1、一个椭圆定点问题与完全四边形调和性 李 伟 健 （ 安徽省滁州中学， ） 文从多个角度探讨了 年四川省预赛 试题第 题， 即： 问题 已知椭圆： （ ） 的左右两个焦点为， 离心率槡 ， 两条准线 间的距离为 槡 （）求椭圆的方程； （）设直线： 与椭圆相交于 （，） ，（，）两点， 椭圆的左顶点为， 连接 ， 并延长交直线 于 （，） ，（，） 两点， 若 ， 求证： 直线 恒过定 点， 并求出定点坐标 图 图 文 评述椭圆的这一定点问题时， 指出其特 征是“ 点多线杂” 从抽象概括、 垂直延伸、 横向思考、 建构模型等方面， 对这一问题进行探究和迁移 然而一个需要思考的问题是， 问题的结构
2、特 征究竟是什么？ “ ” 与“ 直线 恒 过定点”内在的联系究竟是什么？ 这是文 并未回 答的问题 经过一番深入思考， 确认问题实际上是由如 下平面几何问题演变而来， 即： 问题如图， 已知完全四边形 ， 直线 、 交于点， 直线 、 交于点， 直线 、交于点， 过点、作直线的平行线 交直线 于点、， 直线 、交直线 于点 、， 那么 接下来， 本文详细阐述问题究竟如何演变为 问题 观察问题， 其结构特征是完全四边形调和 性， 即： 完全四边形调和性完全四边形通过每一个 对角点有一组调和线束， 即通过这个对角点的两边 和对角三角形的两条边 这是高等几何中一条十分重要的性质， 考虑其 广泛的应
3、用性， 文 曾将这一性质的高等几何中 的证明翻译成平面几何语言 目的是希望这一性质 为读者所理解并加以应用 下面给出问题的证明 证明在完全四边形 中，、调和分 割、， 所以、调和分割、和、 ， 即 当四点、置于一个椭圆上时， 从问题 的证明过程看： 、调和分割、，、调和分割 、， 根据极点极线的定义， 可知点的极线是直 线 问题演变为问题， 实际上是对上述判断进一 步特殊化， 即将、置于椭圆 （ ）的左右顶点， 直线 置于椭圆的右准线 问题设置的条件 恰为 ， 本文接下来解释为什么 可以推出直线 经过右焦点 专论荟萃 数学通讯 年第期（ 下半月） 图图 使用同一法， 如图， 假设直线 与轴交于
4、 点， 直线、 交于点 ， 直线 、 交于点 ， 过点、作轴的平行线交直线 于点 、 ， 直线 与轴交于点 ， 直线 、 交于点 ， 那么 又 ， 且 ， ， 所以 ， 因此直线 与直线 重合， 所以点是直线 的极点， 即 为椭圆的右准点 上述讨论， 实际上证明了如下问题， 即： 问题 已知为椭圆： （ ）的左顶点， 直线与椭圆相交于，两点， 连接， 并延长交准线 于、两点， ，的纵坐标为， 那么 当且仅当直线 过椭圆的右焦点 通过上述讨论可以看到抛物线的这一定点问题 是以问题作为模型演化而来， 继续考察这一模型 的应用， 文 曾探究如下问题， 即： 问题 线段 是椭圆 （ ）过定点（，）的一
5、动弦，是轴上任一点， 直 线 、 与直线 交于、两点， 的纵坐标为， ， 那么 实际上， 问题也是以问题为模型演变而来， 考虑问题的一般形式， 即： 图图 问题如图 ， 已知完全四边形 ， 直线 、 交于点， 直线 、 交于点， 直线 、交于点， 直线 、交直线 于点 、，为直线上一动点， 直线 、 交直线 于点、 那么， 在直线上运动过程中， 恒成立 证明在完全四边形 中，、调和分 割、， 所以、调和分割、 ， 即 问题实际上是问题中将点、置于椭圆 的左右顶点， 点、 直线 置于椭圆 一对特殊极点 （ ，） 、极线 的 结果 完全四边形调和性是几何中一条非常重要的性 质， 由它生成的自共轭三
6、角形在圆锥曲线问题的探 究中有十分重要的应用， 本文对椭圆的这一定点问 题的考察从侧面佐证了这一判断 读者不妨考察文 、 文探究的问题， 很可能获得同样的感悟 关于完全四边形调和性生成自共轭三角形， 鉴 于其重要意义， 文 曾使用平面几何语言有过精 确描述， 遗憾的是文 对此批评文 “ 仍算不上 简捷证法” 实际上， 本文以及文 探讨的问题， 调和点列 都只是问题的表象， 问题真正的核心是本文陈述的 这一判断 文 提供的简捷证法， 并未触及自共轭 三角形的生成过程（ 文 未能解释为什么点在 直线 ， 而这一点才是问题的关键） 希 望本文连同文 能够引起同行们对完全四边形调 数学通讯 年第期（
7、下半月） 专论荟萃 和性在圆锥曲线问题探究活动的重要价值的注意 参考文献： 宋春龙 一道圆锥曲线竞赛试题引发的探究与 迁移 数学通讯（ 下半月） ， （ ） ： 李伟健 椭圆的一个结论的演变历程 数学 通讯（ 下半月） ， （ ） ： 彭世金 圆锥曲线类准线的一个统一性质再探 数学通讯（ 下半月） ， （ ） ： 孔繁文对一道省际大联考试题的推广探究 数学通讯（ 下半月） ， （ ） ： 干志华圆锥曲线中的一个割线性质再探究 数学通讯（ 下半月） ， （ ） ： 曾建国 圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推 广 数学通讯（ 下半月） ， （ ） ： 封底 （ 收稿日期： ） 对一个数学问题的探究性
8、学习 郑 丽 生 （ 福建省仙游第一中学， ） 普通高中数学课程标准 （ ）指出： “ 数学 探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合 实践活动， 也是高中阶段数学课程的重要内容” ， “ 数 学探究活动是围绕某个具体的数学问题， 开展自主 探究、 合作研究并最终解决问题的过程” 下面是以一个数学问题为案例引导学生所进行 的一系列探究 案例（ 数学教学 年第期数学问题 ）在平面直角坐标系 中，、是椭圆： （ ）与直线的两个交点， 为椭圆上异于、的动点， 过、分别作 、 的垂线， 两者交于点 求证： 点总是位于椭 圆 ： 上 本题内涵丰富， 难度适中， 不应满足于会解， 可 引导学生进行深入
9、探究 本题的结论揭示了椭圆与 其一条定直径的一个关联性质， 不妨记为 性质 设、是椭圆： （ ）与直线： 的两个交点，为椭圆上异 于、的动点， 过、分别作直线 、 的垂 线， 则两垂线的交点恒在椭圆 ： 上 横向探究： 由椭圆到双曲线的探究 问题 性质揭示了椭圆与其一条特殊的定 直径的一个关联性质， 我们自然要问： 双曲线是否具 有类似性质？ 即： 设、是双曲线： （ ， ） 与直线： 的两个交点，为双曲线 上异于、的动点， 过、分别作直线 、 的垂线， 那么两垂线的交点是否恒在双曲线 ： 上？ 探究 由 ， 烅 烄 烆 ， 得 ， 解得 槡 （ 由双曲线 与直线相 交知）不妨设（，） ，（，） ， 其中 槡 先考虑直线 、 的斜率均存在的情况 此 时， 若直线 、 中有一条斜率为， 则另一条斜 率必不存在， 这不适合直线 、 的斜率均存在 专论荟萃 数学通讯 年第期（ 下半月）
