1、第第 7 节节抛物线抛物线 考试要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：M|MF|d(d 为点 M 到准线 l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 性 质 顶点O
2、(0，0) 对称轴y0 x0 焦点 F p 2，0F p 2，0F 0，p 2F 0，p 2 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 开口方向向右向左向上向下 常用结论与微点提醒 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0的距离|PF|x0p 2，也称 为抛物线的焦半径. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.() (2
3、)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0，准线方程是 xa 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.() (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.() (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线 的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.() 解析(1)当定点在定直线上时， 轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线， 而 非抛物线. (2)方程 yax2(a0)可化为 x21 ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 0， 1 4a ，准线方程是 y 1
4、 4a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.(老教材选修 21P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(2，3)的抛物线的标准 方程是_. 解析设抛物线的标准方程是 y2kx 或 x2my， 代入点 P(2， 3)， 解得 k9 2， m4 3，所以 y 29 2x 或 x 24 3y. 答案y29 2x 或 x 24 3y 3. (老教材选修 21P67A3 改编)抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个 数为_. 解析设 P(x1，y1)，则|PF|x12
5、5，得 x13，y12 6.故满足条件的点的 个数为 2. 答案2 4.(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p 1 的一个焦点， 则 p() A.2B.3C.4D.8 解析由题意知，抛物线的焦点坐标为 p 2，0， 椭圆的焦点坐标为( 2p，0)， 所以p 2 2p，解得 p0(舍去)或 p8. 答案D 5.(2020山东名校联考)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点， 且|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A.3 4 B.1C.5 4 D.7 4 解析如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为 M
6、， 作 AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1，MM1l 于点 M1，由抛 物线的方程知 p1 2，由抛物线定义知|AA 1|BB1|AF| |BF|3， 所以点M到y轴的距离为|MM1|p 2 1 2(|AA 1|BB1|) p 2 1 23 1 4 5 4，故选 C. 答案C 6.(2019昆明诊断)已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物 线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_. 解析由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物 线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当 k
7、0 时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因 此 k 的取值范围是1，1. 答案1，1 考点一抛物线的定义、标准方程及其性质 【例 1】 (1)已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点， 则抛物线 C 的方程是() A.y22 2xB.y22x C.y24xD.y24 2x (2)(多选题)过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A， B两点， 且|AF|3|BF|， 则直线 AB 的斜率为() A. 2B. 3C. 2D. 3 (3)动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _. 解析(1)由已知可知双曲线的
8、焦点为( 2，0)，( 2，0). 设抛物线方程为 y22px(p0)，则p 2 2， 所以 p2 2， 所以抛物线方程为 y24 2x.故选 D. (2)如图所示，当点 A 在第一象限时，过 A，B 分别向抛物线的 准线作垂线，垂足分别为 D，E，过 A 作 x 轴的垂线，与 EB 交于点 C，则四边形 ADEC 为矩形.由抛物线定义可知|AD| |AF|，|BE|BF|，设|AF|3|BF|3m，所以|AD|CE|3m， |AB|4m，在 RtABC 中，|BC|2m，所以ABC60，所 以直线 l 的斜率为 3；当点 B 在第一象限时，同理可知直线 l 的斜率为 3. (3)设动圆的圆心
9、坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的距离 相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x. 答案(1)D(2)BD(3)y24x 规律方法1.应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦 点到准线的距离为 p. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方 向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个 条件就可以确定抛物线的标准方程. 3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特 点来解题，特别是涉及焦点、顶点、
10、准线的问题更是如此. 【训练 1】 (1)设抛物线 y22px 的焦点在直线 2x3y80 上，则该抛物线的 准线方程为() A.x4B.x3 C.x2D.x1 (2)(2020佛山模拟)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0) 在抛物线上，K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK| 2|PF|，则 y0_. 解析(1)直线 2x3y80 与 x 轴的交点为(4，0)，抛物线 y22px 的焦点为 (4，0)，准线方程为 x4. (2)作 PMl，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK| 2|PF|，在 直角三角形 PKM 中，sinPKM|PM|
11、 |PK| |PF| |PK| 2 2 ，PKM45，PMK 为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又知点 P 在抛物线 x22py(p0)上， py08， y0p 24， 解得 p4， y02. 答案(1)A(2)2 考点二与抛物线有关的最值问题多维探究 角度 1到焦点与定点距离之和(差)最值问题 【例 21】 点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 A(2，1)为平面内定点，F 为抛 物线焦点，则： (1)|PA|PF|的最小值为_； (2)(多填题)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_. 解析(1)如图 1，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从而 最小值为
12、A 到准线的距离为 3. (2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|PF|有最小值 为|AF| 2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|PF|有最 大值为|AF| 2.故|PA|PF|最小值为 2，最大值为 2. 答案(1)3(2) 22 规律方法1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的 距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题. 2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值. 角度 2到点与准线的距离之和最值问题 【例 22】 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1
13、，1)的距离 与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_. 解析如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的 距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然，连 接 AF 与 抛 物 线 相 交 的 点 即 为 满 足 题 意 的 点 ， 此 时 最 小 值 为 1（1）2（01）2 5. 答案5 规律方法解决到点与准线的距离之和最值问题， 先将抛物线上的点到准线的距 离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角
14、度 3动弦中点到坐标轴距离最短问题 【例 23】 已知抛物线 x24y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为() A.3 4 B.3 2 C.1D.2 解析由题意知，抛物线的准线 l：y1，过点 A 作 AA1l 交 l 于点 A1，过点 B 作 BB1l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1l 交 l 于点 M1， 则|MM1|AA1|BB1| 2 .因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)， 即|AF|BF|6， 所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点 M 到 x 轴的距离 d2，故选 D. 答案D
15、规律方法解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半， 再根据 三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度 4焦点弦中距离之和最小问题 【例 24】 已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_. 解析由题意知 F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取 得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB| 2p4 时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2. 答案2 规
16、律方法过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径， 通 径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则 可以用通径最短求最值. 角度 5到定直线的距离最小问题 【例 25】 (一题多解)抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小 值是_. 解析法一如图， 设与直线 4x3y80 平行且与抛物 线 yx2相切的直线为 4x3yb0，切线方程与抛物 线方程联立得 yx2， 4x3yb0消去y整理得 3x 24xb0， 则1612b0，解得 b4 3，故切线方程为 4x3y 4 30，抛物线 yx 2 上的点到直线4x3y80距离的最小值是这两条平行线
17、间的距离d| 84 3| 5 4 3. 法二对 yx2，有 y2x，如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，m2)，则切线斜率 ky|xm2m 4 3，所以 m 2 3，即切点 T 2 3， 4 9 ，点 T 到直线 4x3y80 的距离 d | 8 3 4 38| 169 4 3， 由图知抛物线 yx 2上的点到直线 4x3y80 距离的最小 值是4 3. 答案 4 3 规律方法抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可 以利用单变量设点利用函数思想求最值. 【训练 2】 (1)若在抛物线 y24x 上存在一点 P，使其到焦点
18、 F 的距离与到 A(2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为() A. 1 4，1B. 1 4，1 C.(2，2 2)D.(2，2 2) (2)已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 C：x2(y4)21 上一个动点， 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和的最小值是_. 解析(1)如图，y24x，p2，焦点坐标为(1，0). 依题意可知当 A，P 及 P 到准线的垂足三点共线时，点 P 与 点 F、点 P 与点 A 的距离之和最小，故点 P 的纵坐标为 1.将 y1 代入抛物线方程求得 x1 4，则点 P 的坐标为 1 4，1. 故选 A. (2)由题意知，
19、圆 C：x2(y4)21 的圆心为 C(0，4)，半径为 1，抛物线的焦点 为 F(1，0).根据抛物线的定义，点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离 之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和， 因此|PQ|PF|PC| |PF|1|CF|1 171. 答案(1)A(2) 171 考点三直线与抛物线的综合问题 【例 3】 (2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求直线 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 解设直线 l 的方程为：y3 2x
20、t，A(x 1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得 F 3 4，0，故|AF|BF|x1x23 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 其中144(12t)0， 则 x1x212（t1） 9 . 从而12（t1） 9 5 2，得 t 7 8(满足0). 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3 PB可得 y13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0，其中48t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3. 所以 A
21、(3，3)，B 1 3，1， 故|AB|4 13 3 . 规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似， 一般要用到根与系数的关系. 2.有关直线与抛物线的弦长问题， 要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的 焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 【训练 3】 如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐 标原点，点 P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物
22、线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值 及直线 AB 的斜率. 解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0). 点 P(1，2)在抛物线上，222p1，解得 p2. 故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 则 kPAy12 x11(x 11)，kPBy 22 x21(x 21)， PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y214x1， y224x2，
23、y12 1 4y 2 11 y22 1 4y 2 21 ，y12(y22). y1y24. 由得，y21y224(x1x2)， kABy1y2 x1x2 4 y1y21(x 1x2). 数学抽象活用抛物线焦点弦的四个结论 1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针 对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结 论即为具体表现之一. 2.设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2p 2 4 . (2)y1y2p2. (3)|AB|x1x2p 2p sin2(是直线 AB
24、 的倾斜角). (4) 1 |AF| 1 |BF| 2 p为定值(F 是抛物线的焦点). 【例 1】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF| 2|BF|，则|AB|等于() A.4B.9 2 C.5D.6 一般解法易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1). 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20， 得 xAxB1， 因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)， 即 xA2xB1， 由解得 xA2，xB1 2， 所以|AB|AF|BF|xAxBp9 2. 应用结论法一由对称性不妨设点 A 在
25、 x 轴的上方，如图 设 A，B 在准线上的射影分别为 D，C，作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos |AE| |AB| 1 3，所以 tan 2 2.则 sin 28cos2，sin28 9.又 y 24x， 知 2p4，故利用弦长公式|AB| 2p sin2 9 2. 法二因为|AF|2|BF|， 所以 1 |AF| 1 |BF| 1 2|BF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p1， 解得|BF| 3 2， |AF|3， 故|AB|AF|BF|9 2. 答案B 【例 2】设
26、 F 为抛物线 C： y23x 的焦点， 过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为() A.3 3 4 B.9 3 8 C.63 32 D.9 4 一般解法由已知得焦点坐标为 F 3 4，0，因此直线 AB 的方程为 y 3 3 x3 4 ， 即 4x4 3y30. 与抛物线方程联立，化简得 4y212 3y90， 故|yAyB| （yAyB）24yAyB6. 因此 SOAB1 2|OF|y AyB|1 2 3 46 9 4. 应用结论由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB| 2p sin2 3 sin23012. 原点到直线 AB
27、 的距离 d|OF|sin 303 8， 故 SAOB1 2|AB|d 1 212 3 8 9 4. 答案D 【例 3】 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛 物线于点 A， B， 交其准线 l 于点 C， 若 F 是 AC 的中点， 且|AF| 4，则线段 AB 的长为() A.5B.6 C.16 3 D.20 3 一般解法如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，所以 抛物线的方程为 y24x. 设 A(x1，y1)，B(x
28、2，y2)，则|AF|x1p 2x 114，所以 x1 3，可得 y12 3，所以 A(3，2 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k 2 3 31 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y2 4x 得 3x210 x30，所以 x1x210 3 ，|AB|x1x2p16 3 .故选 C. 应用结论法一设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p 2x 114，所以 x13， 又 x1x2p 2 4 1，所以 x21 3，所以|AB|x 1x2p31 32 16 3 . 法二因为 1 |AF| 1 |BF| 2 p，|AF|4，所以|BF| 4
29、3，所以|AB|AF|BF|4 4 3 16 3 . 答案C A 级基础巩固 一、选择题 1.抛物线 y4x2的焦点到准线的距离为() A.2B.1C.1 4 D.1 8 解析由 y4x2得 x21 4y，所以 2p 1 4，p 1 8，则抛物线的焦点到准线的距离为 1 8. 答案D 2.(2019福州调研)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4， 则点 P 到该抛物 线焦点的距离是() A.4B.6C.8D.12 解析如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x2，F 是抛物 线的焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点
30、P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|426，所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6.故选 B. 答案B 3.(2020烟台调研)已知抛物线 y22px(p0)，点 C(4，0)，过抛物线的焦点作 垂直于 x 轴的直线，与抛物线交于 A，B 两点，若CAB 的面积为 24，则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是() A.y24xB.y24x C.y28xD.y28x 解析因为 ABx 轴，且 AB 过焦点 F，所以线段 AB 是焦点弦，且|AB|2p，所 以 SCAB1 22p p 2424， 解得 p4 或12(舍)， 所以抛物线方程为 y28x， 所以直线
31、AB 的方程为 x2，所以以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y2 8x，故选 D. 答案D 4.设抛物线 C：y23x 的焦点为 F，点 A 为 C 上一点，若|FA|3，则直线 FA 的 倾斜角为() A. 3 B. 4 C. 3或 2 3 D. 4或 3 4 解析如图，作 AHl 于 H，则|AH|FA|3，作 FEAH 于 E，则|AE|33 2 3 2，在 RtAEF 中，cosEAF |AE| |AF| 1 2， EAF 3，即直线 FA 的倾斜角为 3，同理点 A 在 x 轴下方 时，直线 FA 的倾斜角为2 3 . 答案C 5.已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：
32、x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A.3 5 5 B.2C.11 5 D.3 解析由题可知 l2： x1 是抛物线 y24x 的准线， 设抛物线的焦点为 F(1， 0)， 则动点 P 到 l2的距离等于|PF|， 则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值， 即焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406| 5 2. 答案B 二、填空题 6.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水位下降 1 米后，水面宽_米. 解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2 2py
33、(p0). 由题意将点 A(2， 2)代入 x22py， 得 p1， 故 x22y. 设 B(x， 3)， 代入 x22y 中， 得 x 6， 故水面宽为 26 米. 答案2 6 7.(2020昆明诊断)设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则|FA |FB|FC|的值为_. 解析依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F 1 2，0，所以 x1 x2x331 2 3 2， 则|FA |FB|FC| x11 2 x21 2 x31 2 (x1x2x3) 3 2 3 2 3 23. 答案3 8.已知双曲线 C
34、1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C 2：x22py(p0) 的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_. 解析因为双曲线 C1： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的离心率为 2， 所以 2 c a 1b 2 a2， 所以b a 3，所以渐近线方程为 3xy0，因为抛物线 C2：x22py(p0)的焦点 为 F 0，p 2 ，所以 F 到双曲线 C1的渐近线的距离为 | p 2| 312，由于 p0，所以 p 8，所以抛物线 C2的方程为 x216y. 答案x216y 三、解答题 9.设 A，B 为曲线 C：yx 2 4 上两
35、点，A 与 B 的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB 的斜率； (2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直 线 AB 的方程. 解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，y1x 2 1 4 ，y2x 2 2 4 ，x1x24. 于是直线 AB 的斜率 ky1y2 x1x2 x1x2 4 1. (2)由 yx 2 4 ，得 yx 2. 设 M(x3，y3)，由题设知x3 2 1，解得 x32，于是 M(2，1). 设直线 AB 的方程为 yxm， 故线段 AB 的中点为 N(2，2m)，|MN|m1|. 将 yxm 代入
36、 yx 2 4 得 x24x4m0. 当16(m1)0，即 m1 时，x1，222 m1. 从而|AB| 2|x1x2|4 2（m1）. 由题设知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)， 解得 m7. 所以直线 AB 的方程为 xy70. 10.已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 22的直线交抛物线于 A(x1，y1)， B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，准线为 l，且 l 过点 (2，3)，M 在抛物线 C 上，若点 N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为() A.2B.3C.4D.5 解析由题意知p 22，即 p4.过点 N 作准线 l 的垂线，垂足 为 N，
37、交抛物线于点 M，则|MN|MF|，则有|MN|MF| |MN|MT|MN|MN|NN|1(2)3. 答案B 13.(2020湖南名校大联考)已知 P 为抛物线 C：yx2上一动点，直线 l：y2x4 与 x 轴、 y 轴交于 M，N 两点，点 A(2，4)且AP AM AN ，则的最小 值为_. 解析由题意得 M(2，0)，N(0，4)，设 P(x，y)，由AP AM AN 得(x2， y4)(0，4)(2，0)， x22，y44.因此y4 4 x2 2 x 2 4 x 22 x 2 1 2 2 7 4 7 4，故 的最小值为7 4. 答案 7 4 14.(2019全国卷)已知曲线 C：yx
38、 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点，过 D 作 C 的 两条切线，切点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边 形 ADBE 的面积. (1)证明设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x212y1. 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1， 故 y11 2 x1t x1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)解由(1)得直线 AB 的方程为
39、ytx1 2. 由 ytx1 2， yx 2 2 可得 x22tx10. 于是 x1x22t，x1x21， y1y2t(x1x2)12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 （x1x2）24x1x22(t21). 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2 t21. 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|(d 1d2)(t23) t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 因为EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行， 所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1. 当 t0 时，S3；当
40、 t1 时，S4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2. C 级创新猜想 15.(多选题)如图所示，抛物线 y1 4x 2，AB 为过焦点 F 的弦， 过 A， B 分别作抛物线的切线， 两切线交于点 M， 设 A(xA， yA)， B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有() A.若 AB 的斜率为 1，则|AB|8 B.|AB|min4 C.若 AB 的斜率为 1，则 xM2 D.xAxB4 解析由题意得，焦点 F(0，1)，对于 A，lAB的方程为 yx1，与抛物线的方 程联立， 得 yx1， y1 4x 2， 消去 x，得 y26y10， 所以 yAyB
41、6，则|AB|yAyBp8，则 A 正确； 对于 B，|AB|min2p4，则 B 正确； 对于 C，当 AB 的斜率为 1 时，因为 yx 2，则 xM 2 1， xM2，则 C 正确； 设 lAB的方程为 ykx1，与抛物线的方程联立， 得 ykx1， y1 4x 2， 消去 y，得 x24kx40， 所以 xAxB4k，xAxB4，则 D 正确； 答案ABCD 16.(多填题)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(2，0)，则抛物线 C 的方程 是_；若 M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，且 M 为 FN 的中 点，则|FN|_. 解析抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(2，0)，可得 p4，则抛物线 C 的方 程是 y28x.由 M 为 FN 的中点， 得 M 的横坐标为 1， 代入抛物线方程得 y2 2， 则 M(1，2 2)，则|FN|2(12)6. 答案y28x6
