1、4.3简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 考试要求1.经历推导两角差余弦公式的过程， 知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的 余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了 解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角 公式，这三组公式不要求记忆) 第第 1 课时课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式 C()：cos()cos cos sin sin ； (2)公式 C()：cos()cos cos sin sin ； (3)公式 S()
2、：sin()sin cos cos sin ； (4)公式 S()：sin()sin cos cos sin ； (5)公式 T()：tan() tan tan 1tan tan ； (6)公式 T()：tan() tan tan 1tan tan . 微思考 1诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示诱导公式可以看成和差公式中k 2(kZ)时的特殊情形 2两角和与差的公式的常用变形有哪些？ 提示(1)sin sin cos()cos cos . (2)cos sin sin()sin cos . (3)tan tan tan()(1tan tan ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是
3、否正确(请在括号中打“”或“”) (1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立() (2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定() (3)公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意 角，都成立() (4) 3sin cos 2sin 3 .() 题组二教材改编 2若 cos 4 5，是第三象限角，则 sin 4 等于() A 2 10 B. 2 10 C7 2 10 D.7 2 10 答案C 解析是第三象限角，sin 1cos23 5， sin 4 sin cos
4、4cos sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 3cos 17cos 77cos 73cos 13. 答案 1 2 解析cos 17cos 77cos 73cos 13cos 17sin 13sin 17cos 13sin(1713)sin 30 1 2. 4tan 10tan 50 3tan 10tan 50. 答案3 解析tan 60tan(1050) tan 10tan 50 1tan 10tan 50， tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50) 3 3tan 10tan 50， 原式 3 3tan 10tan 50 3tan 10tan
5、 50 3. 题组三易错自纠 5计算：1tan 15 1tan 15 . 答案3 解析 1tan 15 1tan 15 tan 45tan 15 1tan 45tan 15tan (4515)tan 60 3. 6(多选)下面各式中，正确的是() Asin 4 3 sin 4cos 3 3 2 cos 4 Bcos 5 12 2 2 sin 3cos 4cos 3 Ccos 12 cos 4cos 3 6 4 Dcos 12cos 3cos 4 答案ABC 解析sin 4 3 sin 4cos 3cos 4sin 3 sin 4cos 3 3 2 cos 4，A 正确； cos 5 12cos
6、 7 12cos 3 4 2 2 sin 3cos 4cos 3，B 正确； cos 12 cos 4 3 cos 4cos 3 6 4 ，C 正确； cos 12cos 3 4 cos 3cos 4，D 不正确故选 ABC. 题型一 两角和与差的三角函数公式 例 1 (1)(2020全国)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 等于() A.1 2 B. 3 3 C.2 3 D. 2 2 答案B 解析因为 sin sin 3 sin 6 6 sin 6 6 sin 6 cos 6cos 6 sin 6sin 6 cos 6cos 6 sin 6 2sin 6 cos 6 3sin 6
7、1. 所以 sin 6 3 3 . (2)已知 sin 3 5， 2，tan()1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 C.11 2 D11 2 答案A 解析 2，cos 4 5，tan 3 4， 又 tan()1 2，tan 1 2， tan() tan tan 1tan tan 3 4 1 2 1 1 2 3 4 2 11. 思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用，的三角函数表示 的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完 成统一角和角与角转换的目的 跟踪训练 1 (1)若 sin(2)1 6，sin(2)
8、 1 2，则 sin 2cos 等于( ) A.2 3 B.1 3 C.1 6 D. 1 12 答案B 解析由 sin(2)1 6，sin(2) 1 2， 可得 sin 2cos cos 2sin 1 6， sin 2cos cos 2sin 1 2， 由得 2sin 2cos 2 3， 所以 sin 2cos 1 3.故选 B. (2)已知 cos 6 3cos ，tan 3 3 ，则 tan(). 答案 3 3 解析因为 cos 6 3 2 cos 1 2sin 3cos ，所以sin 3cos ，故 tan 3， 所以 tan() tan tan 1tan tan 3 3 3 1 3 3
9、 3 2 3 3 2 3 3 . 题型二 两角和与差的三角函数公式 的逆用与变形 例 2 (1)若3 4 ，则(1tan )(1tan ). 答案2 解析tan 3 4 tan() tan tan 1tan tan 1，所以 1tan tan tan tan ，所以 1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2. (2)(2018全国)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin(). 答案1 2 解析sin cos 1， cos sin 0， 22得 12(sin cos cos sin )11， sin cos cos sin 1 2， sin()1
10、2. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及 变形公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力 跟踪训练 2 (1)已知 2， 2 ，tan sin 76cos 46cos 76sin 46，则 sin 等于() A. 5 5 B 5 5 C.2 5 5 D2 5 5 答案A 解析由 tan sin 76cos 46cos 76sin 46sin(7646)sin 301 2， 2， 2 ， 0， 2 ， 联立 sin cos 1 2， sin2cos21， 解得 sin 5 5 . (2)(1tan 20)(1tan 21)
11、(1tan 24)(1tan 25). 答案4 解析(1tan 20)(1tan 25)1tan 20tan 25tan 20tan 251tan(2025)(1 tan 20tan 25)tan 20tan 252，同理可得(1tan 21)(1tan 24)2，所以原式4. 题型三 角的变换问题 例 3 (1)已知 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则等于() A.5 12 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析因为 sin 2 5 5 ， sin() 10 10 ， 且， 均为锐角， 所以 cos 5 5 ， cos()3 10 10 ， 所以 sin sin
12、()sin cos()cos sin()2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 25 2 50 2 2 ，所以 4.故选 C. (2)(2020黑龙江大庆实验中学训练)已知， 3 4 ， ，sin()3 5，sin 4 24 25，则 cos 4 . 答案4 5 解析由题意知， 3 2 ，2 ，sin()3 50，所以 cos() 4 5， 因为 4 2， 3 4 ， 所以 cos 4 7 25， cos 4 cos 4 cos()cos 4 sin()sin 4 4 5. 思维升华 常见的角变换：2()()， 2 2 ， 3 2 6，( )()， 4 4 2等 跟踪训练 3 (1)已
13、知 3，0，cos 6 sin 4 3 5 ，则 sin 12 的值是() A2 3 5 B 2 10 C.2 3 5 D4 5 答案B 解析由 cos 6 sin 4 3 5 ， 得 cos cos 6sin sin 6sin 4 3 5 ， 即 3 2 cos 3 2sin 4 3 5 ，所以 1 2cos 3 2 sin 4 5，即 cos 3 4 5.因为 3，0， 所以 3 0， 3 ， 所以 sin 3 1cos2 3 3 5， 所以 sin 12 sin 3 4 2 2 sin 3 2 2 cos 3 2 2 3 5 4 5 2 10.故选 B. (2)已知 2 3 4 ，cos
14、()12 13，sin() 3 5，则 sin 2等于( ) A.56 65 B56 65 C.16 65 D16 65 答案B 解析因为 2 3 4 ，所以 0 4，sin Asin B，则ABC 的形状是() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等边三角形 答案C 解析依题意可知 cos Acos Bsin Asin Bcos(AB)0，所以cos C0，所以 cos C0，所 以 C 为钝角故选 C. 3已知， 2， 2 ，tan ，tan 是方程 x212x100 的两根，则 tan()等于() A.4 3 B2 或1 2 C.1 2 D2 答案A 解析因为， 2， 2 ，tan
15、，tan 是方程 x212x100 的两根，所以 tan tan 12，tan tan 10，所以 tan() tan tan 1tan tan 12 110 4 3.故选 A. 4已知 sin 4 3 5， 2， 5 4 ，则 sin 等于() A.7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 2 10或 7 2 10 答案B 解析因为 2， 5 4 ，所以 4 4， 又 sin 4 3 5 1 2， 2 2 ， 所以 4 3 4 ，5 6 ， 所以 cos 4 4 5， 所以 sin sin 4 4sin 4 cos 4cos 4 sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 2 10. 5
16、(多选)下列四个选项中，化简正确的是() Acos(15) 6 2 4 Bcos 15cos 105sin 15sin 105cos(15105)0 Ccos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60) cos 601 2 Dsin 14cos 16sin 76cos 741 2 答案BCD 解析对于 A方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 ，A 错误 方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1
17、2 6 2 4 . 对于 B，原式cos(15105)cos(90)cos 900，B 正确 对于 C，原式cos(35)(25)cos(60)cos 601 2，C 正确 对于 D，原式cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 601 2，D 正确 6(多选)已知函数 f(x)sin 4x 3cos 4x sin 2x 3cos 2x，则下列说法正确的是( ) Af(x)的最小正周期为 Bf(x)的最大值为 2 Cf(x)的值域为(2,2) Df(x)的图象关于 12，0对称 答案ACD 解析f(x) 2sin 4x 3 2cos 2x 6 2sin 2x 6
18、 ， 其中 cos 2x 6 0， |sin 2x 6 |1， f(x)的值域为(2,2)；由 T2 2 ，得 f(x)的最小正周期为；令 2x 6k(kZ)，解得 x k 2 12(kZ)，即 f(x)的图象关于 12，0对称 7(2020浙江改编)已知 tan 2，则 tan 4 . 答案 1 3 解析tan 2， tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 21 12 1 3. 8化简：sin()cos()cos()sin(). 答案sin() 解析sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin() sin()()sin()
19、 9已知 3cos 3sin 2 3cos()，其中，则. 答案 6 解析3cos 3sin 2 3 3 2 cos 1 2sin ， 2 3 cos cos 6sin sin 6 2 3cos 6 ， 又3cos 3sin 2 3cos()且， 6. 10已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则. 答案 4 解析因为，均为锐角，所以 2 2. 又 sin() 10 10 ，所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10
20、2 2 . 所以 4. 11已知 A，B 均为钝角，且 sin A 5 5 ，sin B 10 10 ，求 AB 的值 解因为 A，B 均为钝角，且 sin A 5 5 ，sin B 10 10 ， 所以 cos A 1sin2A2 5 5 ， cos B 1sin2B3 10 10 ， 所以 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 .又因为 2A， 2B，所以AB2，所以 AB 7 4 . 12已知，均为锐角，且 sin 3 5，tan() 1 3. (1)求 sin()的值； (2)求 cos 的值 解(1)， 0， 2
21、 ， 2 2. 又tan()1 30， 20. sin() 10 10 . (2)由(1)可得，cos()3 10 10 . 为锐角，且 sin 3 5，cos 4 5. cos cos () cos cos()sin sin() 4 5 3 10 10 3 5 10 10 9 10 50 . 13若 cos2cos2a，则 sin()sin()等于() Aa 2 B.a 2 CaDa 答案C 解析sin()sin()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin2cos2 cos2sin2(1cos2)cos2cos2(1cos2)cos2cos2a. 14若，为锐角，且 sin 5 5 ，sin 10 10 ，则 sin()，. 答案 2 2 4 解析，为锐角，sin 5 5 ，sin 10 10 ， cos 2 5 5 ，cos 3 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又 0 2 2 ， 所以 4， 2 ，所以 2 2， 又 2， 所以 2 2， 2 ， 所以 2 4.
