(2022高考数学一轮复习(步步高))第9节 第一课时 最值、范围、证明问题.doc

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1、第第 9 节节圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 考试要求1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2.了解圆锥 曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想. 知 识 梳 理 1.求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 ykxb,然后利用条件建立 b,k 等 量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关

2、于某个变量的目标函数, 通过求这个函数的值域 确定目标的范围,要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形 性质来解决; (2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目 标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2 1 1 k2|y 1y2|1 1 k2 (y

3、1y2)24y1y2. 常用结论与微点提醒 1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用) (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用) (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,即两条切线和 一条与对称轴平行或重合的直线; (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,即一条切线和 一条与对称轴平行或重合的直线; (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,即一条与对称 轴平行或重合的直线. 诊 断 自 测 1.判断下

4、列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是:直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点.() (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是: 直线l与双曲线C只有一个公共点.() (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是: 直线l与抛物线C只有一个公共点.() (4)如果直线 xtya 与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB| 1t2|y1y2|.() 解析(2)因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时,也只有一个公共点,是相交, 但并不相切. (3)因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,是相交, 但不相切

5、. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材选修 21P71 例 6 改编)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y24x 仅有 一个公共点,这样的直线有() A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 解析结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x0,过点(0,1) 且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0). 答案C 3.(一题多解)(老教材选修 21P69 例 4 改编)已知倾斜角为 60的直线 l 通过抛物 线 x24y 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,则弦|AB|_. 解析法一直线 l 的方程为 y 3x1, 由 y 3x1, x2

6、4y, 得 y214y10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y214, |AB|y1y2p14216. 法二如图所示, 过 F 作 AD 的垂线, 垂足为 H, 则|AF|AD| p|AF|sin 60,即|AF| p 1sin 60 2 1sin 60. 同理,|BF| 2 1sin 60, 故|AB|AF|BF|16. 答案16 4.(2019天津卷)已知抛物线 y24x 的焦点为 F,准线为 l.若 l 与双曲线x 2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B,且|AB|4|OF|(O 为原点),则双 曲线的离心率为() A. 2B. 3C

7、.2D. 5 解析由已知易得,抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),准线 l:x1,所以|OF| 1.又双曲线的两条渐近线的方程为 yb ax, 不妨设点 A 1,b a , B 1,b a , 所以|AB|2b a 4|OF|4,所以b a2,即 b2a,所以 b 24a2.又双曲线方程中 c2 a2b2,所以 c25a2,所以 ec a 5.故选 D. 答案D 5.(2020山东七校联考)已知点 P 为椭圆x 2 16 y2 121 的动点,EF 为圆 N:x 2(y 1)21 的任一直径,则PE PF的最大值和最小值分别是( ) A.16,124 3B.17,134 3 C.19,1

8、24 3D.20,134 3 解析EF 是圆 N 的直径,|NE|NF|1,且NF NE ,则PEPF(PN NE )(PNNF)(PNNE)(PNNE)PN2NE2PN21, 设 P(x0, y0), 则有x20 16 y 2 0 121,即 x 2 0164 3y 2 0,又 N(0,1),|PN |2x2 0(y01)21 3(y 03)220, 又y02 3,2 3,当 y03 时,|PN |2 取得最大值 20,则(PE PF)max 20119.当 y023时,|PN |2取得最小值 134 3,则(PE PF)min124 3. 综上,PE PF的最大值和最小值分别为 19,12

9、4 3,故选 C. 答案C 6.(2020江西五校协作体联考改编)已知点 A(0,2),抛物线 C:y22px(p0)的焦 点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若|FM| |MN| 5 5 , 则 p 的值等于_. 解析过点 M 向准线作垂线,垂足为 P,由抛物线的定义可知,|MF|MP|,因 为|FM| |MN| 5 5 ,所以|MP| |MN| 5 5 ,所以 sinMNP 5 5 ,则 tanMNP1 2,又OFA MNP90(O 为坐标原点),所以 tanOFA2 2 1 2p ,则 p2. 答案2 第一课时第一课时最值、范围、证明问题最值、范围、证

10、明问题 考点一最值问题 【例 1】 (一题多解)(2020东北三省四市教研模拟)如图,已知椭圆 C:x 2 18 y2 9 1 的短轴端点分别为 B1,B2,点 M 是椭圆 C 上的动点,且不与 B1,B2重合,点 N 满足 NB1MB1,NB2MB2. (1)(一题多解)求动点 N 的轨迹方程; (2)求四边形 MB2NB1面积的最大值. 解(1)法一设 N(x,y),M(x0,y0)(x00), MB1NB1,MB2NB2,B1(0,3),B2(0,3), 直线 NB1:y3 x0 y03x, 直线 NB2:y3 x0 y03x, 得 y29 x20 y209x 2,又x2 0 18 y2

11、0 9 1, y2918 1y 2 0 9 y209 x22x2, 整理得点 N 的轨迹方程为y 2 9 x 2 9 2 1(x0). 法二设直线 MB1:ykx3(k0), 则直线 NB1:y1 kx3, 直线 MB1与椭圆 C:x 2 18 y2 9 1 的交点 M 的坐标为 12k 2k21, 6k23 2k21 , 则直线 MB2的斜率为 kMB2 6k23 2k213 12k 2k21 1 2k, 直线 NB2:y2kx3, 由解得 N 点的坐标为 6k 2k21, 36k2 2k21 , 由 x 6k 2k21 y36k 2 2k21 ,得点 N 的轨迹方程为y 2 9 x 2 9

12、 2 1(x0). (2)由(1)中法二得,四边形 MB2NB1的面积 S1 2|B 1B2|(|xM|xN|)3 12|k| 2k21 6|k| 2k21 54|k| 2k21 54 2|k| 1 |k| 27 2 2 , 当且仅当|k| 2 2 时,S 取得最大值27 2 2 . 规律方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两 种方法:一是几何方法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中 的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式 表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求 解. 【训练 1】 (2

13、020武汉调研)已知椭圆:x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 M(2,1), 且右焦点 F( 3,0). (1)求椭圆的标准方程; (2)过 N(1,0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆于 A,B 两点,记 tMA MB ,若 t 的最大值和最小值分别为 t1,t2,求 t1t2的值. 解(1)由椭圆x 2 a2 y2 b21 的右焦点为( 3,0), 知 a2b23,即 b2a23, 则x 2 a2 y2 a231,a 23. 又椭圆过点 M(2,1), 4 a2 1 a231, 又 a23,a26. 椭圆的标准方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)设直线 AB 的方程为 yk(x

14、1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2 6 y 2 3 1 yk(x1) 得 x22k2(x1)26, 即(12k2)x24k2x2k260, 点 N(1,0)在椭圆内部,0, x1x2 4k2 12k2, x1x22k 26 2k21, 则 tMA MB (x12)(x22)(y11)(y21) x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1) (1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5, 将代入得, t(1k2)2k 26 2k21(2k 2k) 4k2 2k21k 22k5, t15k 22k1 2k21 , (152t)k22k1t0,kR, 则1224(1

15、52t)(1t)0, (2t15)(t1)10,即 2t213t160, 由题意知 t1,t2是 2t213t160 的两根,t1t213 2 . 考点二范围问题 【例 2】 (2019广东重点中学联考)已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0),F 1,F2为 其左、右焦点,B1,B2为其上、下顶点,四边形 F1B1F2B2的面积为 2. (1)求椭圆 E 的长轴 A1A2的最小值,并确定此时椭圆 E 的方程; (2)对于(1)中确定的椭圆 E,设过定点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于 P,Q 两点,若MP MQ ,当 1 3, 1 2 时,求OPQ 的面积 S 的取值范

16、围. 解(1)依题意四边形 F1B1F2B2的面积为 2bc,2bc2, |A1A2|2a2 b2c22 2bc2 2, 当且仅当 bc1 时等号成立,此时 a 2, 长轴 A1A2的最小值为 2 2, 此时椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)依题意,可设直线 l:xty2,联立得 xty2, x2 2 y21,得(t 22)y24ty20. 由0,得 t22. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 由根与系数的关系得 y1y2 4t t22, y1y2 2 t22. 由MP MQ ,得 y1y2, (1)y2 4t t22, y22 2 t22, 由 2 得1 2 8t2 t2

17、2, y1 2 在 1 3, 1 2 上单调递减, 1 2 9 2, 16 3 , 9 2 8t2 t22 16 3 ,18 7 t24,满足0. OPQ 的面积 SSOMQSOMP 1 2|OM|y 1y2|y1y2| (y1y2)24y1y22 2 t 22 t22 . 设 m t22,则 m 2 7 7 , 2 ,t2m22,S2 2m m24 2 2 m4 m , ym4 m在 m 2 7 7 , 2 上单调递减, S 关于 m 单调递增,OPQ 的面积 S 14 8 ,2 3 . 规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,

18、从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数 之间的等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而 确定参数的取值范围. 【训练 2】 (2020山东新高考联合考试)已知 A,B 是 x 轴正半轴上两点(A 在 B 的左侧),且|AB|a(a0),过 A,B 分别作 x 轴的垂线,与抛物线 y22px(p0) 在第一象限分别交于 D,C 两点. (1)若 ap,点 A 与抛物线 y

19、22px 的焦点重合,求直线 CD 的斜率; (2)若 O 为坐标原点,记OCD 的面积为 S1,梯形 ABCD 的面积为 S2,求S1 S2的取 值范围. 解(1)由题意知 A p 2,0,则 B p 2a,0,D p 2,p,则 C p 2a, p 22pa , 又 ap,所以 kCD 3pp 3p 2 p 2 31. (2)设直线 CD 的方程为 ykxb(k0),C(x1,y1),D(x2,y2), 由 ykxb y22px ,得 ky22py2pb0, 所以4p28pkb0,得 kbp 2, 又 y1y22p k ,y1y22pb k ,由 y1y22p k 0,y1y22pb k

20、0, 可知 k0,b0,因为|CD| 1k2|x1x2| a 1k2, 点 O 到直线 CD 的距离 d |b| 1k2, 所以 S11 2a 1k 2 |b| 1k2 1 2ab. 又 S21 2(y 1y2)|x1x2|1 2 2p k aap k , 所以S1 S2 kb 2p, 因为 0kbp 2,所以 0 S1 S2 1 4. 即S1 S2的取值范围为 0,1 4 . 考点三证明问题 【例 3】 (2020西安高三抽测)已知点 A(1, 3 2 )在椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0) 上,O 为坐标原点,直线 l: x a2 3y 2b2 1 的斜率与直线 OA 的斜率乘

21、积为1 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)(一题多解)不经过点 A 的直线 y 3 2 xt(t0 且 tR)与椭圆 C 交于 P,Q 两 点,P 关于原点的对称点为 R(与点 A 不重合),直线 AQ,AR 与 y 轴分别交于两 点 M,N,求证:|AM|AN|. (1) 解由题意知,kOAkl 3 2 2b2 3a2 b2 a2 1 4, 即 a24b2, 又 1 a2 3 4b21, 所以联立,解得 a2 b1, 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 R(x1,y1), 由 y 3 2 xt, x2 4 y21, 得 x2

22、 3txt210, 所以4t20,即2t2, 又 t0,所以 t(2,0)(0,2), x1x2 3t,x1x2t21. 法一要证明|AM|AN|,可转化为证明直线 AQ,AR 的斜率互为相反数, 即证明 kAQkAR0. 由题意知,kAQkAR y2 3 2 x21 y1 3 2 x11 (y2 3 2 )(x11)(y1 3 2 )(x21) (x11)(x21) ( 3 2 x2t 3 2 )(x11)( 3 2 x1t 3 2 )(x21) (x11)(x21) 3x1x2t(x1x2) 3 (x11)(x21) 3(t21)t( 3t) 3 (x11)(x21) 0, 所以|AM|A

23、N|. 法二要证明|AM|AN|,可转化为证明直线 AQ,AR 与 y 轴的交点 M,N 连线 的中点 S 的纵坐标为 3 2 ,即 AS 垂直平分 MN 即可. 直线 AQ 与 AR 的方程分别为 lAQ:y 3 2 y2 3 2 x21 (x1),lAR:y 3 2 y1 3 2 x11 (x1), 分别令 x0,得 yM y2 3 2 x21 3 2 ,yN y1 3 2 x11 3 2 , 所以 yMyN y2 3 2 x21 y1 3 2 x11 3 ( 3 2 x1t 3 2 )(x21)( 3 2 x2t 3 2 )(x11) (x11)(x21) 3 3x1x2t(x1x2)

24、3 (x11)(x21) 3 3(t 21)t( 3t) 3 (x11)(x21) 3 3, ySyMyN 2 3 2 ,即 AS 垂直平分 MN. 所以|AM|AN|. 规律方法圆锥曲线中的证明问题常见的有: (1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定 点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算 证明,但有时也会用反证法证明. 【训练 3】 (2020合肥模拟)如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T(2, 0),与 y 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的下方),且

25、 |MN|3. (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一条直线与椭圆x 2 8 y 2 4 1 相交于两点 A, B, 连接 AN, BN, 求证: ANMBNM. (1)解设圆 C 的半径为 r(r0),依题意,圆心 C 的坐标为(2,r). 因为|MN|3,所以 r2 3 2 2 2225 4 . 所以 r5 2,圆 C 的方程为(x2) 2 y5 2 2 25 4 . (2)证明把 x0 代入方程(x2)2 y5 2 2 25 4 ,解得 y1 或 y4,即点 M(0, 1),N(0,4). 当 ABx 轴时,可知ANMBNM0. 当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的

26、方程为 ykx1. 联立方程 ykx1, x2 8 y 2 4 1 消去 y 得,(12k2)x24kx60. 设直线 AB 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 x1x2 4k 12k2,x 1x2 6 12k2. 所 以 kAN kBN y14 x1 y24 x2 kx13 x1 kx23 x2 2kx1x23(x1x2) x1x2 1 x1x2 12k 12k2 12k 12k20. 所以ANMBNM. 综合知ANMBNM. A 级基础巩固 一、选择题 1.直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21(a0,b0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1 或 2D

27、.0 解析由直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21 的渐近线 y b ax 平行,故直线与双曲 线的交点个数是 1. 答案A 2.(2019浙江八校联考)抛物线 yax2与直线 ykxb(k0)交于 A,B 两点,且 这两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则() A.x3x1x2B.x1x2x1x3x2x3 C.x1x2x30D.x1x2x2x3x3x10 解析由 yax2, ykxb,消去 y 得 ax 2kxb0,可知 x1x2k a,x 1x2b a,令 kx b0 得 x3b k,所以 x 1x2x1x3x2x3. 答案B 3.若点 O

28、和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一 点,则OP FP 的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8 解析由题意得 F(1,0),设点 P(x0,y0), 则 y203 1x 2 0 4 (2x02). OP FP x0(x01)y2 0 x20 x0y20 x20 x03 1x 2 0 4 1 4(x 02)22. 因为2x02,所以当 x02 时,OP FP 取得最大值,最大值为 6. 答案C 4.(2020石家庄调研)设 F,B 分别为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点和上顶点, O 为坐标原点, C 是直线 yb ax 与

29、椭圆在第一象限内的交点, 若FO FC (BO BC ),则椭圆的离心率是( ) A.2 21 7 B.2 21 7 C.2 21 3 D. 21 解析连接 BF,联立椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)与直线 y b ax 的方程,解得 C a 2, b 2 .因此线段 OC 的中点坐标为 a 2 2, b 2 2 .FO FC (BO BC ),线段 OC 的中点在 BF上, 又直线BF的方程为x c y b1, a 2 2c b 2 2b1, 所以 c a 1 2 21 2 21 7 . 故选 A. 答案A 5.设 P 是椭圆x 2 25 y2 9 1 上一点,M,N 分别是两圆:(

30、x4)2y21 和(x4)2 y21 上的点,则|PM|PN|的最小值、最大值分别为() A.9,12B.8,11 C.8,12D.10,12 解析如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的 两个焦点,由椭圆定义知|PA|PB|2a10,连接 PA,PB 分别与圆相交于两点,此时|PM|PN|最小,最小值为|PA| |PB|2R8;连接 PA,PB 并延长,分别与圆相交于两点,此时|PM|PN|最 大,最大值为|PA|PB|2R12,即最小值和最大值分别为 8,12. 答案C 二、填空题 6.(2019岳阳二模)已知抛物线 yax2(a0)的准线为 l,l 与双曲线x 2 4 y21 的两

31、 条渐近线分别交于 A,B 两点,若|AB|4,则 a_. 解析抛物线 yax2(a0)的准线 l:y 1 4a,双曲线 x2 4 y21 的两条渐近线分 别为 y1 2x,y 1 2x,可得 x A 1 2a,x B 1 2a,可得|AB| 1 2a 1 2a 4,解得 a1 4. 答案 1 4 7.抛物线 C:y22px(p0)的准线与 x 轴的交点为 M,过点 M 作 C 的两条切线, 切点分别为 P,Q,则PMQ_. 解析由题意得 M p 2,0,设过点 M 的切线方程为 xmyp 2,代入 y 22px 得 y22pmyp20,4p2m24p20,m1,则切线斜率 k1, MQMP,

32、因此PMQ 2. 答案 2 8.(2020烟台模拟)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右顶点且斜率为 2 的直线,与 该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为_. 解析由过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右顶点且斜率为 2 的直线,与该双曲线 的右支交于两点,可得b a2. ec a a2b2 a2 1,1eb0)的离心率为 3 2 ,F1,F2是椭圆的两个焦点,M 是 椭圆上任意一点,且MF1F2的周长是 42 3. (1)求椭圆 C1的方程; (2)设椭圆 C1的左、右顶点分别为 A,B,过椭圆 C1上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点

33、E,若点 C 满足AB BC,AD OC ,连接 AC 交 DE 于点 P,求证:|PD| |PE|. (1)解由 e 3 2 ,知c a 3 2 ,所以 c 3 2 a, 因为MF1F2的周长是 42 3, 所以 2a2c42 3,所以 a2,c 3, 所以 b2a2c21, 所以椭圆 C1的方程为:x 2 4 y21. (2)证明由(1)得 A(2,0),B(2,0), 设 D(x0,y0),所以 E(x0,0), 因为AB BC,所以可设 C(2,y1), 所以AD (x02,y0),OC (2,y1), 由AD OC 可得:(x02)y12y0,即 y1 2y0 x02. 所以直线 A

34、C 的方程为: y0 2y0 x020 x2 2(2). 整理得:y y0 2(x02)(x2). 又点 P 在 DE 上,将 xx0代入直线 AC 的方程可得:yy0 2 ,即点 P 的坐标为 x0,y0 2 ,所以 P 为 DE 的中点,|PD|PE|. 10.如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2 4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 4 1(x0)上的动点,求PAB 面积的取 值范围. (1)证明设 P(x0,y0),A 1 4

35、y 2 1,y1 ,B 1 4y 2 2,y2 . 因为 PA,PB 的中点在抛物线上,所以 y1,y2为方程 yy0 2 2 4 1 4y 2x0 2 , 即 y22y0y8x0y200 的两个不同的实根. 所以 y1y22y0,因此,PM 垂直于 y 轴. (2)解由(1)可知 y1y22y0, y1y28x0y20, 所以|PM|1 8(y 2 1y22)x03 4y 2 03x0, |y1y2|2 2(y204x0). 因此,PAB 的面积 SPAB1 2|PM|y 1y2| 3 2 4 (y204x0)3 2. 因为 x20y 2 0 4 1(x00), 所以 y204x04x204

36、x044,5, 因此,PAB 面积的取值范围是 6 2,15 10 4. B 级能力提升 11.(2020湖北八校联考)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 交 抛物线于 A, B 两点(点 A 在第一象限), 若直线 l 的倾斜角为2 3 , 则|AF| |BF|等于( ) A.1 3 B.2 5 C.1 2 D.2 3 解析由题意得 F p 2,0,直线 l 的斜率 ktan2 3 3,直线 l 的方程为 y 3 xp 2 ,即 x 3 3 yp 2,代入抛物线方程得 y 22 3 3 pyp20,解得 y 3 3 p 或 y 3p,设 A(x1,y1),B(x2

37、,y2),由点 A 在第一象限可知 y1 3 3 p, 则 y2 3p,|AF| |BF| |y1| |y2| 1 3,故选 A. 答案A 12.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1, 则椭圆长轴长 的最小值为_. 解析设 a,b,c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距, 依题意知,当三角形的高为 b 时面积最大, 所以1 22cb1,bc1, 而 2a2 b2c22 2bc2 2(当且仅当 bc1 时取等号),即长轴长 2a 的最 小值为 2 2. 答案2 2 13.(多填题)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F 1,F2,若 B 为

38、 短轴的一个端点,且F1BF290,则椭圆 C 的离心率为_;若椭圆 C 上存在点 P,使得 PF1PF2,则椭圆 C 的离心率的取值范围为_. 解析由题知 bc,所以 a2b2c22c2,所以 a 2c,所以 ec a c 2c 2 2 . 由题知 F1(c,0),F2(c,0),c2a2b2,设点 P(x,y),由 PF1PF2,得(xc, y)(xc,y)0,化简得 x2y2c2,联立方程组 x2y2c2, x2 a2 y2 b21, 整理得 x2(2c2 a2)a 2 c20,解得 e 2 2 ,又 0e1,所以 2 2 e1. 答案 2 2 2 2 ,1 14.(2020重庆诊断)椭

39、圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别是 F 1,F2,离 心率为 3 2 ,过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:ykxm 是以坐标原点 O 为圆心,2 5 5 为半径的圆的切线,且与椭 圆 C 交于不同的两点 A,B,求AOB 面积的最大值. 解(1)将 xc 代入椭圆方程x 2 a2 y2 b21,结合 c 2a2b2,得 yb2 a , 由题意知2b 2 a 1,又 ec a 3 2 , a2,b1.椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线

40、 l:ykxm 是以坐标原点 O 为圆心,2 5 5 为半径的圆的切线, |m| 1k2 2 5 5 ,即 m24 5(1k 2), 联立 ykxm, x2 4 y21,消 y 得(14k 2)x28kmx4m240, 16(14k2m2)0,x1x28km 14k2,x 1x24m 24 14k2 , |AB| 1k2|x1x2| 1k24 14k 2m2 14k2 4 1k2 116k2 5 14k2 4 5 5 (1k2)(116k2) (14k2)2 4 5 5 1 9k2 16k48k21 4 5 5 1 9 16k21 k28 , 16k2 1 k22 16k2 1 k28,当且仅

41、当 k 21 4时等号成立, |AB|max 5,SOAB的最大值为1 2 2 5 5 51. C 级创新猜想 15.(多选题)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0, b0)的一条渐近线的方程为 2x3y0, 且抛物线 y24 13x 的准线过双曲线的左焦点,A,B 分别是双曲线的左右顶点, 点 P 为双曲线的右支上位于第一象限内的动点,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, 则 k1k2的取值可以为下列选项中的() A.2 3 B.4 3 C.5 3 D.2 解析渐近线的方程为 2x3y0,可设双曲线的方程为x 2 9 y2 41,抛物线 y 2 4 13x 的准线的方程为 x 13,

42、 可知 c29413, 所以 1313, 1, 双曲线的方程为x 2 9 y 2 4 1,左、右顶点分别为 A(3,0)、B(3,0),设点 P(x, y)(x3,y0),可知 k1 y x3,k 2 y x3,k 1k2 y2 x29 4 9,k 10,k20,k1k2, k1k22 k1k24 3,故 k 1k2的取值范围为 4 3,.故选 CD. 答案CD 16.(多填题)(2020郑州模拟)已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C:y22px(p0) 于 M,N 两点,O 为坐标原点,F 为抛物线 C 的焦点,且|OM ON |OM ON |, 则直线 l 过定点_,若MNF 面积的最小

43、值为 27,则 p 的值为_. 解析设动直线 MN 的方程为 xmyt,M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知 y10, y20,t0,直线 MN 的方程与抛物线 C 的方程 y22px(p0)联立,消去 x,得 y22pmy2pt0,由0 得 pm22t0,y1y22pm,y1y22pt.由|OM ON |OM ON |, 得OM ON 0, 所以 x1x2y1y20, 即y 2 1 2p y22 2py 1y20, 可得 y1y2 4p2,所以 t2p,故直线 MN 恒过定点 Q(2p,0),将 t2p 代入得 mR, 又知|QF|2p p 2 3p 2 ,故 SMNF 1 2 |QF|y1y2| 1 2 3p 2 4p2m216p2 3p2 2 m243p2,当且仅当 m0 时,等号成立,由题意得 3p227,解得 p3. 答案(2p,0)3

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