1、大一轮复习讲义 第五章平面向量、复数 5.3平面向量的数量积 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.向量的夹角向量的夹角
2、已知两个非零向量a和b，作 ，则_就是向量a与b 的夹角，向量夹角的范围是_. 知识梳理 AOB 0， 定义 设两个非零向量a，b的夹角为，则数量_叫做a与b的 数量积，记作ab 投影 _叫做向量a在b方向上的投影 _叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积 2.平面向量的数量积平面向量的数量积 |a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.向量数量积的运算律向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab)a(b). (3)(ab)c_.acbc 结论符号表示坐标表示 模|a|_|a|_ 夹角 cos _
3、ab的充要条件_ |ab|与|a|b|的关系|ab|_ 4.平面向量数量积的有关结论平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为. x1x2y1y20 ab0 |a|b| 1.两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？ 提示不一定.当夹角为0(或180)时，数量积也大于0(或小于0). 2.平面向量数量积运算常用结论有哪些？ 提示(ab)2a22abb2. (ab)(ab)a2b2. a与b同向时，ab|a|b|. a与b反向时，ab|a|b|. 微思考 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个向量的夹角
4、的范围是 .() (2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量.() (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果 是向量.() (4)若abac(a0)，则bc.() 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 题组二教材题组二教材改编改编 所以b(2ab)2abb218. 4.已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的 投影为_.2 解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 120 2. 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条
5、件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析根据向量数量积的定义可知， 若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角， 若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0， 所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件. 解析在ABC中，由余弦定理得 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一平面向量数量积的简单应用 多维探究 命题点1平面向量的模 例1(2020全国)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 解析将|ab|1两边平方，得a22abb21. a2b21， 12ab11，即2ab1. 命题点2平面向量的夹角 例2(2020全国)已知向量a，b满足|a
6、|5，|b|6，ab6，则 cosa，ab等于 解析|ab|2(ab)2a22abb2 25123649， |ab|7， 命题点3平面向量的垂直 例3(2020全国)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直， 则k_. 解析由题意知(kab)a0，即ka2ba0. 因为a，b为单位向量，且夹角为45， (1)求解平面向量模的方法 思维升华 (2)求平面向量的夹角的方法 解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中. 跟踪训练1(1)(2020唐山模拟)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1e2| ，则|e1e2|_.1 (2)(2019全国)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，
7、则a与b的 夹角为 解析设a与b的夹角为， (ab)b， (ab)b0， abb2， |a|b|cos |b|2， 又|a|2|b|， 整理可得(1)34cos 1209160， 例4(1)(2020新高考全国)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的 一点，则 A.(2,6) B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6) 题型二平面向量数量积的综合运算 师生共研 解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 高考改编题已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则 的 取值范围是_. 解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(
8、2,0)， (0,4) (2)(2019天津)在四边形ABCD中，ADBC，AB ，AD5，A 30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则 _.1 解析方法一在等腰ABE中，易得BAEABE30，故BE2， 方法二在ABD中，由余弦定理可得 则cos cos(180ABD30)cos(ABD30) cosABDcos 30sinABDsin 30 在ABE中，易得AEBE2， 向量数量积综合应用的方法和思想 (1)坐标法. 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法. 适当选取一组基底，写出向量
9、之间的联系，利用向量共线构造关于设定 未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题 是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正 弦定理、余弦定理等知识的应用. 思维升华 方法二如图， 以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴， 建立平面直角坐标系， 题型三平面向量的实际应用 多维探究 命题点1平面几何中的向量方法 例5已知平行四边形ABCD，证明：AC2BD22(AB2AD2). AC2BD22(AB2AD2). 命题点2向量在物理中的应用 例6若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知 |F
10、1|1 N，|F2| ，F1与F2的夹角为45，求： (1)F3的大小； 解三个力平衡， F1F2F30， (2)F3与F1夹角的大小. 解方法一设F3与F1的夹角为， 方法二设F3与F1的夹角为， 由余弦定理得 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 思维升华 跟踪训练3(1)点P是ABC所在平面上一点，若 则点P是ABC的 A.外心 B.内心C.重心 D.垂心 同理PABC，PCAB， 所以P为ABC的垂心. (2)一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F(4，5)， 则F对该物体做的功为_. 解析A(20,15)，B(7,0)， 23 极化恒等式拓展视野
11、一、极化恒等式 1.极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的 模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式. 2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为 邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 二、极化恒等式的应用 1.求数量积求数量积 例1设向量a，b满足 ，则ab等于 A.1 B.2 C.3 D.5 2.求最值求最值 例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半 轴(含原点)上滑动，则 的最大值是_.2 解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN
12、，ON， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 3.求模长求模长 例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac) (bc)0，则|c|的最大值是 D为线段AB的中点， KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 2.设a，b是非零向量，则“ab|a|b|”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由数量积定义得ab|a|b|cos |a|b|，(为a，b夹角)， cos 1，0， 0，ab；
13、反之，当ab时，a，b的夹角0或， ab|a|b|. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.设向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)c，则等于 A.3 B.2 C.2 D.3 解析由题意得 ab(1，13)， 又(ab)c，c(2,1)， (ab)c0， 即2(1)130， 3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设b(x，y)， 则有a2b(2,4)(2x,2y)(22x,42y)(0,8)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(
14、多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 中的真命题是 A.(ab)c(ca)b0 B.|a|b|ab| C.(bc)a(ac)b不与c垂直 D.(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由于b，c是不共线的向量，因此(ab)c与(ca)b相减的结果应为向 量，故A错误； 由于a，b不共线，故a，b，ab构成三角形，因此B正确； 由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，故C中两向量垂直， 故C错误； 根据向量数量积的运算可以得出D是正确的. 故选BD. 12345678910 11
15、 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设向量e1，e2的夹角为，则e1e2cos ， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2021武昌调研)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|5， 则(2ab)b_. 解析(2ab)b 2abb2 2|a|b|cosa，b|b|2 225cos 605215. 15 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(2020山东师大附中模拟)已知向量a，b，其中|a| ，|b|2，且 (ab)a，则向量a和b的夹角是_，a(ab)_.6 123456
16、78910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，设向量a，b的夹角为， 所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.(2020景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30，cma (1m)b，bc0，则m_. 解析bcbma(1m)bmab(1m)b2 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析M为BC的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.
17、 (1)求a与b的夹角； 解因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，所以644ab2761， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求|ab|； 解|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， 12345678910 11 12 13 14 15 16 若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知向量a(cos x，sin x)，b(3， )，x0，. (1)若ab，求x的值； 12345678910
18、11 12 13 14 15 16 (2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以O为ABC的重心， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0,2)，D(2,0)， 所以直线BD的方程为yx2， 因为P点在边AC的中线BD上， 所以可设P(t,2t)(
19、0t2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(2020潍坊模拟)已知f(x) |sin x|，A1，A2，A3为图象的顶点，O， B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2， Q5.记ni (i1,2，5)，则n1n5的值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 A2OC30，A2CO60， A3DA2C，OA2DA3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，| | 1，且AOC，其中O为坐标原点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设D(t,0)(0t1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若 ，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的 最小值及对应的值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则mn1cos2sin22sin cos 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
