1、一轮大题专练一轮大题专练 12导数（有解问题导数（有解问题 2） 1已知函数( )sin1 x f xeaxxx，0 x，aR （1）当 1 2 a 时，求证：( ) 0f x ； （2）若函数( )f x有两个零点，求a的取值范围 解： （1）证明：当 1 2 a 时， 1 ( )sin1 2 x f xexxx， 则 1 ( )( cossin )1 2 x fxexxx， 1 ( )sincos 2 x fxexxx， 因为0 x， 所以1 x e ， 1 sin0 2 xx， 因此( ) 1cos0fxx， 所以( )fx在0，上单调递增， 于是( )(0)0fxf， 因此( )f x
2、在0，上单调递增， 所以( )f xf(0)0 （2）由（1）知，当 1 2 a时， 1 ( )sin1 0 2 x f xexxx，当且仅当0 x 时取等号， 此时函数( )f x仅有 1 个零点， 当 1 2 a 时，因为( )sin1 x f xeaxxx， 所以( )( cossin )1 x fxea xxx， ( )( sin2cos ) x fxea xxx， 当 2 x ，时，( )0fx，( )fx单调递增， 当0 x， 2 时，( )(3sincos ) x fxeaxxx， 因为0 x e ，(3sincos ) 0axxx， 所以( )0fx，所以( )fx单调递增，
3、又(0)120fa ， 2 ()0 22 fea ， 因此( )fx在0， 2 上存在唯一的零点 0 x，且 0 (0,) 2 x 当 0 (0,)xx时，( )0fx，所以( )fx单调递减， 当 0 (xx，) 2 时，( )0fx，所以( )fx单调递增， 又(0)0f ， 0 ()(0)0fxf，( )10fea ， 因此( )fx在0，上存在唯一的零点 1 x，且 10 (xx，)， 当 1 (0,)xx时，( )0fx，所以( )f x单调递减， 当 1 (xx，)时，( )0fx，所以( )f x单调递增， 又f(0)0， 1 ()f xf(0)0，( )10fe ， 所以( )
4、f x在 1 (x，)上存在唯一零点， 因此( )f x在0，上有两个零点， 综上，a的取值范围是 1 ( 2 ，) 2已知函数( )2 x f xxeaxa （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 解： （1）当1a 时，( )21 x f xxex， ( )(1)2 x fxxe， 因为(0)3 f ，(0)1f ， 所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为310 xy （2）因为( )f x有两个零点，所以方程( )0f x 有两个不同的根， 即关于x的方程(21) x xaxe有两个不同的
5、解， 当 1 2 x 时，方程不成立，所以 1 2 x ， 令( ) 21 x xe g x x ，则ya与( ) 21 x xe g x x 的图象有两个交点， 且 2 22 (21)(1)(21) ( ) (21)(21) xx xxexxe g x xx ， 令( )0g x，得 1 2 x 或1x ，令( )0g x，得 11 22 x或 1 1 2 x， 所以( )g x在 1 (,),(1,) 2 上单调递增，在 1 11 (, ),( ,1) 2 22 上单调递减， 当 1 2 x 时，( )g x取得极大值 11 () 24 g e ， 当1x 时，( )g x取得极小值g（1
6、）e， 因为 1 4 e e ，且当0 x 时，( )0g x ， 所以a的取值范围是 1 (0,)( ,) 4 e e 3已知函数 2 1 ( ) 2 f xxax （1）若( )( )g xf xxalnx，讨论( )g x的单调性； （2）已知( )2 ( )42h xf xxlnxa，若方程( )0h x 在 1 ,) 2 有且只有两个解，求实数a 的取值范围 解： （1）依题可得 2 1 ( )(1) 2 g xxaxalnx，定义域为(0,)， 所以 2 (1)(1)() ( )(1) axaxaxxa g xxa xxx 当0a时，由( )0g x，得01x，由( )0g x，得
7、1x ， 则( )g x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,) 当01a时，由( )0g x，得1ax，由( )0g x，得xa或1x ， 则( )g x的单调递减区间为( ,1)a，单调递增区间为(0, )a和(1,) 当1a 时，( ) 0g x恒成立，则( )g x的单调递增区间为(0,) 当1a 时，由( )0g x，得1xa，由( )0g x，得1x 或xa， 则( )g x的单调递减区间为(1, )a，单调递增区间为(0,1)和( ,)a （2） 2 ( )2 ( )42242h xf xxlnxaxaxxlnxa 方程( )0h x 在 1 ,) 2 有且只有两个解，
8、 即关于x方程 2 2 2 2 xxlnx a x 在 1 ,) 2 上有两个 不相等的实数根 令 2 2 ( ) 2 xxlnx t x x ， 1 ,) 2 x，则 2 2 324 ( ) (2) xxlnx t x x 令 2 ( )324p xxxlnx， 1 ,) 2 x，则 (21)(2) ( ) xx p x x ， 因为( ) 0p x在 1 ,) 2 上恒成立，故( )p x在 1 ,) 2 上单调递增 因为p（1）0，所以当 1 ,1) 2 x时，有( )0p x ，即( )0t x，所以( )t x单调递减； 当1x，)时，有( )0p x ，即( )0t x，所以( )
9、t x单调递增 因为 192 ( ) 2105 ln t，t（1）1， 41 (4)32( ) 32 tlnt， 所以a的取值范围是 192 ( , 2 2010 ln 4已知实数aR，设函数 2 ( )() x f xxa eax，xR （）若0a ，讨论( )f x的单调性； （）若方程( )0f x 有唯一实根 0 x，求实数 0 x的取值范围 解： （）若0a ，则 2 ( ) x f xx e，令 2 ( )2(2) xxx fxxex exex， 令( )0fx，解得2x 或0 x ，令( )0fx，解得20 x ， 函数( )f x在(, 2) ，(0,)单调递增，在( 2,0)
10、单调递减； （）当0a 时， 2 ( ) x f xx e显然只有一个零点，即方程( )0f x 有唯一实根 0 0 x ； 当0a 时，令( )0f x ，则 2 () x xa eax，即20 x xa e ax 有唯一实数解， ( ) i当0a 时，则0 x ，2 4 xa ax ，而1 x e，显然无解； ( )ii当0a 时，若0 x ，则2220 xa ax ，而0 x e，显然无解，则0 x ， 令( ), ( )2 x xa g xh xe ax ，则它们的图象有且仅有一个交点， 注意到( ) 2g x ，且在xa处取得等号，考虑( )2h x 的情况，可得22xln ，即直线
11、2y 与函数( )g x，( )h x分别交于点( ,2)a和( 2 2,2)ln， （A）若22aln ，则 0 22xln ； （B）若220lna，则(2)2(2)hlngln，x 时，( )( )h xg x，则存在唯一交 点 0 22xln ； （C）若22aln ，则h（a）22 a eg （a） ，(2)2(2)hlngln，由零点存在性 定理可知，存在唯一交点 0 22xln ； 综上所述，实数 0 x的取值范围为(，220ln 5已知函数( )(2)f xalnx和 2 ( )g xxax （）若曲线( )yf x和( )yg x在xb处的切线斜率都为1，求a和b； （）若方
12、程( )( )f xg x在区间 1 e， 2 e上有解，求a的取值范围 解： （）函数( )(2)f xalnx的导数为 2 ( ) a fx x ， 所以曲线( )yf x在xb处的切线的斜率为 2 1 a b ， 2 ( )g xxax 的导数为( )2g xxa ， 所以曲线( )yg x在xb处的切线的斜率为21a ， 由，解得1a ，1b ； （）方程( )( )f xg x在区间 1 e， 2 e上有解， 则 2 ()2a lnxxlnxx在区间 1 e， 2 e上有解， 设( )h xlnxx，则 1 ( )h xx x ， 当 1 1x e 时，( )0h x，( )h x递
13、增； 当 2 1x e 时， ，( )0h x，( )h x递减 所以( )h x的最大值为h（1）10 ， 所以( )0h x ，所以 2 2lnxx a lnxx 令 2 2 ( ) lnxx F x lnxx ，则 2 2(1)(1) ( ) () xxlnx F x lnxx ， 由1yxlnx 的导数为 1 1y x ，可得1yxlnx 在(1,)递增，(,1)递减， 则1yxlnx 的最小值为yh（1）20，即有10 xlnx 恒成立， 所以( )0F x，所以1x ， 所以( )F x在 1 e，1)递减，在(1， 2 e递增， 所以( )F x在1x 处取得最小值 1， 因为(
14、 )F x与ya相交有解， 2 121 ( )5 1 e F ee F（e） 2 2 3 1 e e ， 1 ( )FF e （e） ， 所以F（1） 1 ( )a F e ，所以 2 21 1 1 e a e ， 所以a的取值范围为 2 21 (1,) 1 e e 6已知函数 2 1 ( )sin 2 x f xeaxx，其中aR，令( )( )g xfx （1）求证：当1a时，( )g x无极值点； （2）若函数( )( )(1)h xg xln x，是否存在实数a，使得( )h x在0 x 处取得极小值？并说 明理由 解： （1）证明：( )( )cos x g xfxeaxx，则( )
15、sin x g xeax， 显然0 x e ，1 sin1x ，当1a时，sin01 0 x eaxa ， ( )g x在R上为增函数，无极值点； （2）存在2a ，使得( )h x在0 x 处取得极小值理由如下： ( )cos(1) x h xeaxxln x，则 1 ( )sin 1 x h xeax x ， 显 然0 x 是( )h x的 极 小 值 点 的 必 要 条 件 为(0)20ha， 解 得2a ， 此 时 1 ( )sin2 1 x h xex x ， 显然当(0,) 2 x 时， 111 ( )sin21sin2 2 (1)sin2sin0 111 x h xexxxxxx
16、 xxx ； 当 1 (,0) 4 x 时， 2 2 3 (1)(1)1(31)1 22 x xxxx ，故 2 13 1 12 xx x ， 令 2 ( )(1) 2 x x m xxe，则 2 ( )0 2 x x m xe ，故( )m x在R上为减函数， 故当0 x 时，( )(0)1m xm，即 2 1 2 x x ex ， 令 1 ( )sin 2 n xxx， 则 1 ( )cos 2 n xx， 当( 1,0)x 时， 1 ( )cos10 2 n x， 故( )n x在( 1,0) 单调递增， 故当( 1,0)x 时，( )(0)0n xn，即 1 sin 2 xx， 故当
17、1 (,0) 4 x 时， 2 22 131 ( )sin2(1)(1)220 12222 x xx h xexxxxxx x ， 因此，当2a 时，0 x 是( )h x的极小值点，即充分性也成立 综上，存在2a ，使得( )h x在0 x 处取得极小值 7已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xaxaxlnx， 2 7 ( )2 8 g xxbx （1）若1a 时，函数( )f x有极小值，试确定a的取值范围； （2）当 1 4 a 时，函数( )f x在(0，2上的最大值为M，若存在1x，2，使得( )g xM 成立，求实数b的取值范围 解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)，
18、 1(1)(1) ( )(1),0 axx fxaxax xx ， 当0a 时， 1 ( ) x fx x ，令( )0fx，解得01x，令( )0fx，解得1x ， ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，此时( )f x无极小值； 当0a 时，令( )0fx，解得 1 x a 或1x ， ( ) i当01a时， 1 1 a ，令( )0fx，解得01x或 1 x a ，令( )0fx，解得 1 1x a ， ( )f x在 1 (0,1),(,) a 上单调递增，在 1 (1,) a 上单调递减，此时( )f x在 1 x a 处取得极小值， 符合题意； ( )ii当0a
19、 时， 1 0 a ，令( )0fx，解得01x，令( )0fx，解得1x ， ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，此时( )f x无极小值； 综上，实数a的取值范围为(0,1)； （2）由（1）知，当 1 4 a 时，函数( )f x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数， 9 (1) 8 Mf ， 存在1x，2，使得 9 ( ) 8 g x成立，即存在1x，2，使 2 79 2 88 xbx成立，只 需函数( )g x在1，2上的最大值大于等于 9 8 ， 79 (1)12 88 79 (2)44 88 gb gb ，解得 3 2 b， 故实数b的取值范围为 3 (, 2
