1、一轮大题专练一轮大题专练 3导数（极值、极值点问题导数（极值、极值点问题 1） 1已知函数( )2()1 x f xe lnxa （1）若0a ，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程 （2）若1a ，证明：( )f x存在极小值 （1）解：当0a 时，( )21 x f xe lnx， 所以 1 ( )2() x fxe lnx x 所以f（1）1， f （1）2e 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为12 (1)ye x ， 即2210exye （2）证明：由( )2()1 x f xe lnxa，得 1 ( )2() x fxe lnxa x 令 1 (
2、 )h xlnxa x ，则 22 111 ( ) x h x xxx 当01x时，( )0h x；当1x 时，( )0h x 所以( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以( )h x的最小值为h（1）1a 因为1a ，所以h（1）10a ， 1 ()0 a a h e e 因为( )h x在(1,)上单调递增， 所以存在 0 (1,) a xe，使得 0 ()0h x， 在 0 (1,)x上，( )0h x ，在 0 (x，)上，( )0h x ， 即在 0 (1,)x上，( )0fx，在 0 (x，)上，( )0fx， 所以( )f x在 0 (1,)x上单调递减，
3、在 0 (x，)上单调递增， 所以( )f x存在极小值 2已知函数 2 ( ) 2 m f xlnxx，mR （1）若0m ，函数( )f x图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为 2，求切线斜率 取到最小值时的切线方程； （2）若( )( )F xf xmx有两个极值点，且所有极值的和不小于 2 3 2 e ，求m的取值范围 解： （1） 1 ( )fxmx x ，0 x ， 当0m 时， 1 ( )2fxmxm x ，当且仅当 1 mx x ，即 1 x m 时取等号，( )f x取得最小 值2 m， 所以22m ，又f（1） 1 2 ， 所以1m ，此时切线方程 1 2(1) 2
4、yx，即4230 xy； （2） 2 ( )( ) 2 m F xf xmxlnxxmx，0 x ， 则 2 11 ( ) mxmx F xmxm xx ， 因为( )F x有两个极值点，所以 2 10mxmx 在0 x 时有两不等根，设为 1 x， 2 x， 所以 2 0 40 m mm ， 解得4m ，且 12 1xx， 12 1 x x m ， 22 12121212 ()()()() 2 m F xF xlnxlnxxxm xx 2 12121212 ()()2()1 22 mm ln x xxxx xm xxlnm ， 令( )1 2 m g mlnm ，则 11 ( )0 2 g
5、m m ，4m ， 所以( )g m单调递减且 2 2 ()3 2 e g e ， 由 2 2 ( )3() 2 e g mg e， 所以 2 4m e 3已知函数( )(1)f xxalnx的最小值为 0 （）求a； （）设函数( )( )g xxf x，证明：( )g x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 1 ()() 4 g xg x 解： （）( )(1)f xxalnx，定义域是(0,)， ( )1 axa fx xx ， 0a时，( )0fx，( )f x在(0,)递增，无最小值，不合题意， 0a 时，令( )0fx，解得：xa，令( )0fx，解得：xa， 故( )f x在
6、(0, )a递减，在( ,)a 递增， 故( )minf xf（a）0aaalnaalna ，解得：1a ， 综上：1a ； （）证明：由（） 2 ( )( )g xxf xxxxlnx， 则( )21 122g xxlnxxlnx ， 21 ( ) x gx x ，令( )0gx，解得： 1 2 x ，令( )0gx，解得： 1 0 2 x， 故( )g x在 1 (0, ) 2 递减，在 1 ( 2 ，)递增， 故 1 ( )( )210 2 min g xgln ，而 2 1 ()0g e ，g（1）0， 故( )g x有 2 个零点 1 x， 2 x，其中 1 1 (0, ) 2 x
7、， 2 1x ， 由 1 ()0g x，得： 11 22xlnx， 故 2 1211 1 ()() 4 g xg xxx ，当且仅当 1 1 2 x 时“”成立， 显然“”不成立， 故 12 1 ()() 4 g xg x 4已知函数( )sin() x f xexax aR，( )cos x g xex （）当0a 时，求函数( )f x的单调区间； （）若函数( )( )( )F xf xg x在( 2 ，)上有两个极值点，求实数a的取值范围 解： （）当0a 时，( )sin x f xex， 则( )(sincos )2sin() 4 xx fxexxex ， 因为0 x e ， 所以
8、当 37 (2,2), 44 xkkkZ 时，( )0fx，即( )f x在此区间上单调递减， 当 3 (2,2), 44 xkkkZ 时，( )0fx，即( )f x在此区间上单调递增， 所 以( )f x的 单 调 增 区 间 为 3 (2,2), 44 kkkZ ， 单 调 减 区 间 为 37 (2,2), 44 kkkZ ； （）设函数( )( )( )sincos(sincos ) xxx F xf xg xexaxexexxax， 令( )( )2sin x H xF xexa， 则( )H x在( 2 ，)上有两个不同的零点， ( )2(sincos )2 2sin() 4 x
9、x H xexxex ， 故当 3 (,) 24 x 时，( )0H x，则( )H x单调递增， 当 3 (, ) 4 x 时，( )0H x，则( )H x单调递减， 又( )H x在( 2 ，)上有两个不同的零点， 所以 ()0 2 ( )0 3 ()0 4 H H H ，即 2 3 4 20 0 20 ea a ea ，解得 3 24 (2, 2)aee ， 故实数a的取值范围为 3 24 (2, 2)ee 5已知aR， 2 ( )tan 1 axx f xx x （1）当0a 时，求证：对任意( 1,) 2 x ，( ) 0f x ； （2）若0 x 是函数( )f x的极大值点，求
10、a的取值范围 解： （1）证明：当0a 时， 1 ( )tan 1 f xx x ， 则 22 222222 11(1)(1cos )(1cos ) ( ) (1)(1)(1) xcos xxx xx fx cos xxcos x xcos x x ， 当( 1,) 2 x 时，1cos0 xx ， 令( )1cosh xxx ， 则( )1sin0h xx ， 所以( )h x在( 1,) 2 上单调递增， 又(0)0h， 所以当( 1,0)x 时，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递减， 当(0,) 2 x 时，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增， 所以(
11、)(0)0f xf， 所以对任意( 1,) 2 x ，( ) 0f x ， （2） 2 22 121 ( ) (1) axax fx cos xx 222 22 (1)(21) (1) xaxaxcos x cos x x 22 2 1 ()(21) cos (1) x axax x x ， 令 22 1 ( )()(21) cos x g xaxax x ， ( )g x的正负与( )f x的单调性有关，且(0)0g， 所以 3 cos(1)sin ( )2(1) xxx g xxa cos x ， 令 3 cos(1)sin ( ) xxx xa cos x ， 所以 2 4 3 12(1
12、)sin2 2 ( ) xxsin xx x cos x ， 所以当0 x， 4 时，( )0 x， 当 1 4 x ，0时， 4 3 1(1)(1cos2 )sin2 2 ( ) xxxx x cos x ， 4444 3 22(1)cos2sin2 223(1)cos52(1)41 2 0 xxxx xxxxxxx cos xcos xcos xcos x ， 所以 1 4 x ， 4 时，( ) 0 x， 所以( )x在 1 4 ， 4 上单调递增，(0)1a ， 当(0)10a ，即1a时，(0,) 4 x 时，( )0 x，( )0g x， 所以( )g x在(0,) 4 上单调递增
13、， 又因为(0)0g， 所以( ) 0g x 在(0,) 4 上恒成立， 所以( ) 0fx在(0,) 4 上恒成立， 所以( )f x在(0,) 4 上单调递增，不合题意， 所以1a舍去， 当(0)10a 时，即1a ， 0 x，使得( )x在 1 ( 4 ， 0) x恒为负， 所以( ) 0g x在 1 ( 4 ，0)上成立， 所以( )g x在 1 ( 4 ，0)上单调递减，且(0)0g， 所以 1 ( 4 x ，0)时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递增， 0 (0,)xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递减， 所以( )f x在0 x 处取得极大
14、值， 所以1a ， 综上所述，a的取值范围为(1,) 6已知函数 2 ( )(1)f xln xmx，0m （1）若( )f x在(1，f（1）)处的切线斜率为 13 2 ，求函数( )f x的单调区间； （2）( )( )sing xf xx，若0 x 是( )g x的极大值点，求m的取值范围 解： （1）( )f x的定义域是( 1,) ， 1 ( )2 1 fxmx x ， f （1） 113 2 22 m，3m， 2 1661 ( )6 11 xx fxx xx ， 令( )0fx，解得： 1 33 1 6 x ， 2 33 6 x ， 令( )0fx，解得： 1 1xx 或 2 xx
15、， 令( )0fx，解得： 12 xxx， 故( )f x在 1 ( 1,)x递增，在 1 (x， 2) x递减，在 2 (x，)递增， 即( )f x的递增区间是 33 ( 1,) 6 和 33 ( 6 ，)，递减区间是 33 ( 6 ， 33 ) 6 （2）由题意得 2 ( )(1)sing xln xmxx，(0)0g， 1 ( )2cos 1 g xmxx x ，(0)0g， 令( )( )h xg x，则 2 1 ( )2sin (1) h xmx x ，(0)21hm， 若 1 0 2 m，当( 1,) 2 x 时， 2 1 (1) y x 单调递增， 故( )h x在( 1,)
16、2 上单调递增， 又(0)210hm ， 2 1 ()210 2 (1) 2 hm ， 故存在 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()0h x， 故当 0 ( 1,)xx 时， 0 ( )()0h xh x ， ( )( )g xh x在 0 ( 1,)x上单调递减，又(0)(0)0gh， 故当( 1,0)x 时，( )0g x，当 0 (0,)xx时，( )0g x， 故( )g x在( 1,0)上单调递增，在 0 (0,)x上单调递减，符合题意， 若 1 2 m，当(0,) 2 x 时， 22 11 ( )2sin1sin0 (1)(1) h xmxx xx ， 故( )h x在(0,) 2 递增，( )(0)0g xg，( )g x在(0,) 2 上递增， 故0 x 不可能是( )g x的极大值点， 综上，当0 x 是( )g x的极大值点时，m的取值范围是 1 (0, ) 2
