1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节二次函数 知 识 梳 理 1二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：yax2bxc(a0) (2)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为 (h，k) (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中 a0，x1，x2是二次函数的图象与 x 轴的两个 交点的横坐标) 2二次函数 yax2bxc 的图象和性质 a0a0)，则二次函数 f(x)在闭区 间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况： 对称轴 与区间
2、 的关系 mn b 2a， 即 b 2a(n，) m b 2an， 即 b 2a(m，n) b 2amn， 即 b 2a(， m) 图象 最值 f(x)maxf(m)， f(x)minf(n) f(x)max maxf(n)，f(m)， f(x)minf b 2a f(x)maxf(n) f(x)minf(m) 4.一元二次方程根的分布 设方程 ax2bxc0(a0)的不等两根为 x1，x2且 x1x2，相应的二次函数为 f(x) ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况 见下面各表(每种情况对应的均是等价条件) 表一：(两根与 k 的大小比较) 分布 情
3、况 两根都小于 k 即 x1k，x2k，x2k 一个根小于 k，一 个根大于 k，即 x1k0) 综合结 论(不讨 论 a) 0)( 2 0 kfa k a b 0)( 2 0 kfa k a b af（k）0 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 表二： （根在区间上的分布） 分布
4、情况 两根都在（m，n） 内 两根都在区间（m， n） 外 （x1n） 一根在 （m， n） 内， 另一根在（p，q） 内，mnp0） 综合结 论（不讨 论 a） 若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论： 当0 时，由0 可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相 应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去； 当 f（m）0 或 f（n）0，方程有一根为 m 或 n，可以求出另外一根，从而检 验另一根是否在区间（m，n）内； 当 f（m）f（n）0（0 对任意实数 x 恒成立 ab0， c0 或 a0， 0. （2）不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a
5、b0， c0 或 a0， 0. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. （1）如果二次函数 f（x）的图象开口向上且关于直线 x1 对称，且过点（0，0） ， 则此二次函数的解析式为 f（x）（x1）21.（） （2） 已知函数 f （x） ax2x5 的图象在 x 轴上方， 则 a 的取值范围是 1 20，. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （） （3）二次函数 yax2bxc（xR）不可能是偶函数.（） （4）二次函数 yax2bxc（xa，b）
6、的最值一定是4acb 2 4a .（） 答案（1）（2）（3）（4） 2.已知 f（x）x2pxq 满足 f（1）f（2）0，则 f（1）的值是（） A.5B.5C.6D.6 答案C 解析由 f（1）f（2）0 知方程 x2pxq0 的两根分别为 1，2，则 p3， q2，f（x）x23x2， f（1）6. 3.若方程 x2（m2）xm50 只有负根，则 m 的取值范围是（） A.4，）B.（5，4 C.5，4D.（5，2） 答案A 解析由题意得 （m2）24（m5）0， x1x2（m2）0， 解得 m4. 4.已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值
7、范围为（） A.0，1B.1，2C.（1，2D.（1，2） 答案B 解析画出函数 yx22x3 的图象（如图） ，由题意知 1m2. 5.已知方程 x2（m2）x2m10 的较小的实根在 0 和 1 之间，则实数 m 的 取值范围是. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 1 2， 2 3 解析令 f（x）x2（m2）x2m1. 由题意得 f（0）0， f（1）0， 1（m2）2m10， 解得1 2m0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群
8、 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 其图象如图所示， f（|x|）在6，6上的单增区间为1，0和1，6，单减区间为6，1）和 （0，1）. 感悟升华解决二次函数图象与性质问题时要注意： （1）抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者 有两定一不定，要注意分类讨论； （2）要注意数形结合思想的应用. 【训练 2】 （1）如图是二次函数 yax2bxc（a0）图象的一部分，图象过 点 A（3，0） ，对称轴为 x1.给出下面四个结论： b24ac；2ab1；abc0；5a0，即
9、b24ac，正确. 对称轴为 x1，即 b 2a1，2ab0，错误. 结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误. 由对称轴为 x1 知，b2a. 根据抛物线开口向下，知 a0，所以 5a2a， 即 5a0 时，函数 f（x）在区间1，2上是增函数，最大值为 f（2）8a1 4，解得 a3 8； 当 a0 时，函数 f（x）在区间1，2上是减函数，最大值为 f（1）1a 4，解得 a3. 综上可知，a 的值为3 8或3. （2）f（x）（xa）21a2， f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 xa， 当a 1 2时，f（x） maxf（2）4a5； 当a1 2，即 a 1 2时，f
10、（x） maxf（1）22a. 综上，f（x）max 4a5，a1 2， 22a，a1 2. 感悟升华研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问 题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论. 【训练 3】 设函数 f（x）x22x2，xt，t1，tR，求函数 f（x）的最 小值. 解f（x）x22x2（x1）21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 为 x1. 当 t11，即 t1 时，函数图象如图（3）
11、所示，函数 f（x）在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为 f（t）t22t2. 综上可知，f（x）min t21，t1. 考点四一元二次方程根的分布 角度 1两根在同一区间 【例 41】 若二次函数 yx2mx1 的图象与两端点为 A（0，3） ，B（3，0） 的线段 AB 有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围. 解线段 AB 的方程为x 3 y 31（x0，3） ， 即 y3x（x0，3） ， 由题意得方程组 y3x， yx2mx1， 消去 y 得 x2（m1）x40， 由题意可得，方程在 x0，3内有两个不同的实根，令 f（x）x2（m1） x4， 则 （m1）2160， 0m1
12、2 3， f（0）40， f（3）103m0， 解得 m3， 1m5， m10 3 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 3m10 3 . 故实数 m 的取值范围是 3，10 3 . 角度 2两根在不同区间 【例 42】 求实数 m 的取值范围，使关于 x 的方程 x22（m1）x2m6 0. （1）一根大于 1，另一根小于 1； （2）两根，满足 014； （3）至少有一个正根. 解令 f（x）x22（m1）x2m6， （1）由题意得 f（1）4
13、m50，解得 m0， f（1）4m50， 解得 m3， m7 5， 所以7 5m0， f（0）2m60， 2（m1） 2 0， 解得3m1. 当方程有一个正根一个负根时，f（0）2m60，解得 m0， （2）24m0，无解. f（0）0， （2） m0，解得 m0， （3） m0， （2）24m0. 解得 m1，经验证，满足题意. 又当 m0 时，f（x）2x1，它显然有一个为正实数的零点. 综上所述，m 的取值范围是（，01. 感悟升华利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤： （1）设出对应的二次函数； （2）利用二次函数的图象和性质列出等价不等式（组） ； （3）解不等式（组）求得参数
14、的范围. 【训练 4】 （1）已知二次函数 y（m2）x2（2m4）x（3m3）与 x 轴 有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数 m 的取值范围. （2）若关于 x 的方程 x22（m1）x2m60 有且只有一根在区间（0，3） 内，求实数 m 的取值范围. 解（1）令 f（x）（m2）x2（2m4）x（3m3）. 由题意可知（m2）f（1）0， 即（m2） （2m1）0， 所以2m1 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即实数 m 的取值
15、范围是 2，1 2 . （2）令 f（x）x22（m1）x2m6， 4（m1）24（2m6）0， 0（m1）3， 解得 m1 或 m5， 2m1， 所以 m1. f（0）f（3）（2m6） （8m9）0， 解得3m9 8. f（0）2m60，即 m3 时，f（x）x28x，另一根为 8（0，3） ，所 以舍去； f（3）8m90，即 m9 8时，f（x）x 217 4 x15 4 ，另一根为5 4（0，3） ， 满足条件. 综上可得，3f（1） ，则（） A.a0，4ab0B.a0，2ab0D.af（1） ，所以函数图象应开口向上，即 a0，且其对称 轴为 x2， 即 b 2a2，所以 4ab
16、0. 2.设二次函数 f（x）ax22axc 在区间0，1上单调递减，且 f（m）f（0） ， 则实数 m 的取值范围是（） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.（，0B.2，） C.（，02，）D.0，2 答案D 解析f（x）的对称轴为 x1，由 f（x）在0，1上递减知 a0，且 f（x）在1， 2上递增，f（0）f（2） ，f（m）f（0） ，结合对称性，0m2. 3.若函数 f（x）x2axa 在区间0，2上的最大值为 1，则实数 a（） A.
17、1B.1C.2D.2 答案B 解析函数 f（x）x2axa 的图象为开口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点取得. f（0）a，f（2）43a， a43a， a1 或 a43a， 43a1， 解得 a1. 4.若关于 x 的不等式 x2ax10 的解集中只有一个整数，且该整数为 1，则 a 的取值范围为（） A. 2，5 2B. 2，5 2C. 2，5 2D. 2，5 2 答案A 解析令 f（x）x2ax1，则 f（0）0，由题意可得 f（1）0， f（2）0， 解得 2a0，二次函数 f（x）ax2bxc 的图象可能是（） 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32303138
18、0 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析由 A，C，D 知，f（0）c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求； 由 B 知 f（0）c0， 所以 ab0，所以对称轴 x b 2a0） ，若 f（m）0，则 f（m1）的值为（） A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 答案A 解析设 f（x）x2xa0 的两个根为，由 f（m）0，则m0，则|0，故选 A. 8.（2016浙江卷）已知函数 f（x）x2bx，则“b0”是“f（f（x） ）的最小值 与 f（x）的最小值相等”的（） A
19、.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析f（x）x2bx xb 2 2 b 2 4 ，当 xb 2时，f（x） minb 2 4 . 又 f（f（x） ）（f（x） ）2bf（x） f（x）b 2 2 b 2 4 ，当 f（x）b 2时， f （f （x） ）minb 2 4 ， 当b 2 b2 4 时， f （f （x） ） 可以取到最小值b 2 4 ， 即 b22b0， 解得 b0 或 b2，故“b0”是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等” 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分
20、享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的充分不必要条件. 9.在交通工程学中常作如下定义：交通流量 Q（辆/小时）为单位时间内通过道路 上某一横断面的车辆数；车流速度 V（千米/小时）为单位时间内车流平均行驶过 的距离；车流密度 K（辆/千米）为单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般 的 V 和 K 满足一个线性关系，即 Vv0 1K k0（其中 v0，k0是正数） ，则以下说法 正确的是（） A.随着车流密度增大，车流速度增大 B.随着车流密度增大，交通流量增大 C.随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D.随着车流密度增大，交通
21、流量先增大，后减小 答案D 解析由 Vv0 1K k0，得 Kk0k0 v0V， 由单位关系得 QVKV k0k0 v0Vk0 v0V 2k0V， 可以看成 Q 与 V 的二次函数，开口向下， 图象先增大，再减小， 所以随着车流速度 V 的增大，交通流量 Q 先增大、后减小. 二、填空题 10.已知函数 f（x）x24xa，x0，1，若 f（x）有最小值2，则 f（x） 的最大值为. 答案1 解析f（x）x24xa（x2）2a4， 函数 f（x）x24xa 在0，1上单调递增， 当 x0 时，f（x）取得最小值，当 x1 时，f（x）取得最大值， f（0）a2，f（1）3a321. 11.已知
22、二次函数 f（x）满足 f（2x）f（2x） ，且 f（x）在0，2上是增函数， 若 f（a）f（0） ，则实数 a 的取值范围是. 答案0，4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由题意可知函数 f（x）的图象开口向下，对称轴为 x2 （如图） ，若 f（a）f（0） ，从图象观察可知 0a4. 12.已知 f（x） x2（xt） ， x（xt） ， 若存在实数 t，使函数 yf（x） a 有两个零点，则 t 的取值范围是. 答案（，0）（0，1）
23、解析由题意知函数 f（x）在定义域上不单调，如图，当 t0 或 t1 时，f（x）在 R 上均单调递增，当 t0 时，在（，t） 上 f（x）单调递增，且 f（x）0，在（0，）上 f（x）单调递增，且 f（x）0. 故要使得函数 yf（x）a 有两个零点，则 t 的取值范围为（，0）（0，1） . 13.已知 f（x1）x25x4. （1）f（x）的解析式为； （2）当 x0，5时，f（x）的最大值和最小值分别是. 答案（1）x27x10（2）10，9 4 解析（1）f（x1）x25x4，令 x1t，则 xt1， f（t）（t1）25（t1）4t27t10， f（x）x27x10. （2）f
24、（x）x27x10，其图象开口向上，对称轴为 x7 2， 7 20，5， f（x）minf 7 2 9 4， 又 f（0）10，f（5）0. f（x）的最大值为 10，最小值为9 4. 14.（2018浙江卷）已知R，函数 f（x） x4，x， x24x3，x.当2 时，不等式 f （x） 0的解集是.若函数f （x） 恰有2个零点， 则的取值范围是. 答案（1，4）（1，3（4，） 解析若2，则当 x2 时，令 x40，得 2x4；当 x2 时，令 x24x30， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q
25、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 得 1x2.综上可知 1x4，所以不等式 f（x）0 的解集为（1，4）.令 x40， 解得 x4；令 x24x30，解得 x1 或 x3.因为函数 f（x）恰有 2 个零点， 结合函数的图象（图略）可知 14. 15.设对任意的实数 x1，1，不等式 x2ax3a1 2 解 析法 一令 f （ x ） x2 ax 3a ， 则 要 使 满 足 条 件 ， 则 f（1）0， f（1）0， 1a3a0， 1a3a 1 2. 法二因为 x1，1，所以不等式 x2ax3a x2 3x恒成立， 即 a x2 3x max .令 y x2 3x，再令 t3
26、x2，4，则 y （3t）2 t t9 t 6， 因为该函数在2，3）上递减，在（3，4上递增，且 y|t21 2，y| t41 4，所以可知 a1 2. 16.已知在（，1上递减的函数 f（x）x22tx1，且对任意的 x1，x20， t1，总有|f（x1）f（x2）|2，则实数 t 的取值范围是（） A. 2， 2B.1， 2 C.2，3D.1，2 答案B 解析由于 f（x）x22tx1 的图象的对称轴为 xt，又 yf（x）在（， 1上是减函数，所以 t1. 则在区间0，t1上，f（x）maxf（0）1， f（x）minf（t）t22t21t21， 要使对任意的 x1，x20，t1，都有
27、|f（x1）f（x2）|2， 只需 1（t21）2，解得 2t 2. 又 t1，1t 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 能力提升题组 17.二次函数 f（x）ax2bxc，a 为正整数，若 f（0）2，f（2）2，f（x） 有两个小于 2 的不等正零点，则 a 的最小值是（） A.3B.4C.5D.6 答案A 解析因为 a 为正整数，所以当 a 越大时，yf（x）的图象的开口越小，当 a 越 小时，yf（x）的图象的开口越大，结合二次函数图象的对称
28、性知，当 yf（x） 的图象的开口最大时，yf（x）的图象过（0，2） ， （2，2）两点，a 的取值符合 题意，则 c2，4a2bc2， b 2a1，可得 b2a，又 b 24ac0，解得 a 2，因为 a 为正整数，所以 a 的最小值为 3，故选 A. 18.（2020浙江新高考仿真卷四）设函数 f（x）sin2xacos xb 在 0， 2 上的 最大值是 M，最小值是 m，则 Mm（） A.与 a 有关，且与 b 有关 B.与 a 有关，且与 b 无关 C.与 a 无关，且与 b 无关 D.与 a 无关，且与 b 有关 答案B 解析令 tcos x，则 g（t）t2atb1（0t1）
29、，由题意，当a 20， 即 a0 时，g（0）为最大值，g（1）为最小值，此时 Mm1a；当a 21， 即 a2 时，g（0）为最小值，g（1）为最大值，此时 Mma1；当1 2 a 21， 即 1a2 时，Mg a 2 ，mg（0） ，此时 Mma 2 4 ；当 0a 2 1 2，即 0a 1 时，Mg a 2 ，mg（1） ，此时 Mma 2 4 1a.综上所述，Mm 与 a 有关， 但与 b 无关，故选 B. 19.（2021杭州学军中学模拟）已知函数 f（x）x2txt（t0） ，若 x1， 0时，f（x）max2，则 t；记集合 Ax|f（x）0，若 AZ（Z 为 整数集）中恰有一个
30、元素，则 t 的取值范围为. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案1 2 9 2，4 解析因为 t0，所以当 x1，0时，由t 20，得 f（x） maxf（1）1 tt2，解得 t1 2，因为 AZ 中恰有一个元素，所以 t 24（t）0， 解得 t0 或 t4，又因为 t0，所以 t4，则 f（1）10，f（2）4t 0，则 f（3）92t0，解得 t9 2，即 t 的取值范围为 9 2，4. 20.已知函数 f（x）x2axb（a，bR） ，对于任意实数 a，总存在实数 m，当 xm，m1时，使得 f（x）0 恒成立，则 b 的取值范围为. 答案 ，1 4 解析设 f（x）x2axb0 有两根 x1，x2， 4ba2，x1x2a，x1x2b， 对于任意实数 a，总存在实数 m，当 xm，m1时，使得 f（x）0 恒成立， （x1x2）21 恒成立，a214b 恒成立， 4b（a21）min1， b1 4，故 b 的取值范围为 ，1 4 .
