坐标为(1，0)，直线 AB 的方程为 y 2(x1)， 由 y2（x1）， x2 5 y 2 4 1 消去 y，得 3x25x0， 故得 A(0，2)，B 5 3， 4 3 ，则 |AB| 05 3 2 24 3 2 5 5 3 . 法二由题意知， 椭圆的右焦点 F 的坐标为(1， 0)， 直线 AB 的方程为
10、y2(x1)， 由 y2（x1）， x2 5 y 2 4 1 消去 y 得 3x25x0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x25 3，x 1x20， 则|AB| （x1x2）2（y1y2）2 （1k2）（x1x2）24x1x2 （122） 5 3 2 40 5 5 3 . 答案 5 5 3 考点四直线与椭圆的综合问题 【例 4】 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一 点，已知F1PF260，SF1PF2 3，且椭圆的离心率为1 2. (1)求椭圆方程； (2)已知 T(4，0)，过 T 的直线与椭圆交于 M，N 两点，求
11、MNF1面积的最大值. 解(1)由已知，得|PF1|PF2|2a， |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 604c2， 即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|4c2， 1 2|PF 1|PF2|sin 60 3，即|PF1|PF2|4， 联立解得 a2c23.又c a 1 2，c 21，a24， b2a2c23，椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)根据题意可知直线 MN 的斜率存在，且不为 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 MN 的方程为 xmy4， 代入椭圆方程，整理得(3m24)y224my360， 则(24m)2436(3m24)0，所以
12、m24. y1y2 24m 3m24，y 1y2 36 3m24， 则MNF1的面积 SMNF1|SNTF1SMTF1| 1 2|TF 1|y1y2|3 2 （y1y2）24y1y2 3 2 24m 3m24 2 144 3m2418 m24 43m2 6 1 m2416 3 m24 6 1 m24 16 3 m24 6 2 16 3 3 3 4 . 当且仅当 m24 16 3 m24 ，即 m228 3 时(此时适合0 的条件)取得等号. 故MNF1面积的最大值为3 3 4 . 规律方法最值与范围问题的解题思路 1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解. 2.构造关于所求量的
13、不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定 要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等. 【训练 4】 (2020长沙质检)已知 P 点坐标为(0，2)，点 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2 y 2 b21(ab0)的左、右顶点，直线 BP 交 E 于点 Q，ABP 是等腰直角三角形， 且PQ 3 2QB . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径 的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围. 解(1)由ABP 是等腰直角三角形，得 a2，B(2，0). 设 Q(x0，y0)，则由PQ 3 2Q
14、B ，得 x06 5， y04 5， 代入椭圆方程得 b21， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. (2)依题意得，直线 l 的斜率存在，方程设为 ykx2. 联立 ykx2， x2 4 y21， 消去 y 并整理得(14k2)x216kx120.(*) 因直线 l 与 E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故(16k)248(14k2)0，解得 k23 4. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根与系数的关系得 x1x2 16k 14k2， x1x2 12 14k2， 因坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外， 所以OM ON 0，即 x1x2y1y20， 又由 x
15、1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2) 12 14k22k 16k 14k240， 解得 k24，综上可得3 4k 24， 则 3 2 k2 或2kb0)， 则 c1.因为过 F 2且垂直于 x 轴的直 线与椭圆交于 A，B 两点，且|AB|3，所以b 2 a 3 2，b 2a2c2，所以 a24，b2 a2c2413，椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. 答案C 3.(2019郑州模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，离 心率为2 3，过 F 2的直线 l 交 C 于 A，B 两
16、点，若AF1B 的周长为 12，则 C 的方程 为() A.x 2 3 y21B.x 2 3 y 2 2 1 C.x 2 9 y 2 4 1D.x 2 9 y 2 5 1 解析由题意可得c a 2 3，4a12，解得 a3，c2，则 b 3 222 5，所以椭 圆 C 的方程为x 2 9 y 2 5 1. 答案D 4.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50， 弦的中点坐 标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是() A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 解析设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法 可
17、知 yM b2 a2kx M，代入 k1，M(4，1)，解得b 2 a2 1 4，e 1 b a 2 3 2 ，故 选 C. 答案C 5.(2020青岛调研)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4 y21 相交于 A，B 两点，则|AB| 的最大值为() A.4 5 5 B.4 10 5 C.8 10 5 D.8 5 5 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为 yxm，由 yxm， x2 4 y21，消去 y 得 5x 28mx4(m21)0， 则 x1x28m 5 ，x1x24（m 21） 5 . |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24
18、x1x2 2 8 5m 2 16（m 21） 5 4 2 5 5m2， 当 m0 时，|AB|取得最大值4 10 5 ，故选 B. 答案B 二、填空题 6.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程为_. 解析椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a3， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c1 32a2，得 c1， 因此，b2a2c2918， 所以此椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 8 1. 答案 x2 9 y 2 8 1 7.(2019成都诊断)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，上顶点 为
19、C，若ABC 是底角为 30的等腰三角形，则c b_. 解析由题意知CAB30，tan 30b a 3 3 ， c b a2b2 b2 a b 2 1 31 2. 答案2 8.(2020衡水调研)与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点且与直线 l：xy30 相切的 椭圆的离心率为_. 解析因为所求椭圆与椭圆x 2 2 y21 有相同的焦点， 所以可设所求椭圆的方程为 x2 a2 y2 a211(a1)， 联立方程组 x2 a2 y2 a211， yx3 (2a21)x26a2x10a2a40， 因为直线 l 与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0， 化简得 a46a250，即
20、 a25 或 a21(舍). 则 a 5.又 c1，所以 ec a 1 5 5 5 . 答案 5 5 三、解答题 9.已知椭圆x 2 2 y21. (1)过 A(2，1)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点 P 1 2， 1 2 且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解(1)设弦的端点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是 M(x，y)，则 x2x12x，y2 y12y，由于点 P，Q 在椭圆上，则有： x21 2 y211， x22 2 y221， 得y2y1 x2x1 x2x1 2（y2y1） x 2y， 所以 x 2y y1 x2， 化简得
21、x22x2y22y0(包含在椭圆x 2 2 y21 内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为 k x 2y 1 2，因此所求直线方程是 y 1 2 1 2 x1 2 ，化简得 2x4y30. 10.(2019全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点. (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取 值范围. 解(1)连接 PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2| c，|P
22、F1| 3c，于是 2a|PF1|PF2|( 31)c，故 C 的离心率为 ec a 3 1. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 1 2|y|2c16， y xc y xc1， x2 a2 y2 b21， 即 c|y|16， x2y2c2， x2 a2 y2 b21. 由及 a2b2c2得 y2b 4 c2. 又由知 y216 2 c2 ，故 b4. 由及 a2b2c2得 x2a 2 c2(c 2b2)， 所以 c2b2，从而 a2b2c22b232， 故 a4 2. 当 b4，a42时，存在满足条件的点 P. 所以 b4，a 的取值范围为4 2，). B 级能力提升
23、11.已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x 2 4 y21 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点，若 PF1 PF2 0，则 x0的取值范围是() A. 2 6 3 ，2 6 3B. 2 3 3 ，2 3 3 C. 3 3 ， 3 3D. 6 3 ， 6 3 解析由题意可知 F1( 3，0)，F2( 3，0)，则PF1 PF2 (x0 3)(x0 3)y20 x20y2030.因为点 P 在椭圆上，所以 y201x 2 0 4 .所以 x20 1x 2 0 4 30，解得 2 6 3 x0b0)的左、右焦点， 点 P 是椭圆上位于第二象限内的点， 延长 PF1交椭圆于点 Q， 若 PF2PQ
24、， 且|PF2| |PQ|，则椭圆的离心率为_. 解析连接 F2Q， 由已知 PF2PQ， 且|PF2|PQ|， 得F2PQ 是等腰直角三角形， 设|PF2|m，|QF2|n，由椭圆的定义得|PF1|2am，|QF1|2an，则有 2am 2anm，且 n 2m，m2(2 2)a. 在 RtF1PF2中，由勾股定理得，m2(2am)24c2，即2(2 2)a22a2(2 2)a24c2， 4(64 2)a2(128 2)a24c2，即(96 2)a2c2， 从而 e2c 2 a296 2，又知 0eb0)过点 P(2，1)，且离心率 e 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l
25、 的斜率为1 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求PAB 的面积的最大 值. 解(1)因为 e2c 2 a2 a2b2 a2 3 4，所以 a 24b2. 又椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P(2，1)， 所以 4 a2 1 b21.所以 a 28，b22. 故所求椭圆方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)设 l 的方程为 y1 2xm，点 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，联立 y1 2xm， x2 8 y 2 2 1 消去 y 整 理， 得 x22mx2m240. 所以 x1x22m，x1x22m24. 又直线 l 与椭圆相交，所以4m28m2160
26、，解得|m|b0)长轴的端点分 别为 A，B.点 C 为椭圆上异于 A，B 的一点，若将ABC 的三内角记为 A，B，C， 且满足 3tan A3tan Btan C0，则 tan Atan B 的值为_，椭圆的离心率 为_. 解析法一3tan A3tan Btan C0， 3tan(AB)(1tan Atan B)tan C0， 3tan C(1tan Atan B)tan C0. tan C0，tan Atan B2 3. 设 C(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则x 2 a2 y2 b21. tan Atan B2 3， y xa y xa 2 3， y2 x2a2 2 3， y2
27、 a2 b2y 2 2 3， b 2 a2 2 3， a2c2 a2 2 3，e 3 3 . 法二设点 C(0，b)，则有 tan Atan Bb a，由 ABC得，tan Ctan(A B) tan Atan B 1tan Atan B 2b a 1 b a 2 2ab b2a2，又知 3tan A3tan Btan C0，所以 tan C3(tan Atan B)6b a ，因此可得 2ab b2a2 6b a ，即 6(b2a2)2a2， 3b22a2， b 2 a2 2 3， 即 tan Atan B 2 3， 该椭圆的离心率 e 1b 2 a2 12 3 3 3 . 答案 2 3 3 3
