1、8.3圆的方程圆的方程 考试要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一 般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 1圆的定义和圆的方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方 程 标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 C(a，b) 半径为 r 一般 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心 C D 2 ，E 2 半径 r1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外；
2、(2)|MC|rM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上； (3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)20. 2写出圆 x2y2DxEyF0 和两坐标轴都相切的条件 提示 D2E24F0， D2E24F. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径() (2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2) 0.() (3)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.() (4)方程(xa)2(yb)2t2
3、(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的圆() 题组二教材改编 2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是() A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22 答案D 解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径 r 1212 2，则该圆的方程为(x1)2 (y1)22. 3圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是() A(2,3)，3B(2,3)， 3 C(2，3)，13D(2，3)， 13 答案D 解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13. 4(2021石家庄模拟)圆心在直线 x2y7
4、0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(2,0)，B(4,0)， 则圆 C 的方程为_ 答案(x3)2(y2)25 解析因为直线 AB 的中垂线方程为 x3，代入直线 x2y70，得 y2， 故圆心的坐标为 C(3,2)，再由两点间的距离公式求得半径 r|AC| 5， 所以圆 C 的方程为(x3)2(y2)25. 题组三易错自纠 5方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是() Aa2B2 3a0 C2a0D2a0， 即 3a24a40， 2a0)， 则由题意得 1EF0， 42DF0， 1EF0， 解得 D3 2， E0， F1. 所以圆 E 的一般方程为 x2y23
5、 2x10， 即 x3 4 2y225 16. 方法二(几何法) 因为圆 E 经过点 A(0,1)，B(2,0)，所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y1 22(x1)上 由题意知圆 E 的圆心又在 x 轴上， 所以圆 E 的圆心坐标为 3 4，0. 则圆 E 的半径为|EB| 23 4 20025 4， 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2y225 16. 2(2021潍坊调研)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为() Ax2(y1)24Bx2(y1)22 Cx2(y1)28Dx2(y1)216 答案
6、B 解析由直线 xby2b10 可得该直线过定点 A(1,2)，设圆心为 B(0,1)，由题意可知 要使所求圆的半径最大，则 rmax|AB| 102212 2，所以半径最大的圆的标准 方程为 x2(y1)22.故选 B. 3(2020苏州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过直线 l：x 3y2 30 与圆 C：x2y24 的两个交点，当圆 M 的面积最小时，圆 M 的标准方程为_ 答案 x 3 2 2 y3 2 21 解析由 l：x 3y2 30 与 C：x2y24 联立得( 3y2 3)2y24， 得 y1 或 y2，则两交点坐标为 A( 3，1)，B(0,2)， 当圆 M
7、 的面积最小时，圆 M 以 AB 为直径， 则圆心 3 2 ，3 2 ，半径为|AB| 2 1， 圆 M 的标准方程为 x 3 2 2 y3 2 21. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 题型二 与圆有关的最值问题 例 1 (1)(2020保定质检)已知 A(0,2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C：x2y24x 2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_ 答案2
8、 5 解析因为圆 C：x2y24x2y0， 故圆 C 是以 C(2,1)为圆心，半径 r 5的圆 设点 A(0,2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)， 故 m0 2 n2 2 20， n2 m01， 解得 m4， n2， 故 A(4，2) 连接 AC 交圆 C 于 Q，由对称性可知 |PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5. (2)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求y x的最大值和最小值 解原方程可化为(x2)2y23， 表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆 y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时
9、，斜率 k 取最大值和最小值， 此时|2k0| k21 3，解得 k 3. 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. 本例(2)中，求 x2y2的最大值和最小值 解x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆 的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2020022， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3， x2y2的最小值是(2 3)274 3. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值
10、的常见类型及解法 形如 uyb xa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 1 已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求y3 x2的最大值和最小值 解(1)由圆 C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 2. 又|QC| 2227324 2， |MQ|max4 22 26 2， |MQ|min4 22 22 2
11、. (2)可知y3 x2表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30. 直线 MQ 与圆 C 有交点， |2k72k3| 1k2 2 2， 可得 2 3k2 3， y3 x2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 题型三 与圆有关的轨迹方程 例 2 已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解(1)方法一设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kACkBC1， 又 kAC
12、y x1，k BC y x3，所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 方法二设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|1 2|AB| 2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共 线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx03 2 ， yy00 2 ， 所以 x0
13、2x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程 (3)几何法：利用圆的几何性质列方程 (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 跟踪训练 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6)，端点 A 在圆 C：x2y24x0 上运动，求 线段 AB
14、的中点 P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么 解设点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x0，y0)， 由于点 B 的坐标为(8,6)，且 P 为线段 AB 的中点， xx08 2 ，yy06 2 ，于是有 x02x8，y02y6. 点 A 在圆 C 上运动， 点 A 的坐标满足方程 x2y24x0， 即 x20y204x00， (2x8)2(2y6)24(2x8)0， 化简整理，得 x2y26x6y170， 即(x3)2(y3)21. 故点 P 的轨迹是以(3,3)为圆心，1 为半径的圆 课时精练课时精练 1圆 x2y24x6y30 的圆心和半径分别为() A(4，6)，16B(2，
15、3)，4 C(2,3)，4D(2，3)，16 答案C 解析方法一易知 D4，E6，F3，则D 2 2，E 23， 1 2 D2E24F4， 故圆心坐标为(2,3)，半径为 4. 方法二将圆的一般方程化为标准方程得(x2)2(y3)216，则圆心坐标为(2,3)，半径 为 4. 2圆心在 x 轴上，半径为 1，且过点(2,1)的圆的方程是() A(x2)2y21B(x2)2y21 C(x2)2(y3)21Dx2(y2)21 答案A 解析设圆的圆心为(a,0)，则 a220121，解得 a2，所以圆的标准方程是(x2)2 y21.故选 A. 3若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分别在 x
16、 轴和 y 轴上，则此圆的方程是 () A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213 C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252 答案A 解析直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，6)，可得直径长为 2 13，则半径长为 13，所 以所求圆的方程是(x2)2(y3)213. 4已知圆 C1：(x1)2(y1)24，圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方 程为() A(x2)2(y2)24B(x2)2(y2)24 C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24 答案B 解析根据题意，设圆 C2的圆心为(a，b)， 圆 C1：(x1)2(y1)24，其圆心
17、为(1,1)，半径为 2， 若圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C1与 C2的圆心关于直线 xy10 对称， 且圆 C2的半径为 2，则有 b1 a11， a1 2 b1 2 10， 解得 a2， b2， 则圆 C2的方程为(x2)2(y2)24. 5 (多选)已知直线 l 与圆 C： x2y22x4ya0 相交于 A， B 两点， 弦 AB 的中点为 M(0，1)， 则实数 a 的取值可以为() A1B2C3D4 答案AB 解析圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)25a，故 a5. 又因为弦 AB 的中点为 M(0，1)， 故 M 点在圆内，所以(01)2(12)25a，
18、即 a3.综上 a3. 故选 AB. 6(多选)设有一组圆 Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是() A不论 k 如何变化，圆心 C 始终在一条直线上 B所有圆 Ck均不经过点(3,0) C经过点(2,2)的圆 Ck有且只有一个 D所有圆的面积均为 4 答案ABD 解析圆心坐标为(k，k)，在直线 yx 上，A 正确； 令(3k)2(0k)24，化简得 2k26k50， 364040，有两个不相等实根， 经过点(2,2)的圆 Ck有两个，C 错误； 由圆的半径为 2，得圆的面积为 4，D 正确 7已知圆 C：(x2)2(ym4)21，当 m 变化时，圆 C 上的点与原点 O
19、的最短距离是 _ 答案1 解析圆 C：(x2)2(ym4)21 表示圆心为 C(2，m4)，半径 r1 的圆， 则|OC| 22m42，所以当 m4 时，|OC|的最小值为 2，故当 m 变化时，圆 C 上的点 与原点的最短距离是|OC|r211. 8若圆(x1)2(y3)29 上相异两点 P，Q 关于直线 kx2y40 对称，则 k 的值为 _ 答案2 解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(1,3)，由题设知， 直线 kx2y40 过圆心，则 k(1)2340，解得 k2. 9已知 P，Q 分别为圆 M：(x6)2(y3)24 与圆 N：(x4)2(y2)21 上的
20、动点，A 为 x 轴上的动点，则|AP|AQ|的最小值为_ 答案5 53 解析圆 N：(x4)2(y2)21，关于 x 轴对称的圆为圆 N：(x4)2(y2)21， 则|AP|AQ|的最小值为|MN|12 1025235 53. 10如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为 2的点，则实数 a 的取值范围是 _ 答案3，11,3 解析圆(xa)2(ya)28 的圆心(a，a)到原点的距离为| 2a|，半径 r2 2，由圆(xa)2 (ya)28 上总存在点到原点的距离为 2，得 2 2 2| 2a|2 2 2，1|a|3， 解得 1a3 或3a1. 实数 a 的取值范围是3，11,
21、3 11已知圆心为 C 的圆经过点 A(1，1)和 B(2，2)，且圆心在直线 L：xy10 上 (1)求圆心为 C 的圆的标准方程； (2)设点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 xy50 上，求|PQ|的最小值 解(1)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 圆经过点 A(1，1)和 B(2，2)， 且圆心在直线 L：xy10 上， 1a2(1b)2r2， 2a2(2b)2r2， ab10， 解得 a3，b2，r5， 圆的标准方程为(x3)2(y2)225. (2)圆心 C 到直线 xy50 的距离为 d|325| 2 5 25， 直线与圆 C 相离， |PQ|的最小值为 dr
22、5 25. 12已知点 A(3,0)，B(3,0)，动点 P 满足|PA|2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程； (2)若点 Q 在直线 l1： xy30 上， 直线 l2经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M， 求|QM| 的最小值 解(1)设点 P 的坐标为(x，y)， 则 x32y22 x32y2， 化简可得(x5)2y216，此方程即为所求 (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心，4 为半径的圆，如图所示 由题意知直线 l2是此圆的切线， 连接 CQ， 则|QM| |CQ|2|CM|2 |CQ|216， 当|QM|最小时，|CQ|最小， 此时 CQl1，
23、 |CQ|53| 2 4 2， 则|QM|的最小值为 32164. 13 直线 xy20 分别与 x 轴、 y 轴交于 A， B 两点， 点 P 在圆(x2)2y22 上， 则ABP 面积的取值范围是() A2,6B4,8 C 2，3 2D2 2，3 2 答案A 解析设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 xy20 的距离为 d，则圆 心 C(2,0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为 2 2，可得 dmax2 2r3 2， dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以ABP 面积的最大值为1 2|AB|d max6， ABP 面积的最小值为
24、1 2|AB|d min2.综上，ABP 面积的取值范围是2,6故选 A. 14圆 x2y24x12y10 关于直线 axby60(a0，b0)对称，则2 a 6 b的最小值是 () A2 3B.20 3 C.32 3 D.16 3 答案C 解析由圆 x2y24x12y10 知，其标准方程为(x2)2(y6)239，圆 x2y24x 12y10 关于直线 axby60(a0，b0)对称，该直线经过圆心(2,6)，即2a 6b60， a3b3(a0，b0)， 2 a 6 b 2 3(a3b) 1 a 3 b 2 3 13a b 3b a 9 2 3 102 3a b 3b a 32 3 ， 当且
25、仅当3b a 3a b ，即 ab 时取等号，故选 C. 15(2020泰安模拟)已知直线 l：3x4ym0，圆 C：x2y24x20，则圆 C 的半径 r _；若在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得APB90，则实 数 m 的取值范围是_ 答案2 16，4 解析圆的标准方程为(x2)2y22，圆心为 C(2,0)，半径为 r 2， 若在圆 C 上存在两点 A，B，在直线 l 上存在一点 P，使得APB90，过 P 作圆的两条切 线 PM，PN(M，N 为切点)，则由题意得，MPN90，而当 CPl 时，MPN 最大，只要 此最大角90即可，此时圆心 C 到直线 l
26、的距离为 d|CP|6m| 5 .所以r d 2 |6m| 5 2 2 ，解 得16m4. 16已知点 P(2,2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则CM (x，y4)，MP (2x,2y) 由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0， 即(x1)2(y3)22. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为1 3， 故 l 的方程为 x3y80. 又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 10 5 ， 所以|PM|4 10 5 ，SPOM1 2 4 10 5 4 10 5 16 5 ， 故POM 的面积为16 5 .
