1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 7.3*复数的三角表示 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 复数的三角表示式 1.一般地,任何一个复数z=a+bi(a,bR)都可以表示成 r(cos +isin ) 的 形式.其中,r是复数z的模 ;是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射 线OZ)为终边的角,叫做复
2、数z=a+bi的辐角 . r(cos +isin )叫做复数z=a+bi的 三角表示式,简称三角形式 .为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数 表示式,简称代数形式. 2.规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值 .通常记作 arg z , 即0arg z2. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 复数乘、除运算的三角表示 设z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则z1z2=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+ isin 2)= r1r2cos(1+2)+isin(1+2) ;= cos(1-2)
3、+isin(1-2) (z20). 这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积 ,积的辐角等于各 复数的辐角的和 ;两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得 的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 1.在复数z=r(cos +isin )中,r0.( ) 提示：r为复数的模,可以等于0,当r=0时,z=0. 2.复数的辐角0,2).( ) 提示：复数的辐角R,辐角的主值arg z0,2). 3.复数z=2没有三角形式.( ) 判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” . 提示：复数z=2的三
4、角形式可以为z=2(cos 0+isin 0). 4.复数z=1+i的三角形式可以为z=.() 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 复数的三角表示 1.复数z=r(cos +isin )的结构特点 r是复数的模,r=0; 式中的三角函数是同一个辐角的余弦和正弦; cos 在前,sin 在后; cos 和sin 之间用“+”连接. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 2.复数的代数形式与三角形式的互化 将复数的代数形式化为三角形式,要从复数三角形式的概念出发,关键是确定 两个要素,一是复数的模,二是复数的辐角.复数z=a+b
5、i(a,bR)的模可以直接利用 公式r=求出;其辐角的求法并不唯一,可以利用cos =先求出cos ,再 根据复数的几何意义,由复数对应点的坐标Z(a,b)确定辐角的终边所在的象限,进 而求出辐角;也可以利用sin =或tan =(a0)求出sin 或tan ,再由辐角的 终边所在的象限,利用“已知三角函数值求角”的方法,求出辐角. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 将下列复数表示成复数的三角形式. (1)-cos+isin; (2)sin +icos ; (3)sin-icos; (4)1+cos +isin ,0,2). 第第1讲描述运动的基本概念讲描
6、述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 解析解析 (1)-cos+isin=cos+isin=cos+isin. (2)sin +icos =cos+isin. (3)sin-icos=sin-icos=cos+isin. (4)1+cos +isin =2cos2+i2sin cos =2cos. 当0时,0,cos0, 1+cos +isin =2cos; 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 当2时,cos0, 1+cos +isin =-2cos =-2cos. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 把下列复数表示成
7、三角形式. (1)-2;(2)2-2 i;(3)-3i. 思路点拨 根据复数三角形式的定义求出r,即可. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 解析 (1)r=2,cos =-1,sin =0,可取, 所以-2=2(cos +isin ). (2)r=4,cos =,sin =-,可取, 所以2-2i=4. (3)r=3,cos =0,sin =-1,可取, 所以-3i=3. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 复数乘、除法的几何意义 1.复数乘法的几何意义 两个复数z1,z2相乘时,如图1,先分别画出与z1,z2对应的向量
8、,然后把向 量 绕点O按逆时针方向旋转角2(如果20,就要把绕点O按顺时针方向旋 转角|2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2. 2.复数除法的几何意义 两个复数z1,z2相除时,如图2,先分别画出与z1,z2对应的向量,然后把向 量 绕点O按顺时针方向旋转角2(如果20,就量把绕点O按逆时针方向旋 转角|2|),再把它的模变为原来的,得到向量,表示的复数就是. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 图1 图2 3.复数的乘、除运算可以看作是向量的旋转和伸缩,从而为把代数问题转化 为几何问题来解决提供了工具. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 把复数z1与z2对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后重合于向量, 且模相等,已知z2=-1-i,求复数z1的代数式和它的辐角的主值. 思路点拨 根据复数乘、除法的几何意义求解. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第七章第七章 复数复数 解析 由复数乘法的几何意义,得z1=z2. 又z2=-1-i=2, z1= =2=-+i, z1的辐角的主值为.
