1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节平面向量基本定理与坐标表示 知 识 梳 理 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 3平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，
2、y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21 (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB (x2x1， y2y1)， |AB| （x2x1）2（y2y1）2 4平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10 1若 a 与 b 不共线，且ab0, 则0. 2已知OA OB OC (，为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 1. 3平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量的基底可以
3、有无穷多组 4向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等 的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 诊 断 自 测 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1判断下列说法的正误 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底() (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的() (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b， 则12，12.() (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab
4、的充要条件可以表示成x1 x2 y1 y2.( ) (5)在ABC 中，设AB a，BCb，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.( ) 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)共线向量不可以作为基底 (2)同一向量在不同基底下的表示不相同 (4)若 b(0，0)，则x1 x2 y1 y2无意义 (5)向量 a 与 b 的夹角为ABC 的补角 2(2019全国卷)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，则|ab|() A. 2B2C5 2D50 答案A 解析ab(2，3)(3，2)(1，1)， |ab| （1）212 2.故选 A. 3(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，
5、c(1，)若 c(2ab)， 则_ 答案 1 2 解析2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 124，即1 2. 4(必修 4P101A3 改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)， 则顶点 D 的坐标为_ 答案(1，5) 解析设 D(x， y)， 则由AB DC ， 得(4， 1)(5x， 6y)， 即 45x， 16y，解得 x1， y5. 5(2021浙江名校仿真训练)已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资
6、源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 有一点 C，满足 2AC CB0. (1)用OA ，OB 表示OC 为_； (2)若点 D 是 OB 的中点，则四边形 OCAD 的形状是_ 答案(1)2OA OB (2)梯形 解析(1)因为 2AC CB0，所以 2(OC OA )(OB OC )0， 所以OC 2OA OB . (2)如图， D 为 OB 的中点， 则DA DO OA 1 2OB OA 1 2(2OA OB ) 故DA 1 2OC ，即 DAOC，且 DAOC，故四边形 OCAD 为梯形 6(2021江南十校素质测试)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和
7、点 B(3， 4)若点 C 在AOB 的平分线上，且|OC |3 10，则向量OC 的坐标为_ 答案(3，9) 解析点 C 在AOB 的平分线上， 存在(0， )使得OC OA |OA | OB |OB | (0，1) 3 5， 4 5 3 5， 9 5.又|OC |3 10，5，OC (3， 9). 考点一平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (1)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB FC () A.AD B.1 2AD C.1 2BC D.BC 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高
8、中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)(2021浙江名校仿真训练)如图， 在ABC 中，AN 2 3NC ，P 是 BN 上一点，若AP tAB1 3AC ，则 实数 t 的值为() A.2 3 B.2 5 C.1 6 D.3 4 (3)如图，在四边形 OACB 中，OAOC2OB2，OA 与 OC 的 夹角为 60，OB 与 OC 的夹角为，若|BC |2 2 |AC |，OC mOA nOB (m，nR)，则 n_ 答案(1)A(2)C(3)2 5(9 21) 解析(1)如图 所示，EB FC(ECBC)(FBBC) EC FB1 2AC 1 2AB 1
9、2(AC AB)AD . (2)由点 P 在 BN 上，设BP BN，则APAB(ANAB)，又AN2 3NC ，则AN 2 5AC ，AP(1)ABAN(1)AB2 5AC ，由平面向量基本定理得 1t， 2 5 1 3， 解得 5 6， t1 6， 故选 C. (3)因为 OAOC2OB2，OA 与 OC 的夹角为 60，所以 OB1，OAC 是等 边三角形，所以|AC |2.又因为|BC|2 2 |AC |，所以|BC| 2.又因为|BC|2 (OC OB )2，所以 cos 3 4，所以 sin 7 4 .以 O 为坐标原点，OC 为 x 轴正方 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
10、QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 向建立平面直角坐标系，则OC (2，0)，OA (2cos 60，2sin 60)，OB (cos ， sin )因为OC mOA nOB ， 所以 2mcos 60ncos 2， 2msin 60nsin 0， 即 m3 4n2， 3m 7 4 n0，消去 m，解得 n 2 5(9 21) 感悟升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基
11、底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 【训练 1】 (1)如图， 已知AB a，ACb，BD 3DC ，用 a，b 表示AD ，则AD _ (2)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点若 BE BABD (，R)，则_ 答案(1)1 4a 3 4b (2)3 4 解析(1)AD AB BD AB 3 4BC AB3 4(AC AB)1 4AB 3 4AC 1 4a 3 4b. (2)由题意可得BE 1 2BA 1 2BO 1 2BA 1 4BD ， 由平面向量基本定理可得1 2， 1 4， 所以3 4. 考点二平面
12、向量的坐标运算 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【例 2】 (1)(2021郑州二预)已知 O 为坐标原点，向量OA (1，2)，OB (2， 1)，若 2AP AB，则|OP |_ (2)向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若 cab(， R)，则 ( ) A1B2C3D4 答案(1) 2 2 (2)D 解析(1)设 P 点坐标为(x，y)，AB OB OA (2，1)(1，2)(3，3)， AP (x1， y2)， 由 2APAB得 2(x
13、1， y2)(3， 3)， 所以 2x23， 2y43， 解得 x1 2， y1 2， 故|OP | 1 4 1 4 2 2 . (2)以向量 a，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设 每个小正方形边长为 1)，A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)， 所以 a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)，cab， 16， 32， 解之得2 且1 2，因此 2 1 2 4，故选 D. 感悟升华(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量 的坐标，解题过程中注意方程思想的应用 (2)向量问题坐标化： 向量的坐标运算， 使得向量的线性运算都可以用坐标来进行， 实现了向量运算
14、的代数化， 将数与形结合起来， 使几何问题转化为数量运算问题 【训练 2】(1)已知点 A(1， 5)和向量 a(2， 3)， 若AB 3a， 则点 B 的坐标为( ) A(7，4)B(7，14) C(5，4)D(5，14) (2)已知向量 a(2，1)，b(1，2)若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的值为_ 答案(1)D(2)3 解析(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则AB (x1，y5) 由AB 3a，
15、得 x16， y59，解得 x5， y14. (2)由向量 a(2，1)，b(1，2)，得 manb(2mn，m2n)(9，8)，则 2mn9， m2n8， 解得 m2， n5， 故 mn3. 考点三平面向量共线的坐标表示 【例 3】 (经典母题)平面内给定三个向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1) (1)求满足 amb nc 的实数 m，n； (2)若(akc)(2ba)，求实数 k. 解(1)由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)， m4n3， 2mn2， 解得 m5 9， n8 9. (2)akc(34k，2k)，2ba(5，2)， 由题意得 2(34k)(5)(2k)0，
16、解得 k16 13. 【变式迁移】 (1)在本例条件下，若 d 满足(dc)(ab)，且|dc| 5，求 d. (2)在本例条件下，若 manb 与 a2b 共线，求m n 的值 解(1)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)， 又 ab(2，4)，|dc| 5， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4（x4）2（y1）0， （x4）2（y1）25， 解得 x3， y1或 x5， y3. d 的坐标为(3，1)或(5，3) (2)manbm(3，2)n(
17、1，2)(3mn，2m2n)， a2b(3，2)2(1，2)(5，2)， 由题意，得 5(2m2n)2(3mn)0，即 2mn0， m n 1 2. 感悟升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；若 ab(b0)，则 ab.(2)向量共线 的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非 零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 【训练 3】(1)已知平面向量 a(1， 2)， b(2， m)， 且ab， 则2a3b_ (2)已知 A(2，3)，B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线
18、上，且|AP|3 2|BP|，则点 P 的坐标为_ (3)若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 答案(1)(4，8)(2)(8，15)(3)5 4 解析(1)由 a(1，2)，b(2，m)，且 ab， 得 1m2(2)0，即 m4. 从而 b(2，4)， 那么 2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8) (2)设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则AP 3 2BP ，得(x2，y3)3 2(x4，y3)， 即 x23 2（x4） ， y33 2（y3）. 解得 x8， y15.所以点 P 的坐标为(8，15) 本资料分享自新人教版高中数
19、学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)AB (a1，3)，AC(3，4)，根据题意ABAC， 4(a1)3(3)0，即 4a5，a5 4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 基础巩固题组 一、选择题 1下列各组向量中可以作为基底的是() Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，7) Ce1(3，5)，e2(6，10)
20、 De1(2，3)，e2 1 2， 3 4 答案B 解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 2已知在ABCD 中，AD (2，8)，AB (3，4)，则AC( ) A(1，12)B(1，12) C(1，12)D(1，12) 答案B 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD (1，12)，故选 B. 3已知向量 a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的 () A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析由题意得 ab(2，2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，所以 m 6，则“m6”是“a(ab)”的充要
21、条件，故选 A. 4已知向量OA (k，12)，OB (4，5)，OC (k，10)，且 A，B，C 三点共线， 则 k 的值是() A2 3 B.4 3 C.1 2 D.1 3 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析AB OB OA (4k，7)，AC OC OA (2k，2)，因为 A，B，C 三点共线，所以AB ，AC共线，所以2(4k)7(2k)，解得 k2 3. 5 在ABC 中， 点 D 在 BC 边上， 且CD 2DB ， CD r
22、AB sAC， 则 rs( ) A.2 3 B.4 3 C3D0 答案D 解析因为CD 2DB ，所以CD 2 3CB 2 3(AB AC )2 3AB 2 3AC ，则 rs2 3 2 3 0，故选 D. 6在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP 2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4，3)， PQ (1，5)，则BC ( ) A(2，7)B(6，21)C(2，7)D(6，21) 答案B 解析AQ PQ PA (3，2)，Q 是 AC 的中点， AC 2AQ (6，4)，PC PAAC(2，7)， BP 2PC，BC3PC(6，21) 7如图，向量 e1，e2，a 的起点与终点均在
23、正方形网格的格点上，则向量 a 可用 基底 e1，e2表示为() Ae1e2B2e1e2 C2e1e2D2e1e2 答案B 解析以 e1的起点为坐标原点，e1所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 由题意可得 e1(1，0)，e2(1，1)，a(3，1)， 设 axe1ye2x(1，0)y(1，1)(xy，y)，则 xy3， y1， 解得 x2， y1， 故 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a2e1e2. 8 已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，
24、 点 E 在边 AC 上， 且EC 2AE， 则向量EM () A.1 2AC 1 3AB B.1 2AC 1 6AB C.1 6AC 1 2AB D.1 6AC 3 2AB 答案C 解析如图，EC 2AE， EM EC CM 2 3AC 1 2CB 2 3AC 1 2(AB AC )1 2AB 1 6AC . 9如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OP xOA yOB ， 且BP 2 PA，则( ) Ax2 3，y 1 3 Bx1 3，y 2 3 Cx1 4，y 3 4 Dx3 4，y 1 4 答案A 解析由题意知OP OB BP ， 又BP2PA， 所以OP OB 2 3BA
25、OB 2 3(OA OB ) 2 3OA 1 3OB ，所以 x2 3，y 1 3. 二、填空题 10已知向量 a(x，1)，b(2，y)，若 ab(1，1)，则 xy_ 答案3 解析因为(x，1)(2，y)(1，1)，所以 x21， y11，解得 x1， y2，所以 xy 3. 11已知向量 a(m，4)，b(3，2)，且 ab，则 m_ 答案6 解析因为 ab，所以由(2)m430，解得 m6. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 12在ABC 中，D
26、 为 AB 中点，E 为 CD 中点，设AB a，ACb，若AEa b，则 的值是_ 答案 1 2 解析AE 1 2 1 2AB AC 1 4AB 1 2AC 1 4a 1 2bab， a，b 不共线， 1 4， 1 2. 1 2. 13若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则1 a 1 b的值为_ 答案 1 2 解析AB (a2，2)，AC(2，b2)，依题意有(a2)(b2)40，即 ab 2a2b0，所以1 a 1 b 1 2. 14已知曲线 C：x 4y2，直线 l：x6.若对于点 A(m，0)，存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得AP AQ 0，则
27、 m 的取值范围为_ 答案2，3 解析曲线 C 的图象是半径为 2 的半个圆， 在 y 轴左侧， x12， 0 AP AQ 0， A(m， 0)为 P(x1， y1)， Q(6， t)的中点 2m6x1， x12， 0， m2， 3所以 m 的取值范围是2，3 能力提升题组 15.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 90，如图 所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB ，其 中 x，yR，则 xy 的最大值是() A1B. 2C. 3D2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自
28、新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案B 解析因为点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC |2|xOA yOB |2x2y2 2xyOA OB x2y2， x2y21，则 2xyx2y21. 又(xy)2x2y22xy2，当 xy 时取等号， 故 xy 的最大值为 2. 16(2021海南新高考诊断)如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点(D 靠近点 B)，过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则AF ( ) A.3 5AB 1 5AC B.2 5AB 1 5AC C. 4 15AB 8 15AC D. 8 15A
29、B 4 15AC 答案D 解析法一以 BC 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设 BC6， 则 A(0，3)，B(3，0)，C(3，0)，D(1，0)，E(1，0)，所以AD (1，3)，AE (1，3)因为 A，F，D 三点共线，所以AF AD (，3)(00，3m4n 1 6 2 m 1 n (3m4n)1 6 103m n 8n m 1 6 102 3m n 8n m 52 6 3 ，当且仅当 3m28n2时取等号 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期
30、待你的加入与分享 20(一题多解)(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA ， OB ，OC 的模分别 为 1， 1，2， OA 与OC 的夹角为， 且 tan 7， OB 与OC 的夹角为 45.若OC mOA nOB (m，nR)，则 mn_ 答案3 解析法一 如图，过点 C 作 CDOB 交 OA 的延长线于点 D，设OD mOA ，DC nOB ，则 在ODC 中有 ODm，DCn，OC 2，OCD45， 由 tan 7，得 cos 2 10， 又由余弦定理知 m2n2（ 2）22 2ncos 45， n2m2（ 2）22 2mcos ， 即 m2n222n， n2m222 5
31、m， 得 42n2 5m0，即 m105n，代入得 12n 249n490，解得 n 7 4或 n 7 3， 当 n 7 3时， m105 7 3 5 30(舍去)， 当 n 7 4时， m105 7 4 5 4，故 mn 5 4 7 43. 法二因为 tan 7，所以 cos 2 10，sin 7 2 10 . 过点 C 作 CDOB 交 OA 的延长线于点 D，则OC OD DC ，OCD45. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又因为OC mOA
32、nOB ， 所以OD mOA ，DC nOB ， 所以|OD |m，|DC |n. 在COD 中，由正弦定理得|DC | sin |OD | sin OCD |OC | sin ODC， 因为 sin ODCsin(180OCD)sin(45)4 5，即 n 7 2 10 m 2 2 2 4 5 ， 所以 n7 4，m 5 4，所以 mn3. 法三由 tan 7 可得 cos 2 10，sin 7 2 10 ， 则 2 10 OA OC |OA |OC | mnOA OB 2 ， 由 cos BOC 2 2 可得 2 2 OB OC |OB |OC | mOA OB n 2 ， cos AOBcos(45)cos cos 45sin sin 45 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5， 则OA OB 3 5，即 m3 5n 1 5， 3 5mn1， 则 2 5m 2 5n 6 5，则 mn3.
