1、第第 6 节节正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径， 则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 常见 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c 2Rsin_C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin_Asin_
2、Bsin_C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin C csin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 3.三角形常用面积公式 (1)S1 2ah a(ha表示 a 边上的高). (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A abc 4R . (3)S1 2r(abc)(r 为内切圆半径). 常用
3、结论与微点提醒 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C； (3)sinAB 2 cosC 2；(4)cos AB 2 sinC 2. 2.三角形中的射影定理 在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B. 3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin A sin Bcos Asin B，则 AB.() (3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.() (4)当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直 角三角形
4、；当 b2c2a20 时，ABC 不一定为锐角三角形. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P44 例 6 改编)在ABC 中，a2，b3，c4，则 cos B () A.11 16 B.13 16 C.11 14 D.13 14 解析由余弦定理知 cos B2 24232 224 11 16. 答案A 3.(老教材必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状 为_. 解析由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为等
5、腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形 4.(2019潍坊二模)若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin 2Aasin B，且 c2b，则a b等于( ) A.3 2 B.4 3 C. 2D. 3 解析由 bsin 2Aasin B，及正弦定理得 2sin Bsin Acos Asin Asin B，得 cos A 1 2.又 c2b，所以由余弦定理得 a 2b2c22bccos Ab24b24b21 23b 2， 得a b 3.故选 D. 答案D 5.(2018全国卷)在ABC 中，cos C 2 5 5 ，BC1，AC5，则 AB() A.4 2
6、B. 30 C. 29D.2 5 解析由题意得 cos C2cos2 C 212 5 5 2 13 5. 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212 251 3 5 32， 所以 AB4 2. 答案A 6.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论 上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到 小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内 接正六边形的面积 S6，S6_. 解析作出单位圆的内接正六边形，如图，则 OAOBAB1， S661 21 2sin 603 3 2 . 答案 3
7、 3 2 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2019青岛二模)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 若 2cos2AB 2 cos 2C1，4sin B3sin A，ab1，则 c 的值为() A. 13B. 7C. 37D.6 (2)(2020衡水模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有 a 1， 3sin Acos C( 3sin Cb)cos A0，则 A_. 解析(1)由 2cos2AB 2 cos 2C1， 可得 2cos2AB 2 1cos 2C0， 则有 cos 2Ccos C0，即 2cos2Ccos C10，
8、 解得 cos C1 2或 cos C1(舍)， 由 4sin B3sin A，得 4b3a， 又 ab1， 联立，得 a4，b3， 所以 c2a2b22abcos C1691213，则 c 13. (2)由3sin Acos C( 3sin Cb)cos A0， 得3sin Acos C 3sin Ccos Abcos A， 所以3sin(AC)bcos A，即3sin Bbcos A， 又 a sin A b sin B，所以 3 cos A b sin B a sin A， 从而sin A cos A 1 3tan A 3 3 ， 又因为 0A，所以 A5 6 . 答案(1)A(2)5
9、6 规律方法利用正弦定理可解决以下两类三角形问题： 一是已知两角和一角的对 边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有 不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他 边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所 以其解也是唯一的. 【训练 1】 (1)在ABC 中，已知 a2，b 6，A45，则满足条件的三角形 有() A.1 个B.2 个C.0 个D.无法确定 (2)(2020沈阳质检)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 s
10、in C 2sin Ccos Bsin A，C 0， 2 ，a 6，cos B1 3，则 b_. 解析(1)bsin A 6 2 2 3，bsin Aab. 满足条件的三角形有 2 个. (2)由正弦定理及题意可得 c2c1 3a，即 a 5 3c，又 a 6，所以 c 3 6 5 ，由 余弦定理得 b2a2c22accos B654 25 12 5 144 25 ，所以 b12 5 . 答案(1)B(2)12 5 考点二判断三角形的形状 【例 2】 (1)(一题多解)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a 2bcos C，则此三角形一定是() A.等腰直角三角形 B
11、.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(多选题)下列命题中，正确的是() A.在ABC 中，若 AB，则 sin Asin B B.在锐角三角形 ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立 C.在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形 D.在ABC 中，若 B60，b2ac，则ABC 必是等边三角形 解析(1)法一由余弦定理可得 a2ba 2b2c2 2ab ， 因此 a2a2b2c2，得 b2c2，于是 bc， 从而ABC 为等腰三角形. 法二由正弦定理可得 sin A2sin Bcos C， 因此 sin(BC)2sin Bc
12、os C， 即 sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是 sin(BC)0，因此 BC0，即 BC， 故ABC 为等腰三角形. (2)对于 A，在ABC 中，由正弦定理可得 a sin A b sin B，所以 sin Asin Ba bAB，故 A 正确；对于 B，在锐角三角形 ABC 中，A，B 0， 2 ，且 AB 2，则 2A 2B0，所以 sin Asin 2Bcos B，故 B 正确；对于 C，在 ABC 中，由 acos Abcos B，利用正弦定理可得 sin 2Asin 2B，得到 2A2B 或 2A2B，故 AB 或 A 2B，即ABC 是等腰三
13、角形或直角三角形，故 C 错误；对于 D，在ABC 中，若 B60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2 c22accos B，所以 aca2c2ac，即(ac)20，解得 ac.又 B60，所以 ABC 必是等边三角形，故 D 正确.故选 ABD. 答案(1)C(2)ABD 规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的 关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥 梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏 掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练 2】 (1)
14、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若c bcos A， 则ABC 为() A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 (2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos B asin A，则ABC 的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 解析(1)由c bcos A，得 sin C sin B0， 所以 sin Csin Bcos A， 即 sin(AB)sin Bcos A， 所以 sin Acos B0，所以 cos B0，sin A1，即 A 2， ABC 为直角三角形. 答案(1
15、)A(2)B 考点三和三角形面积有关的问题 【例 3】 (2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B； (2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围. 解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180，可得 sinAC 2 cosB 2， 故 cosB 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，所以 sin B 2 1 2，所以 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积
16、SABC 3 4 a. 由(1)知 AC120， 由正弦定理得 acsin A sin C sin（120C） sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90. 结合 AC120，得 30C90， 所以1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 . 规律方法与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角 形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知 条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【训练 3】 (2019德州二模)已知ABC 内角 A
17、，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 b2c2a2c(acos Cccos A). (1)求角 A 的大小； (2)若ABC 的面积为4 3 3 ，且 a3，求ABC 的周长. 解(1)b2c2a2c(acos Cccos A)可化为 b2c2a2c a2b2c2 2b b 2c2a2 2b， 即得b 2c2a2 bc 1，所以b 2c2a2 2bc 1 2， 所以 cos A1 2. 又因为 A 为ABC 的内角，所以 A60. (2)根据题意，得 SABC1 2bcsin A 1 2bc 3 2 4 3 3 ， 所以 bc16 3 . 由余弦定理得 a2b2c22bccos A (bc
18、)22bc2bccos 60 (bc)23bc(bc)2169. 解得 bc5， 所以ABC 的周长为 abc8. 数学抽象、数学运算二级结论之射影定理的活用赏析 设ABC 的三边是 a，b，c，它们所对的角分别是 A，B，C，则有：abcos C ccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A. 注：以“abcos Cccos B”为例，b，c 在 a 上的射影分别为 bcos C，ccos B， 故名射影定理. 证明如图，在ABC 中，ADBC， 则 bcos CCD，ccos BBD， 故 bcos Cccos BCDBDBCa， 即 abcos Cccos B，
19、同理可证 bccos Aacos C， cacos Bbcos A. 【例 1】 (2017山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式 成立的是() A.a2bB.b2aC.A2BD.B2A 通性通法法一因为 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以 sin B 2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以 sin B2sin Bcos Csin Acos C sin B， 即 cos C(2sin Bs
20、in A)0， 所以 cos C0 或 2sin Bsin A， 即 C90或 2ba， 又ABC 为锐角三角形，所以 0Cc2，故 2ba，故选 A. 应用示范由正弦定理及 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C 得 b 2bcos C2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即 2bcos C acos C，又因为ABC 为锐角三角形，所以 cos C0，则 2ba. 答案A 【例 2】 (2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_. 通性
21、通法依题意得 2ba 2c2b2 2ac aa 2b2c2 2ab cb 2c2a2 2bc ，即 a2 c2b2ac，所以 2accos Bac0，cos B1 2.又 0B，所以 B 3. 应用示范由射影定理得 acos Cccos Ab， 又 2bcos Bacos Cccos A，则 2bcos Bb，即 cos B1 2， 又 B(0，)，故 B 3. 答案 3 思维升华射影定理和正、余弦定理一样实现了边角之间的转换，运用射影定理 整体代入，大大简化了运算过程，取得了事半功倍的神奇效果. A 级基础巩固 一、选择题 1.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a
22、5，c2，cos A2 3， 则 b() A. 2B. 3C.2 D.3 解析由余弦定理，得 5b2222b22 3，解得 b3 b1 3舍去. 答案D 2.(2020唐山一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，b3， c4，设 AB 边上的高为 h，则 h() A. 15 2 B. 11 2 C.3 15 4 D.3 15 8 解析由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 9164 234 21 24 7 8 ，则 sin A 1cos2A149 64 15 64 15 8 ， 则 hACsin Absin A3 15 8 3 15 8 ，故选 D. 答案
23、D 3.(2019厦门一模)在ABC 中，cos B1 4，b2，sin C2sin A，则ABC 的面 积等于() A.1 4 B.1 2 C. 3 2 D. 15 4 解析由正弦定理及sin C2sin A得c2a， 由余弦定理得b2a2c22accos B a24a22a2a1 44a 24，解得 a1，可得 c2，所以ABC 的面积为 S 1 2acsin B 1 212 1 1 4 2 15 4 . 答案D 4.在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形 状为() A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形
24、D.等腰直角三角形 解析因为 cos2B 2 ac 2c ， 所以 2cos2B 21 ac c 1，所以 cos Ba c， 即a 2c2b2 2ac a c，所以 c 2a2b2. 所以ABC 为直角三角形. 答案B 5.(2019武汉调研)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 3b， AB 2，则角 C( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 解析由题意得 AB 2，所以 sin Asin B 2 cos B，又 a 3b，所以由正 弦定理得 sin A 3sin B，故 cos B 3sin B，所以 tan B 3 3 ，因为 B(0，)， 所以
25、B 6，所以 C 6 2 6 6. 答案B 二、填空题 6.(多填题)(2018浙江卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 7，b2，A60，则 sin B_，c_. 解析由正弦定理，得 sin Bb asin A 21 7 ， 又 a2b2c22bccos A， c22c30，解得 c3(c1 舍去). 答案 21 7 3 7.(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c， B 3，则ABC 的面积为_. 解析由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 364c2c222c21 2， 解得 c2 3，所以 a4 3
26、， 所以 SABC1 2acsin B 1 24 32 3 3 2 6 3. 答案6 3 8.(2020西安质检)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos B1 3，b4，S ABC4 2，则ABC 的周长为_. 解析由 cos B1 3，得 sin B 2 2 3 ，由三角形面积公式可得 1 2acsin B 1 2ac 2 2 3 4 2，则 ac12， 由 b2a2c22accos B，可得 16a2c22121 3，则 a 2c224， 联立可得 ac2 3，所以ABC 的周长为 4 34. 答案4 34 三、解答题 9.(2018北京卷)在ABC 中，
27、a7，b8，cos B1 7. (1)求 A； (2)求 AC 边上的高. 解(1)在ABC 中，因为 cos B1 7， 所以 sin B 1cos2B4 3 7 . 由正弦定理得 sin Aasin B b 3 2 . 由题设知 2B，所以 0A 2. 所以 A 3. (2)在ABC 中， 因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3 3 14 ， 所以 AC 边上的高为 asin C73 3 14 3 3 2 . 10.(开放题)在ABC 中，a2 3，b6，_，求ABC 的周长 l 及面积 SABC. 在A30，C30，B60这三个条件中任选一个，补充在上面
28、问题中并 对其进行求解. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解选条件：a2 3，b6，ab，A3090， 又因为 bsin A6sin 303，bsin Aaa，BA，0B180， 所以 B60或 120， 当 B60时，C90，c a2b24 3， labc2 364 366 3， SABC1 2ab6 3； 当 B120时，C30，ca2 3， labc64 3， SABC1 2absin C 1 22 36sin 303 3. 选条件：a2 3，b6，C30， 由余弦定理，得 c2a2b22abcos C123622 36 3 2 12，c2 3， 则 labc64 3，
29、 SABC1 2absin C3 3. 选条件：a2 3，b6，ab，B60， AB，又由正弦定理，得 sin Aasin B b 2 3sin 60 6 1 2， A30，C90，c a2b24 3， labc66 3， SABC1 2ab6 3. B 级能力提升 11.(2020郴州一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2c2 3bca2，bc 3a2，则角 C 的大小是() A. 6或 2 3 B. 3 C.2 3 D. 6 解析由 b2c2 3bca2，得 b2c2a2 3bc， 则 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 ， 因为 0A
30、，所以 A 6， 由 bc 3a2及正弦定理， 得 sin Bsin C 3sin2A 31 4 3 4 ， 即 4sin(CA)sin C 3， 即 4sin(CA)sin C4sin C 6 sin C 3， 整理得3cos 2Csin 2C，则 tan 2C 3，又 02C5 3 ， 即 2C 3或 4 3 ，即 C 6或 2 3 . 答案A 12.(2020东营模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1 2bsin Ccos Asin Acos C，且 a2 3，则ABC 面积的最大值为_. 解析因为 1 2bsin Ccos Asin Acos C，
31、所以 1 2bcos Asin Ccos Asin Acos C， 所以 1 2bcos Asin(AC)，所以 1 2bcos Asin B， 所以cos A 2 sin B b ， 又sin B b sin A a ，a2 3， 所以cos A 2 sin A 2 3 ，得 tan A 3， 又 A(0，)，则 A 3， 由余弦定理得(2 3)2b2c22bc1 2b 2c2bc2bcbcbc， 即 bc12，当且仅当 bc23时取等号， 从而ABC 面积的最大值为1 212 3 2 3 3. 答案3 3 13.(多填题)(2019浙江卷)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D
32、在线 段 AC 上.若BDC45，则 BD_，cosABD_. 解析如图，易知 sin C4 5， cos C3 5. 在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BDBCsin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90， 可得 cos ABDcos(90CBD)sin CBD sin(CBDC) sin(CBDC) sin Ccos BDCcos Csin BDC 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 答案 12 2 5 7 2 10 14.(2018天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b
33、，c.已知 bsin Aacos B 6 . (1)求角 B 的大小； (2)设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值. 解(1)在ABC 中，由正弦定理 a sin A b sin B， 得 bsin Aasin B， 又由 bsin Aacos B 6 ， 得 asin Bacos B 6 ， 即 sin Bcos B 6 ， 可得 tan B 3. 又因为 B(0，)，可得 B 3. (2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B 3， 有 b2a2c22accos B7，故 b 7. 由 bsin Aacos B 6 ，可得 sin A 3 7. 因为 ac，故 cos A
34、2 7. 因此 sin 2A2sin Acos A4 3 7 ， cos 2A2cos2A11 7. 所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 . C 级创新猜想 15.(新背景题)(2020重庆诊断)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边 求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 .若 a2sin C 4sin A， (ac)212b2， 则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_. 解析根据
35、正弦定理及 a2sin C4sin A，可得 ac4， 由(ac)212b2，可得 a2c2b24， 所以 SABC 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 1 4（164） 3. 答案3 16.(多填题)(2020济南模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边， (3ba)cos Cccos A，c 是 a，b 的等比中项，且ABC 的面积为 3 2，则 ab _，ab_. 解析(3ba)cos Cccos A，利用正弦定理可得 3sin Bcos Csin Acos C sin Ccos Asin(AC)sin B.又sin B0，cos C1 3，又 C 为锐角，sin C 2 2 3 .由ABC 的面积为 3 2，可得 1 2absin C3 2，ab9.由 c 是 a，b 的等 比中项可得 c2ab，由余弦定理可得 c2a2b22abcos C，(ab)211 3 ab 33，ab 33. 答案933
