1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 5 节直线与椭圆的位置关系 知 识 梳 理 1点与椭圆的位置关系 设 M(x0，y0)，椭圆标准方程为：x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 x20 a2 y20 b21点在椭圆外 2直线与椭圆的位置关系 将直线方程 ykxb(或 xmyn)代入椭圆方程x 2 a2 y2 b21(ab0)，整理得到关 于 x(或 y)的一个一元二次方程 Ax2BxC0(或 Ay2ByC0)，则 B24AC0直线与椭圆相交； B2
2、4AC0直线与椭圆相切； B24ACb0)相交于 A，B 两点，弦长公式： |AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2或|AB| 11 k2 |y1y2| 11 k2 （y1y2）24y1y2. 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦 1以椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)内的点 M(x 0，y0)为中点的直线的斜率 kb 2 a2 x0 y0. 2以椭圆y 2 a2 x2 b21(ab0)内的点 M(x 0，y0)为中点的直线的斜率 ka 2 b2 x0 y0. 3若已知直线 l：ymxn 过椭圆内一点，则直线与椭圆相交 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)直线与椭
3、圆联立消元后所得方程一定是一元二次方程() (2)在过椭圆中心的直线所截得的弦中，长轴最长，短轴最短() (3)在过椭圆的焦点弦中，与长轴垂直的弦(也叫通径)最短() (4)椭圆x 2 4 y 2 3 1 在点(1，3 2)处的切线的斜率为 1 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)(2)(3)(4) 2椭圆 ax2by21(a0，b0)与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 3 2 ，则b a的值为( )
4、 A. 3 2 B.2 3 3 C.9 3 2 D.2 3 27 答案B 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ax21by211，ax22by221， 即 ax21ax22(by21by22)，by 2 1by22 ax21ax221， b（y1y2） （y1y2） a（x1x2） （x1x2）1， b a(1) 3 2 1， b a 2 3 3 ，故选 B. 3椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，直线 y b ax 交椭圆于第一象限内的点 C，若 S BFOSBFC，则椭圆的离心率为( ) A.2 21 7 B.2 21 7
5、C.2 21 3 D. 21 答案A 解析联立直线 yb ax 与椭圆 x2 a2 y2 b21，得在第一象限的交点为 C 2 2 a， 2 2 b ， 又因为 SBFOSBFC，所以直线 BF 与直线 yb ax 的交点为线段 OC 的中点，即线 段 OC 的中点 2 4 a， 2 4 b 在直线 BF：x c y b1 上，则 2 4 a c 2 4 b b 1，化简得椭圆 的离心率 ec a 2 21 7 ，故选 A. 4已知 F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你
6、的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为_ 答案 x2 4 y 2 3 1 解析依题意，设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 过点 F2(1，0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 |AB|3， 点 A 1，3 2 必在椭圆上， 1 a2 9 4b21. 又由 c1，得 1b2a2. 由联立，得 b23，a24. 故所求椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 5设 F1，F2分别为椭圆x 2 4 y2m(m0)的左、右焦点，A，B 在该椭圆上，且F1A
7、2F2B ，则 F1A 所在的直线的斜率为_ 答案 23 2 解析由椭圆方程知 F1( 3m， 0)， 从而设直线 F1A 的方程为 xty 3m， A(x1， y1)，B(x2，y2)为直线 F1A 与椭圆的另一个交点，由椭圆的对称性及F1A 2 F2B 知 B(x2，y2)，从而有 y12y2. 由 xty 3m， x2 4 y2m， (t24)y22 3mtym0 y1y22 3mt t24 ， y1y2 m t24， y12y2， 2 12mt2 （t24）2 m t24 t2 4 23，故 F 1A 所在直线的斜率 k 23 2 . 6若直线 l 与直线 xy10 垂直，其纵轴截距
8、b 3，椭圆 C 的两个焦点 F1(1，0)，F2(1，0)，且与直线 l 相切，则直线 l 的方程为_，椭圆 C 的标准方程为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案yx 3 x2 2 y21 解析因为直线 l 与直线 xy10 垂直，其纵轴截距 b 3，所以直线 l 的 方程为 yx 3.设椭圆 C 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 与直线 l 的方程联立， 消去 y 得(a2b2)x22 3a2x3a2a2b20， 则(2 3a
9、2)24(a2b2)(3a2a2b2) 0，化简得 a2b23，又因为椭圆的两个焦点的坐标为 F1(1，0)，F2(1， 0)， 所以 a2b21， 联立解得 a22， b21， 所以椭圆的标准方程为x 2 2 y21. 考点一直线与椭圆位置关系的判断 【例 1】 当实数 m 分别取何值时，直线 l：yxm 与椭圆 9x216y2144 相交、 相切、相离？ 解将直线和椭圆的方程联立， 得关于 x 的一元二次方程 25x232mx16m21440， 因为576(25m2)， 所以当(1)0，即5m5 时，直线 l 与椭圆相交； (2)0，即 m5 或 m5 时，直线 l 与椭圆相切； (3)0
10、，即 m5 时，直线 l 与椭圆相离 感悟升华判断直线与椭圆的位置关系的方法： (1)用判别式法； (2)利用直线上的特殊点与椭圆的关系 【训练 1】 判断直线 ykx1 与下列椭圆的位置关系： (1)x 2 3 y 2 2 1；(2)x 2 3 y21. 解直线 ykx1 过定点(0，1)， (1)因为定点(0，1)在椭圆x 2 3 y 2 2 1 内部， 直线 ykx1 与椭圆x 2 3 y 2 2 1 相交 (2)因为定点(0，1)为椭圆x 2 3 y21 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
11、群 483122854 期待你的加入与分享 短轴的下顶点，由数形结合可知： 当 k0 时，直线与椭圆相切； 当 k0 时，直线与椭圆相交 考点二中点弦问题 【例 2】 (2020天津卷)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(0，3)，右 焦点为 F，且|OA|OF|，其中 O 为原点 (1)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程 解(1)由已知可得 b3.记半焦距为 c，由|OF|OA|可得 cb3. 又由 a2b2c
12、2，可得 a218. 所以椭圆的方程为x 2 18 y2 9 1. (2)因为直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P，所以 ABCP. 依题意，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在 设直线 AB 的方程为 ykx3.由方程组 ykx3， x2 18 y2 9 1， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0 或 x 12k 2k21. 依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k21， 6k23 2k21 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，3)， 所以点 P 的坐标为 6k 2k21， 3 2k21 . 由 3OC OF ，得点 C 的坐标为(1，0)
13、， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故直线 CP 的斜率为 3 2k210 6k 2k211 3 2k26k1. 又因为 ABCP，所以 k 3 2k26k11， 整理得 2k23k10，解得 k1 2或 k1. 所以直线 AB 的方程为 y1 2x3 或 yx3. 感悟升华处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中 含有 x1x2，y1y2，y1y2 x1x2三个未知量，这样就直接联系了中
14、点和直线的斜率， 借用中点公式即可求得斜率 (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方 程后，由根与系数的关系求解 注意，若已知弦中点在椭圆内，不必再检验判别式 【训练 2】 (1)过椭圆x 2 16 y2 4 1 内一点 M(2，1)作椭圆的弦，点 M 恰为该弦的中 点，则该弦所在直线 l 的方程为_ (2)已知定点 C(1，0)及椭圆 x23y25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两 点若线段 AB 中点的横坐标是1 2，则直线 AB 的方程为_ 答案(1)x2y40(2)x 3y10 或 x 3y10 解析(1)设 l：y1k(x2)交椭圆于点 A
15、(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为点 A，B 都在椭圆上，则得 x214y2116，x224y2216， 经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，得 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 可以知道式中的 x1x24，y1y22， 那么得 4(x1x2)8(y1y2)0，得直线斜率为1 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故所求直线方程为 x2y40. (2)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB
16、的方程为 yk(x1)，将 yk(x1) 代入 x23y25，消去 y 整理得(3k21)x26k2x3k250. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 36k44（3k21） （3k25）0， x1x2 6k2 3k21. 由线段 AB 中点的横坐标是1 2，得 x1x2 2 3k2 3k21 1 2，解得 k 3 3 ，适合 . 所以直线 AB 的方程为 x 3y10 或 x 3y10. 考点三直线与椭圆位置关系的应用 【例 3】(2021浙江新高考训练二)过椭圆x 2 2 y21 的左焦点 F 作斜率为 k1(k10) 的直线交椭圆于 A，B 两点，M 为弦 AB 的中点，直线
17、OM 交椭圆于 C，D 两点 (1)设直线 OM 的斜率为 k2，求 k1k2的值； (2)若 F，B 分别在直线 CD 的两侧，|MB|2|MC|MD|，求FCD 的面积 解(1)由题意知椭圆的左焦点 F 的坐标为(1，0)， 将直线 AB 的方程 yk1(x1)代入椭圆方程x 2 2 y21， 整理得(12k21)x24k21x2k2120， (4k21)24(12k21)(2k212)8k2180， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 x1x2 4k21 12k21，x 1x22k 2 12 12k21， 因为点 M 为弦 AB 的中点， 本资料分享自新人教版
18、高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 x0 x1x2 2 2k21 12k21，y 0k1(x01) k1 12k21， 因为 k2kOM 1 2k1，所以 k 1k21 2. (2)由(1)可得|AB| 1k21|x1x2| 1k212 2 1k 2 1 12k21 2 2（1k 2 1） 12k21 ， 将 yk2x 代入x 2 2 y21， 得 xD 2 12k22，x C 2 12k22， 则|MC|MD| 1k22|x0 2 12k22| 1k 2 2|x0 2
19、 12k22| (1k22)|x20 2 12k22| (1k22)| 2k21 12k21 2 2 12k22|. 因为|MB|2|MC|MD|， 所以1 4|AB| 2|MC|MD|， 所以2（1k 2 1）2 （12k21）2(1k 2 2)| 2k21 12k21 2 2 12k22|， 解得 k211 2， 所以k1，k2 2 2 ， 2 2 ， 由直线的对称性，不妨设 k1 2 2 ，k2 2 2 ， 所以直线 CD 的方程为2x2y0， 点 F 到直线 CD 距离 dF 3 3 ， |CD| 1k22|xCxD| 1k22 2 2 12k22 6， 本资料分享自新人教版高中数学资
20、源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以FCD 的面积为1 2|CD|d F 2 2 . 感悟升华解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程 与椭圆方程联立、消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问 题 【训练 3】 (2021温州中学模拟)已知直线 l：ykxm 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 恰有一个公共点 P，l 与圆 x2y2a2相交于 A，B 两点 (1)求 k 与 m 的关系式； (2)点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称若当
21、 k1 2时，QAB 的面积取到最大值 a2，求椭圆的离心率 解(1)联立 ykxm， x2 a2 y2 b21， 消去 y 得(a2k2b2)x22a2kmxa2(m2b2)0， 则(2a2km)24a2(a2k2b2)(m2b2)0， 化简整理得 m2a2k2b2. (2)因为点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称，连接 PQ，则 O 是 PQ 的中点，点 Q 到 AP 的距离是点 O 到 AP 的距离的 2 倍， 所以QAB 的面积是OAB 的面积的两倍， 所以当 k1 2时，OAB 的面积取到最大值 a2 2 ，|OA|OB|a，此时 OAOB， 在等腰直角OAB 中，坐标原点 O
22、到直线 l 的距离 d a 2. 又 d |m| k21，所以 m2 k21 a2 2 . 由(1)得a 2k2b2 k21 a 2 2 ，则 k212b 2 a2 . 又 k1 2，故 k 212b2 a2 1 4，即 b2 a2 3 8， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 e2c 2 a21 b2 a2 5 8， 所以椭圆的离心率 e 10 4 . 基础巩固题组 一、选择题 1直线 ykxk1 与椭圆x 2 9 y 2 4 1 的位置关系为()
23、 A相交B相切C相离D不确定 答案A 解析直线 yk(x1)1 过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆x 2 9 y 2 4 1 内部，故直 线与椭圆相交 2经过椭圆x 2 2 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点， 设 O 为坐标原点，则OA OB 等于() A3B1 3 C1 3或3 D1 3 答案B 解析依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0tan 45(x 1)，即 yx1，代入椭圆方程x 2 2 y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x 4 3，所以两个交点坐标分别为(0，1)， 4 3， 1 3 ，OA OB 1
24、3，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA OB 1 3. 3已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cos ABF4 5，则 C 的离心率为( ) A.3 5 B.5 7 C.4 5 D.6 7 答案B 解析如图，设|AF|x，则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cosABF8 2102x2 2810 4 5.解得 x6，AFB90
25、，由椭圆及直线关于原点对 称可知|AF1|8，FAF1FABFBA90，FAF1是直角三角形，所以|F1F| 10，故 2a8614，2c10，c a 5 7. 4已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为() A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 答案D 解析kAB01 31 1 2，由 k ABb 2 a2 x0 y0 b2 a2得 b2 a2 1 2，即 a 22b2，结合
26、a2b232 解得 a218， b29， E 的方程为x 2 18 y2 9 1. 5(2021嘉兴期末)已知 A，B 是椭圆 C：y 2 3 x21 短轴的两个端点，点 O 为坐 标原点，点 P 是椭圆 C 上不同于 A，B 的动点，若直线 PA，PB 分别与直线 x 4 交于点 M，N，则OMN 面积的最小值为() A24 3B12 3C6 5D12 5 答案D 解析由题意不妨设点 A(1，0)，B(1，0)设点 M(4，y1)，N(4，y2)，P(x0， y0)因为 N，P，B 三点共线，M，A，P 三点共线，所以 y2 5 y0 x01， y1 3 y0 x01， 所以y1y2 15
27、y20 x201 3，所以 y1y245，所以 SMON1 2 4|y1y2|2|y1y2|2|y1 45 y1 |4 4512 5，当且仅当 y135时等号成立，故选 D. 6已知椭圆x 2 4 y 2 2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1且倾斜角为 45的直线 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 l 交椭圆于 A，B 两点，以下结论：ABF2的周长为 8；原点到 l 的距离为 1； |AB|8 3.其中正确结论的个数为( ) A3B2C1D
28、0 答案A 解析由椭圆的定义， 得|AF1|AF2|4， |BF1|BF2|4， 又|AF1|BF1|AB|， 所以ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|8，故正确；由条件，得 F1( 2， 0)， 因为过 F1且倾斜角为 45的直线 l 的斜率为 1， 所以直线 l 的方程为 yx 2， 则原点到 l 的距离 d| 2| 2 1， 故正确； 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 yx 2， x2 4 y 2 2 1， 得 3x24 2x0，解得 x10，x24 2 3 ，所以|AB| 11|x1x2|8 3，故正 确故选 A. 二、填空题 7(2021 湖州期末质检)已知直线
29、 xmy2(mR)与椭圆x 2 9 y 2 5 1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为_；若|AB|30 7 ，则实数 m 的值是_ 答案 10 3 1 解析联立直线与椭圆的方程， 消去x化简得(5m29)y220my250.设点A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 y1 y2 20m 5m29 ， y1y2 25 5m29 ， 则 |AB| 1m2 20m 5m29 2 4 25 5m29 30（1m 2） 5m29 30 9 10 3 ，所以|AB|的最 小值为10 3 .当|AB|30（1m 2） 5m29 30 7 时，解得 m1. 8(2021山水联盟考试)设椭
30、圆 M 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，若斜率为 1 的 直线与椭圆 M 相切同时亦与圆 C：x2(yb)2b2(b 为椭圆的短半轴)相切，记椭 圆的离心率为 e，则 e2_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 3 2 2 解析设直线方程为 yxm.因为直线与椭圆相切，所以代入椭圆方程可得(b2 a2)x22a2mxa2m2a2b20，所以由0 可得 m2a2b2.又因为直线与圆相 切， 所以圆心(0， b)到直线的距离为|bm|
31、2 b， 解得 m(1 2)b， 所以(1 2)2b2 a2b2.又 b2a2c2，所以(2 21)a2(2 22)c2，解得 e2c 2 a2 2 21 2 22 3 2 2 . 9(2021温州适考)已知椭圆x 2 2 y21 与 y 轴交于点 M，N，直线 yx 交椭圆于 A1， A2两点， P 是椭圆上异于 A1， A2的点， 点 Q 满足 QA1PA1， QA2PA2， 则|QM| |QN|_ 答案2 2 解析依题意，不妨作出示意图如图所示，则 M(0，1)，N(0， 1)联立 yx， x2 2 y21， 解得 A1 6 3 ， 6 3.因为 QA1PA1， QA2PA2，所以点 Q
32、 为椭圆x 2 2 y21 与圆 x2y24 3的交点，联立二者方程，解 得 Q 6 3 ， 6 3 ，所以|QM|QN| 6 3 2 1 6 3 2 6 3 2 1 6 3 2 2 6 3 2 2. 10(2021名校仿真训练五)已知椭圆x 2 10 y2 6 1，倾斜角为 60的直线与椭圆分别 交于 A，B 两点且|AB|8 30 9 ，点 C 是椭圆上不同于 A，B 的一点，则ABC 面 积的最大值为_ 答案 16 30 9 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的
33、加入与分享 解析设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 y 3xm，与椭圆方程联 立消去 y 得 18x210 3mx5(m26)0， 则 x1x25 3m 9 ， x1x25（m 26） 18 ， 则|AB| 1（ 3）2 （x1x2）24x1x22 15 9 36m28 30 9 ， 解得 m2. 作直线 lAB，不妨设直线 l 的方程为 y 3xn，则当直线 l 与椭圆相切，且 m 与 n 异号时，切点 C 到直线 AB 的距离最大，此时ABC 的面积最大，联立直线 l 与椭圆方程消去 y 得 18x210 3nx5(n26)0，由直线与椭圆相切得 (10 3n)
34、24185(n26)0，解得 n6，所以ABC 的面积的最大值为 1 2 8 30 9 |6（2）| 12（ 3）2 16 30 9 . 三、解答题 11(2019天津卷)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的 短轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程； (2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点， 点 N 在 y 轴的负半轴上，若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜 率 解(1)设椭圆的半焦距为 c， 依题意， 2b4， c a 5 5 ， 又 a2b2c2， 可
35、得 a 5， b2，c1. 所以椭圆的方程为x 2 5 y 2 4 1. (2)由题意，设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)， 直线 PB 的斜率为 k(k0)， 又 B(0，2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立 ykx2， x2 5 y 2 4 1，整理得(4 5k2)x220kx0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 可得 xP 20k 45k2，代入 ykx2 得 y P810k 2 45k2 ， 进而直线 OP 的斜率
36、为yP xP 45k2 10k . 在 ykx2 中，令 y0，得 xM2 k. 由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k 2. 由 OPMN，得45k 2 10k k 2 1，化简得 k224 5 ， 从而 k2 30 5 (满足(20k)24(45k2)0) 所以直线 PB 的斜率为2 30 5 或2 30 5 . 12(2021北京通州区期末)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 A(0，1)，且椭 圆的离心率为 6 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且 x1x2，若直线
37、x 3 上存在点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形，求直线 l 的 方程 解(1)由题意得 b1， c a 6 3 ， a2b2c2. 解得 a23， 所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y21. (2)设直线 l 的方程为 yxm，P(3，yP)， 由 x2 3 y21， yxm， 得 4x26mx3m230， 令36m248m2480，得2m2，x1x23 2m，x 1x23 4(m 21)， 因为PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， 所以 NP 平行于 x 轴， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新
38、人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 过 M 作 NP 的垂线，则垂足 Q 为线段 NP 的中点， 设点 Q 的坐标为(xQ，yQ)，则 xQxMx1x23 2 ， 由方程组 x1x23 2m， x1x23 4（m 21） ， x1x23 2 ， 解得 m22m10， 即 m1， 而 m1(2，2)，所以直线的方程为 yx1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 能力提升题组 13已知直线 l：ykx2 过椭圆x 2 a
39、2 y2 b21(ab0)的上顶点 B 和左焦点 F，且 被圆 x2y24 截得的弦长为 L，若 L4 5 5 ，则椭圆离心率 e 的取值范围是() A. 0， 5 5B. 0，2 5 5 C. 0，3 5 5D. 0，4 5 5 答案B 解析依题意知 b2，kc2. 设圆心到直线 l 的距离为 d，则 L2 4d24 5 5 ， 解得 d216 5 .又因为 d 2 1k2，所以 1 1k2 4 5， 于是 e2c 2 a2 c2 b2c2 1 1k2，所以 0e 24 5，解得 0e 2 5 5 .故选 B. 14已知椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点为 F(1，0)
40、，离心率为 2 2 ，过点 F 的动直线交 M 于 A，B 两点，若 x 轴上的点 P(t，0)使得APOBPO 总成立(O 为坐标原点)，则 t() A2B2C 2D. 2 答案B 解析在椭圆中 c1，ec a 2 2 ，得 a 2，b1，故椭圆的方程为x 2 2 y21. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线斜率不存在时，t 可以为任意实数； 当直线斜率存在时，可设直线方程为 yk(x1)，联立方程组 yk（x1） ， x2 2 y21， 得(12k2)x24k2x2k220， x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 22 12k2， 使得APOBPO 总成立，即
41、使得 PF 为APB 的角平分线，即直线 PA 和 PB 的斜率之和为 0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 y1 x1t y2 x2t0， 由 y1k(x11)，y2k(x21)， 代入整理得 2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 由根与系数的关系，可得4k 24 12k2(t1) 4k2 12k22t0， 化简可得 t2，故选 B. 15(2021浙江新高考仿真五)直线 l 与椭圆x 2 6 y 2 3 1 相交于 A，B 两点，且与圆 x2
42、y22 相切于点 H，则|HA|2|HB|2的最小值为_ 答案4 解析当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 的方程为 x 2，此时 H( 2， 0)，易求得|HA|2|HB|24；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线 AB 与圆相切，得 |b| 1k2 2，即 b 22(1 k2) 由 ykxb， x2 6 y 2 3 1 消去 y 得(12k2)x24kb2b260， x1x2 4kb 12k2，x 1x22b 26 12k2， |HA|2|HB|2|OA|22|OB|22x21y21x22y224x213x 2
43、 1 2 x223x 2 2 2 4x 2 1x22 2 2（x1x2） 22x1x2 2 28k 416k22 （12k2）2 2， 令 t12k2，则 t1， |HA|2|HB|22t 24t4 t2 24 t2 4 t 44， 当且仅当 t1 时取等号 |HA|2|HB|2的最小值为 4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 16(2021杭州二中仿真模拟)(一题多解)已知直线 MN 过椭圆x 2 2 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点，
44、直线 PQ 过原点 O 与 MN 平行，且与椭圆交于 P，Q 两点，则|PQ| 2 |MN|_ 答案2 2 解析法一特殊化，设 MNx 轴， 则|MN|2b 2 a 2 2 2，|PQ| 24， |PQ|2 |MN| 4 22 2. 法二由题意知 F(1，0)，当直线 MN 的斜率不存在时，|MN|2b 2 a 2，|PQ| 2b2，则|PQ| 2 |MN|2 2；当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为 k， 则 MN 方程为 yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程 yk（x1） ， x2 2 y21， 整理得(2k21)x24k2x2k220. 由根与系数的
45、关系，得 x1x2 4k2 2k21，x 1x22k 22 2k21， 则|MN| 1k2 （x1x2）24x1x2 2 2（k 21） 2k21 . 直线 PQ 的方程为 ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则 ykx， x2 2 y21，解得 x 2 2 12k2，y 2 2k2 12k2， 则|OP|2x2y22（1k 2） 12k2 ，又|PQ|2|OP|， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以|PQ|24|OP|28（1k 2） 1
46、2k2 ，|PQ| 2 |MN|2 2. 17(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 交于 A，B 两点， 线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0) (1)证明：k0)在椭圆x 2 4 y 2 3 1 内， 1 4 m2 3 1，解得 0m3 2，故 k 1 2. (2)解由题意得 F(1，0)设 P(x3，y3)， 则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0) 由(1)及题设得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0. 又点 P 在 C 上，所以 m3 4， 从而 P 1，3 2 ，|FP |3 2. 于是|FA | （x
47、11）2y2 1（x11）23 1x 2 1 4 2x1 2 . 同理|FB |2x2 2 . 所以|FA |FB|41 2(x 1x2)3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故 2|FP |FA|FB|， 即|FA |，|FP|，|FB|成等差数列 设该数列的公差为 d，则 2|d|FB |FA|1 2|x 1x2| 1 2 （x1x2）24x1x2. 将 m3 4代入得 k1. 所以 l 的方程为 yx7 4，代入 C 的方程，并整理得 7x 21
48、4x1 40. 故 x1x22，x1x2 1 28，代入解得|d| 3 21 28 . 所以该数列的公差为3 21 28 或3 21 28 . 18(2021北京东城区一模)已知 A(2，0)，P 1，3 2 为椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab 0)上两点，过点 P 且斜率为 k，k(k0)的两条直线与椭圆 M 的交点分别为 B， C. (1)求椭圆 M 的方程及离心率； (2)若四边形 PABC 为平行四边形，求 k 的值 解(1)由题意得 a2， 1 a2 9 4b21. 解得 a2， b 3. 所以椭圆 M 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 又 c a2b21，所以离心率
49、ec a 1 2. (2)设直线 PB 的方程为 ykxm(k0)， 由 ykxm， x2 4 y 2 3 1，消去 y，整理得(34k 2)x28kmx(4m212)0. 当0 时，设 B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则 1x14m 212 34k2 ，即 x14m 212 34k2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 将 P 1，3 2 代入 ykxm，整理得 m3 2k，所以 x 14k 212k3 34k2 ， 所以 y1kx1m12k 212k9 2（34k2） ， 所以 B 4k212k3 34k2 ，12k 212k9 2（34k2）， 同理 C 4k212k3 34k2 ，12k 212k9 2（34k2）. 所以直线 BC 的斜率 kBCy2y1 x2x1 1 2， 又直线 PA 的斜率 kPA 3 20 1（2） 1 2k BC，所以 PABC， 因为四边形 PABC 为平行四边形，所以|PA|BC|， 所以| 4k212k3 34k2 4k 212k3 34k2 |1(2)|，解得 k3 2或 1 2， k1 2时，B(2，0)与 A 重合，不符合题意，舍去， 所以四边形 PABC 为平行四边形时，k3 2.
