1、高考真题 （2019全国 I 卷（文） ）已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点； （2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围 【解析】 （1） 2coscossin1cossin1fxxxxxxxx 令 cossin1g xxxx，则 sinsincoscosgxxxxxxx 当0,x时，令 0gx ，解得 2 x 当0,2x p 骣 西 桫 时， 0gx ；当, 2 x 时， 0gx ( )g x在0, 2 上单调递增；在, 2 上单调递减 又 01 10g ，10 22 g ， 1 12g 即当 0
2、,2x p 骣 西 桫 时， 0g x ，此时 g x无零点，即 fx 无零点 0 2 gg ， 0 , 2 x ，使得 0 0g x 又 g x在, 2 上单调递减， 0 xx 为 g x，即 fx 在, 2 上的唯一零点 综上所述： fx 在区间0,存在唯一零点 （2）若0,x时， f xax，即 0f xax恒成立 令 2sincos1h xf xaxxxxax 则 cossin1h xxxxa ， coshxxxgx 由（1）可知， h x 在0, 2 上单调递增；在, 2 上单调递减 且 0ha ， 2 22 ha ， 2ha min 2h xha ， max 2 22 h xha
3、当2a 时， min 20h xha ，即 0h x在0,上恒成立 h x在0,上单调递增 ( )( )00h xh=，即 0f xax，此时 f xax恒成立 当20a 时， 00 h ，0 2 h ， 0h 1 , 2 x ，使得 1 0h x h x在 1 0,x上单调递增，在 1, x上单调递减 又 00h， 2sincos10haa 0h x在0,上恒成立，即 f xax恒成立 当 2 0 2 a 时， 00 h ， 2 0 22 ha 2 0, 2 x ，使得 2 0h x h x在 2 0,x 上单调递减，在 2, 2 x 上单调递增 2 0,xx 时， 00h xh ，可知 f
4、 xax不恒成立 当 2 2 a 时， max 2 0 22 h xha h x在0, 2 上单调递减( )( )00h xh= 可知 f xax不恒成立 综上所述：,0a 【答案】 （1）见解析； （2）,0a . （2019北京卷（文） ）已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx. （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( )()|()F xf xxaaR，记( )F x在区间 2,4 上的最大值为 M（a） ，当 M（a）最小时， 求 a 的值 【解析】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3
5、 ( )211 4 fxxx 得0 x 或者 8 3 x . 当0 x 时，(0)0f，此时切线方程为y x ，即0 xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640 xy； 综上可得所求切线方程为0 xy和2727640 xy. （）设 32 1 ( )( ) 4 g xf xxxx， 2 3 ( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0 x 或者 8 3 x ， 所以当 2,0 x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x ，( )g x为减函数； 当 8 ,4 3 x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h ，所以( )0h x ，即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6aa中的较大者， 若6aa，即3a时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a 时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3. 【答案】 （）0 xy和2727640 xy. （）见解析； （）3a .
