1、5.1.2导数的概念及其几何意义 基础过关练 题组一导数的定义及其应用 1.函数 y=f(x)的自变量 x 由 x0变化到 x0+x 时,函数值的改变量y 为() A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)x D.f(x0+x)-f(x0) 2.函数 f(x)在 x=x0处的导数可表示为() A.f(x0)= lim ?0 ?(?0+?)-?(?0) ? B.f(x0)= lim ?0f(x0+x)-f(x0) C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)D.f(x0)=?(?0+?)-?(?0) ? 3.已知函数 f(x)=ax+4,若 f(1)=2,则 a=. 4.如图是函数 y=f
2、(x)的图象. (1)函数 f(x)在区间-1,1上的平均变化率为; (2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为. 5.求函数 y= ?2+ 1在 x=0 处的导数. 题组二导数的几何意义及其应用 6.函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0)的几何意义是() A.在点(x0,f(x0)处与 y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率 B.过点(x0,f(x0)的切线的斜率 C.点(x0,f(x0)与点(0,0)的连线的斜率 D.函数 y=f(x)的图象在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 7.某司机看见前方 50 m 处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车, 在刹车的过程中,汽
3、车的速度 v 是关于刹车时间 t 的函数,其图象可能 是() 8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式 正确的是() A.f(a)f(b)f (c) B.f(b)f(c)f(a) C.f(a)f(c)f(b)D.f(c)f(a)f(b) 9.如图,函数 y=f(x)的图象在 P 点处的切线方程是 y=-x+8,若点 P 的 横坐标是 5,则 f(5)+f(5)=() A.1 2 B.1C.2D.0 题组三求曲线的切线方程 10.若曲线 f(x)=x2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为 3x-y-2=0,则 () A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1
4、C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1 11.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P 点的坐标为() A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4) 12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的 切线方程是. 13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物 线 y=x2相切的直线方程是. 14.试求过点 M(1,1)且与曲线 y=x3+1 相切的直线方程. 能力提升练 题组一导数的定义及其应用 1.(2020 浙江宁波中学高二下期中测试,)甲
5、、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示,则治污效果较好的是() A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定 2.(2020 河南新乡高二上期末,)若 f(2)=3,则 lim ?0 ?(2+2?)-?(2) ? =. 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:g/mL) 与时间 t(单位:min)的函数关系式是 y=f(t),假设函数 y=f(t)在 t=10 和 t=100 处的导数分别为 f(10)=1.5 和 f(100)=-0.6,试解释它们的 实际意义. 题组二导数的几何意义及其应用 4.(2020 黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数 f(x)的图象如
6、图所示, 则下列数值排序正确的是() A.0f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2) C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3) 5.()已知函数f(x)和g(x)在区间a,b上的图象如图所示,则下列说法 正确的是() A.f(x)在 a 到 b 之间的平均变化率大于 g(x)在 a 到 b 之间的平均变化 率 B.f(x)在 a 到 b 之间的平均变化率小于 g(x)在 a 到 b 之间的平均变化 率 C.对于任意 x0(a,b),函数 f(x)在 x=x0处的瞬时变化率总大于函数 g(x)在 x=x0处的瞬时变化率 D
7、.存在 x0(a,b),使得函数 f(x)在 x=x0处的瞬时变化率小于函数 g(x) 在 x=x0处的瞬时变化率 6.(多选)()已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f(x)的图象如图所 示, 则对于任意 x1,x2R(x1x2),下列结论正确的是() A.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 C.f ?1+?2 2 ?(?1)+f(?2) 2 D.f ?1+?2 2 ?(?1)+f(?2) 2 题组三求曲线的切线方程 7.(2020 浙江金华一中高二下期中,)已知 f(x)=x2+2x+3,P 为曲线 C:y=f(x)上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 4
8、 , 2 ,则点 P 的横坐标的取值范围为() A. -,- 1 2 B.-1,0C.0,1D. - 1 2 ,+ 8.(2020 浙江丽水高二下期末,)已知过点 P(-1,1)的直线 m 交 x 轴 于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PAPB,且AB是抛物线y=x2 的切线,则直线 m 的方程为. 9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1 ?, 过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与 x 轴围成的三角形 的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分) 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.D分别写出 x=x0和 x=x0+x
9、 时对应的函数值 f(x0)和 f(x0+x), 两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以y=f(x0+x)-f(x0). 2.A由导数的定义知 A 正确. 3.答案2 解析由题意得,y=f(1+x)-f(1)=a(1+x)+4-a-4=ax, lim ?0 ? ?=a, f(1)=a=2. 4.答案(1)1 2 (2)3 4 解析(1)函数 f(x)在区间-1,1上的平均变化率为?(1)-?(-1) 1(1) =21 2 =1 2. (2)由函数 f(x)的图象知, f(x)= ?+3 2 ,-1x 1, ? + 1,1 ? ? 3, 所以函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为?(2)-
10、?(0) 20 = 33 2 2 =3 4. 5.解析y= (0+?)2+ 1- 0 + 1 = (?)2+11 (?)2+1+1 = (?)2 (?)2+1+1, ? ?= ? (?)2+1+1, y x=0= lim ?0 ? ?= lim ?0 ? (?)2+1+1=0. 6.Df(x0)的几何意义是函数 y=f(x)的图象在点(x0,f(x0)处的切线的 斜率. 7.A在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项 C,D;由于是紧急 刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项 B,故选 A. 8.A由题意可知,f(a),f(b),f(c)分别是函数 f(x)在 x=a、x=b
11、 和 x=c 处切线的斜率,则有 f(a)0f(b)f(c),故选 A. 9.C函数 y=f(x)的图象在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8, f(5)=-1, 又 f(5)=-5+8=3, f(5)+f(5)=3-1=2.故选 C. 10.B由题意得,f(1)= lim ?0 ? ? = lim ?0 (1+?)2+a(1+?)+?-1-?-? ? = lim ?0 (?)2+2?+? ? =2+a. 曲线 f(x)=x2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为 3x-y-2=0, 2+a=3,解得 a=1. 又点(1,1)在曲线 y=x2+ax+b 上, 1+a+b=1,解得 b=-1
12、, a=1,b=-1. 故选 B. 11.Cf(x)= lim ?0 ? ? = lim ?0 (?+?)3+(x+?)-2-?3-x+2 ? =3x2+1.设 P(x0,y0),则 f(x0)=3?0 2+1=4,所以 x0=1,当 x0=1 时,f(x0)=0,当 x0=-1 时,f(x0)=-4,因此 P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4). 12.答案2x+y-5=0 解析由题意知,切线的斜率 k=-2. 在点 A(2,1)处的切线方程为 y-1=-2(x-2),即 2x+y-5=0. 13.答案2x-y-1=0 解析设切点坐标为(x0,y0),y=f(x)=x2,则由题意可得,切线
13、斜率 f(x0)= lim ?0 ?(?0+?)-?(?0) ? =2x0=2,所以 x0=1,则 y0=1,所以切点坐标为 (1,1),故所求的直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 14.解析 ? ?= (?+?)3+1?3-1 ? =3?(?) 2+3?2?+(?)3 ? =3xx+3x2+(x)2, 则 lim ?0 ? ?=3x 2,因此 y=3x2. 设过点 M(1,1)的直线与曲线 y=x3+1 相切于点 P(x0,?0 3+1),根据导数 的几何意义知曲线在点 P 处的切线的斜率为 k=3?0 2,过点 M 和点 P 的切线的斜率k= ?0 3+11 ?0-1
14、 ,由-得3?0 2= ?0 3 ?0-1,解得x0=0或x0= 3 2,所以 k=0 或 k=27 4 ,因此过点 M(1,1)且与曲线 y=x3+1 相切的直线有两条, 方程分别为 y-1=27 4 (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1. 能力提升练 1.B在t0处,虽然有W甲(t0)=W乙(t0),但W甲(t0-t)W乙(t0-t),所以 在相同时间t 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较 好. 2.答案6 解析lim ?0 ?(2+2?)-?(2) ? =2 lim ?0 ?(2+2?)-?(2) 2? =2f(2)=6. 3.解析f(10)=1.5
15、 表示服药后 10 min 时,血液中药物的质量浓度上 升的速度为 1.5 g/(mLmin).也就是说,如果保持这一速度,每经过 1 min,血液中药物的质量浓度将上升 1.5 g/mL. f(100)=-0.6 表示 服药后 100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为 0.6 g/(mLmin).也就是说,如果保持这一速度,每经过 1 min,血液中药 物的质量浓度将下降 0.6 g/mL. 4.B如图所示, f(2)是函数 f(x)的图象在 x=2(即点 A)处切线的斜率 k1, f(3)是函数 f(x)的图象在 x=3(即点 B)处切线的斜 率 k2,?(3)-?(2) 32
16、 =f(3)-f(2)=kAB是割线 AB 的斜率. 由图象知 0k2kABk1,即 0f(3)f(3)-f(2)f(2).故选 B. 5.Df(x)在 a 到 b 之间的平均变化率是?(?)-?(?) ?-? ,g(x)在 a 到 b 之间 的平均变化率是?(?)-?(?) ?-? ,f(b)=g(b),f(a)=g(a), ?(?)-?(?) ?-? =?(?)-?(?) ?-? , A、B 错误; 易知函数 f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是函数 f(x)在 x=x0处的导数, 即函数 f(x)在该点处的切线的斜率, 同理函数 g(x)在 x=x0处的瞬时变化率是函数 g(x)在该点处
17、的导数, 即函数 g(x)在该点处的切线的斜率, 由题中图象知 C 错误,D 正确.故选 D. 6.AD由题中图象可知,导函数 f(x)的图象在 x 轴下方,即 f(x)0,且 其绝对值越来越小,因此过函数 f(x)图象上任一点的切线的斜率为负, 并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得 f(x)的大致 图象如图所示. A 选项表示 x1-x2与 f(x1)-f(x2)异号,即 f(x)图象的割线斜率?(?1)-f(?2) ?1-?2 为 负,故 A 正确;B 选项表示 x1-x2与 f(x1)-f(x2)同号,即 f(x) 图象的割线 斜率?(?1)-f(?2) ?1-?2 为正,
18、故 B 不正确;f ?1+?2 2 表示?1+?2 2 对应的函数值,即图中 点 B 的纵坐标,?(?1)+f(?2) 2 表示当 x=x1和 x=x2时所对应的函数值的平 均值,即图中点 A 的纵坐标,显然有 f ?1+?2 2 ?(?1)+f(?2) 2 ,故 C 不正确,D 正确.故选 AD. 7.D设点 P 的横坐标为 x0,则点 P 处的切线倾斜角与 x0的关系为 tan =f(x0)= lim ?0 ?(?0+?)-?(?0) ? =2x0+2. 4 , 2 ,tan 1,+), 2x0+21,即 x0-1 2, 点 P 的横坐标的取值范围为 - 1 2 ,+ . 8.答案x-y+
19、2=0 或 x+3y-2=0 解析令 y=f(x)=x2,设 B(t,t2), 则 kAB= lim ?0 ?(?+?)-?(?) ? =2t, 则直线 AB 的方程为 y=2tx-t2. 当 t=0 时,符合题意,此时 A(-2,0), 直线 m 的方程为 x-y+2=0. 当 t0 时,A ? 2 ,0 ,? ? ?= ? 2 + 1, 1 ,? ? ?=(t+1,t2-1), PAPB,? ? ? ?=0,即 ? 2 + 1 (t+1)-(t2-1)=0,解得 t=4 或 t=-1(B,P 重合,舍去),此时 A(2,0), 直线 m 的方程为 x+3y-2=0. 综上,直线 m 的方程
20、为 x-y+2=0 或 x+3y-2=0. 9.解析由 ? = ?2, ? = 1 ? , 得 ? = 1, ? = 1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲 线切线的斜率分别为 f(1)= lim ?0 ?(?+1)?(1) ? = lim ?0 (?+1)2-12 ? = lim ?0(x+2)=2, g(1)= lim ?0 ?(?+1)?(1) ? = lim ?0 1 ?+1- 1 1 ? = lim ?0 - 1 ?+1 =-1. 所以两条切线的方程分别为 y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即 y=2x-1 与 y=-x+2,两条切线与 x 轴的交点坐标分别为 1 2 ,0 ,(2,0),所以两切线与 x 轴围成的三角形的面积为1 21 2 1 2 =3 4.
