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3、散型随机变量取值的 . 数学期望 Xx1x2xixn Pp1p2pipn x1p1+x2p2+xipi+xnpn 平均取值 平均偏离程度标准差 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=.(a,b为常数) (2)D(aX+b)=.(a,b为常数) (3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=. (4)若XB(n,p),则E(X)=,D(X)=. aE(X)+b a2D(X) pp(1-p) npnp(1-p) 正态分布密度曲线 上方 x= x= 1 当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移,如图 10-65-1所示. 当一定时,曲线的形状由确定,曲线越“瘦高”,表示
4、总体的分布 越集中;,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.如图所示. 越小 越大 XN(,2) 0.682 7 0.954 5 0.997 3 题组一常识题 1.教材改编 已知随机变量,且N(,2), 若P(-3-1)=P(35),则=. 1 2.教材改编 已知随机变量X的分布列 如下: 若Y=2X+3,则E(Y)的值为. X-101 P 3.教材改编 已知随机变量服从正 态分布N(1,2),若P(4)=0.9,则 P(-21)=. 解析 由题意可知=1,正态曲线关于 直线x=1对称,P(4)=1-P(4)=0.1,根 据对称性可知,P(-2)=P(4)=0.1,故 P(-20),若在(0,
5、2)内取值 的概率为0.8,则在(0,1)内取值的概 率为. 解析 因为=1,所以 P(02)=0.8=2P(01),故 P(01 200 000,所以应选n=6000. X123 P (2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力较强及哪位通过考查的可能性 较大? 探究点四正态分布 例4 (1)在某校举行的数学竞赛中,全体 参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分 布N(70,100),已知成绩在(80,90内的学 生有120人,若该校计划奖励竞赛成绩 在90分以上的学生,估计获奖的学生 有人.(结果保留整数)(参考数 据:若XN(,2), 则P(-X+)0.682 7, P(-2X+2)0
6、.954 5, P(-3X+3)0.997 3) 20 思路点拨 根据题中所给的统计表,利用公式计算出平均数的值,再利用数据之间的 关系将36,79.5表示为36=-2,79.5=+,利用题中所给数据,以及正态曲线的对称性,求出对 应的概率; 例4 (2)2020成都七中月考 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问 卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满 分为100分)数据,统计结果如下表所示. 已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(,14.52),为这1000人得分的平均值(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表),请利用正
7、态分布的知识求P(36Z79.5). 组别 30,40)40,50)50,60)60,70)70,80) 80,90) 90,100 频数25150200250225100 50 在的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. (i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费; (ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 以频率估计概率,现市民甲要参加此次问卷调查,记该市民参加问卷调查获赠的话费为X元, 求X的分布列及数学期望. 附:若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-3Z+3)0.997 3. 赠送的随
8、机话费/元2040 概率 X20406080 P 总结反思 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3区间,由特殊区 间的概率值求出. 2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在 (-,+,(-2,+2,(-3,+3三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归 纳思想和数形结合思想. 32 【备选理由】 例1考查离散型随机变量的分布列、数学期望; 例2考查n次独 立重复试验和二项分布及其数学期望;例3考查决策问题; 例4考查正态分布 及其应用. 例1配合例1使用 2020合肥三模 某市积极贯彻落实国务院 “十三五”节能减排综合工作方案,空气质量明显改善.该市生
9、态环境局统计了某月(30天)的空气质量指数,绘制成如图所示的频 率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照表如下: 空气质量 指数 (0,50 (50,100 (100,150(150,200(200,300(300,+) 空气质 量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级(轻 度污染) 四级(中 度污染) 五级(重 度污染) 六级(严 重污染) (1)根据频率分布直方图,估计在这30天中,空气质量等级为优或良的天数. 解:(1)由频率分布直方图可得,空气质量指数在(90,110内的天数为2, 空气质量指数在(110,130内的天数为1, 估计空气质量指数在(90,100内的天数为1, 故
10、估计在这30天中空气质量等级为优或良的天数为28. (2)根据体质检查情况,医生建议:当空气质量指数高于90时,市民甲不宜进行户外体育运动; 当空气质量指数高于70时,市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互 不影响). 从这30天中随机选取2天,记乙不宜进行户外体育运动且甲适宜进行户外体育运动的天 数为X,求X的分布列和数学期望; X012 P (2)根据体质检查情况,医生建议:当空气质量指数高于90时,市民甲不宜进行户外体育运动; 当空气质量指数高于70时,市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互 不影响). 以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分
11、布的概率(假定每天空气 质量指数互不影响),甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动,求甲恰有2天 且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率. 例2 配合例2使用 2020石家庄模拟 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通 部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在 55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有40人;在45名女性驾驶员中,平均车速不超 过100 km/h的有25人. (1)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速是否超过100 km/h与性别 有关; 平均车速超过100 km/h 平均车速不超过10
12、0km/h总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计 解:(1)列联表如下: 平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计 男性驾驶员401555 女性驾驶员202545 总计6040100 P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001 k02.0723.8415.0246.6357.87910.828 X0123 P 例3配合例3使用 已知6名某疾病病人密切接触者中有1名感染病毒,其余5名健康,需要 通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者,呈阴性的即为健康. (1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名,求抽到感染者的概率. (2)血液化
13、验确定感染者的方法有:逐一化验;分组混合化验,先将血液分成若干组,对组 内血液混合化验,若化验结果呈阴性,则该组血液不含病毒;若化验结果呈阳性,则对该组的 备份血液逐一化验,直至确定感染者. (i)若采取逐一化验方法,求所需检验次数的数学期望; 12345 P (ii)若采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)方法,依据所需化验总次数的期望,选 择合理的平均分组方案. 23 P 23 P 例4 配合例4使用 某种零件的尺 寸X(单位:cm)服从正态分布N(3,1), 则不属于区间(1,5)这个尺寸范围 的零件数约占总数的 . 解析 属于区间(-2,+2),即区 间(1,5)这个尺寸范围的概率约为 95.45%,故不属于区间(1,5)这个 尺寸范围的零件数约占总数的1- 95.45%=4.55%. 4.55%
