1、6.16.2 综合拔高练 五年高考练 考点 1平面向量的夹角和模 1.(2020 课标,6,5 分,)已知向量 a,b 满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则 cos=() A.-31 35 B.-19 35 C.17 35 D.19 35 2.(2019课标,7,5分,)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a 与 b 的夹角为() A. 6B. 3 C.2 3 D.5 6 3.(2017 课标,4,5 分,)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则() A.abB.|a|=|b| C.abD.|a|b| 4.(2019 北京,7,5 分,)设点 A,B,C
2、 不共线,则“? ? ?与? ? 的夹角为锐角” 是“|? ? ?+? ? |? ? ?|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2020 课标,14,5 分,)设 a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则 |a-b|=. 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 6.(2019课标,13,5分,)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a- 5b, 则 cos=. 7.(2017 课标,13,5 分,)已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|
3、=1,则 |a+2b|=. 考点 2平面向量的数量积及其应用 8.(2018 课标,4,5 分,)已知向量 a,b 满足|a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0 9.(2020 新高考,7,5 分,)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则? ? ? ?的取值范围是( ) A.(-2,6)B.(-6,2) C.(-2,4)D.(-4,6) 10.(2020 浙江,17,4 分,)已知平面单位向量 e1,e2,满足|2e1-e2| 2.设 a=e1+e2,b=3e1+e2,向量 a,b 的夹角为,则 cos2的最小值是. 11.(2020
4、课标,13,5 分,)已知单位向量 a,b 的夹角为 45,ka-b 与 a 垂直,则 k=. 12.(2019江苏,12,5分,)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O.若? ? ? ? =6? ? ? ? ,则? ?的值 是. 13.(2017 天津,13,5 分,)在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 R ? ?=2R? ?,? ?=? ? -? ? ?(R),且?R? ? ?=-4,则的值为 . 三年模拟练 应用实践 1.(2020 广东惠州高一期末,)如图,在平面内放置两个相同的三角板, 其中A=30,且 B,C,D 三点
5、共线,则下列结论不成立的是() A.?R ? ?= 3? ? B.? ? ? ? ? ? =0 C.? ? ?与R? ?共线 D.? ? ? ? ? ?=? ? ?R ? ? 2.(2020 安徽六安一中高一上期末,)八卦是中国文化的基本哲学概 念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH, 其中|OA|=1,给出下列结论: ? ? ?与?t? ? 的夹角为 3;?R ? ?+?t? ?=? ?;|? ?-? ?|= 2 2 |Rt ? ?|;? ?在?R? ?上 的投影向量为- 2 2 e(其中e为与?R ? ?同向的单位向量).其中正确结论的个 数为() A.1B.
6、2C.3D.4 3.(2020 山西顶级名校高一下阶段性检测,)在平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=3,DAB= 3,点 E,F 分别在 BC,DC 边上,且 ? ? ?=2? ? ,Rt ? ?=t? ? ,则? ? ?t? ?=( ) A.-8 3 B.2 C.-1D.10 3 4.(2020 浙江杭州学军中学高一上期末,)已知单位向量 a,b 的夹角为 60,若向量 c 满足|a-2b+c|3,则|c|的最大值为() A. 3B.3+ 3 C.1+ 3D.1+ 3 3 5.(多选)(2020 山东新高考第一次模拟,)如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段
7、 AB 交于圆内一点 P,若 ? ? ?=? ?,? ?=? ?+3? ?,则 () A.当 P 为线段 OC 的中点时,=1 2 B.当 P 为线段 OC 的中点时,=1 3 C.无论取何值,恒有=3 4 D.存在R,=1 2 6.()如图,在ABC 中,D,E 是 BC 上的两个三等分 点,? ? ?R? ?=2? ? ? ? ?,则 cosADE 的最小值为 . 7.()已知平面向量 a,b,c 满足 a 与 b 的夹角为锐角,|a|=4,|b|=2,|c|=1,且 |b+ta|的最小值为 3,则实数 t 的值是, ?- 1 2 ? (c-b)的取值范 围是. 8.(2020 北京首师大
8、附中高一上期末,)已知不共线的向量 a,b 满足 |a|=3,|b|=2,(2a-3b)(2a+b)=20. (1)求 ab; (2)是否存在实数,使得a+b 与 a-2b 共线? (3)若(ka+2b)(a-kb),求实数 k 的值. 9.(2020 湖南长沙长郡中学高一上期末,)已知ABC 为等边三角 形,AB=2,点 N、M 满足? ? ?=? ?,?t? =(1-)? ? ? ,R,设? ? ? =a,? ? ?=b. (1)试用向量 a 和 b 表示t ? ,? ? ?; (2)若t ? ? ? ?=-3 2,求的值. 迁移创新 10.(2020 江西景德镇一中高一上期末,)在ABC
9、 中,H 为垂心,且 3t? ? ?+4t? ?+5t? ?=0,则 cosAHB= . 答案全解全析答案全解全析 五年高考练 1.D由题意得 cos=?(?+?) |?|?+?| = ?2+? |?| ?2+?2+2?= 256 5 25+3612= 19 35.故选 D. 2.B解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,又因为|a|=2|b|,所以 2|b|2cos-|b|2=0,即 cos=1 2,又知0,所以= 3,故选 B. 解法二:如图,令? ? ?=a,? ?=b,则? ?=? ?-? ?=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又 |a|=2|b|,所以A
10、OB= 3,即= 3.故选 B. 3.A由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以 a、b 为邻边的平行四边形为矩形,所以 ab. 故选 A. 4.C |? ? ?+? ? |? ? ?|? ?+? ? |? ? ? -? ? ?|? ?2+? ? 2+2? ? ? ? ? ? ?2+? ? 2-2? ? ? ? ? ? ? ? 0,由点 A,B,C 不共线,得 0, 2 ,故? ? ? ? 0? ? ?,? ? 的夹角 为锐角.故选 C. 5.答案3 解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即 a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1 ,故 ab=-1 2,|a-b|= |?-?| 2=
11、 a2 + b2-2ab= 1 + 1 + 1= 3. 6.答案 2 3 解析|a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a- 5b)=2a2- 5ab=2, |c|=|2a- 5b|= (2?- 5b)2= 4a2+ 5b2-4 5ab=3. cos= ? |?|?|= 2 3. 7.答案2 3 解析由题意知 ab=|a|b|cos 60=211 2=1,则 |a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2 3. 8.Ba(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选 B. 9.A如图,过点 P 作 PP1直线 AB 于 P1
12、,过点 C 作 CC1直线 AB 于 C1,过点 F 作 FF1直线 AB 于 F1,? ? ? ?=|? ?|? ?|cosPAB,当PAB 为锐角 时,|? ? ?|cosPAB=|?1?|,当PAB 为钝角时,|? ?|cosPAB=-|?1?|,所以当点 P 与 C 重合时,? ? ? ?最大,此时? ? ?=|?1?|?|=6,当点 P 与 F 重合时,? ? ? 最小,此时? ? ? ?=-|?t1?|? ?|=-2,又因为点P是正六边形 ABCDEF内的一点,所以 -2? ? ? ?6.故选 A. 10.答案 28 29 解析由题可知 ? = ?1+ ?2, ? = 3?1+ ?
13、2 ?1= ?-? 2 , ?2= 3?-? 2 , 从而 ?-? 2 = 1, 3?-? 2 = 1, 3?-5? 2 2 |?-?|=2, |3?-?|=2, |3?-5?|2 2 ?2-2? + ?2= 4, 9?2-6? + ?2= 4, 25?2-30? + 9?2 8, 由可得 ? = 2?2, ?2= 4 + 3?2,代入可得 a 27 2, 从而 cos = ? |?|?|= 2?2 |?|?|=2 |?| |?|=2 |?|2 4+3|?|2=2 1 4 |?|2+3 2 7 29,所以 cos 228 29,故 cos 2 的最小值为28 29. 11.答案 2 2 解析因
14、为(ka-b)a=ka2-ab=0,且单位向量 a,b 的夹角为 45,所以 k- 2 2 =0,即 k= 2 2 . 12.答案3 解析过 D 作 DFEC,交 AB 于 F. D 为 BC 的中点, F 为 BE 的中点, 又 BE=2EA,EF=EA, 又 DFEO,AO=1 2AD, ? ? ?=1 2 ?R ? ?=1 2 1 2(? ? ?+? ? ). ? ? ? ? =1 4(? ? ?+? ? ) ? ? ?- 1 3 ? ? ? =1 4 ? ? ? 2 + 2 3 ? ? ? ?- 1 3 ? ? ?2 . ? ? ? ? =6? ? ? ? , ? ? ? ? =3 2
15、 ? ? ? 2-1 2 ? ? ?2+? ? ? , ? ? ?2=3? ? 2, |? ? ?|= 3|? ? |, ? ?= 3. 13.答案 3 11 解析如图,由R ? ?=2R? ?,得?R? ?=? ?+R? ?=? ?+2 3 ? ? ?=? ?+2 3(? ? ?-? ?)=1 3 ? ? ?+2 3 ? ? ?, 所以?R ? ? ?= 1 3 ? ? ?+2 3 ? ? ? (? ? ? -? ? ?)=1 3? ? ? ? -1 3 ? ? ?2+2 3? ? ? 2-2 3 ? ? ? ? , 又? ? ? ? =32cos 60=3,? ? ?2=9,? ? 2=4
16、, 所以?R ? ? ?=-3+8 3-2= 11 3 -5=-4,解得= 3 11. 三年模拟练 应用实践 1.D设 BC=DE=m,A=30,且 B,C,D 三点共线, ACB=CED=60,ACE=90,CD=AB= 3m,AC=EC=2m, ?R ? ?= 3? ?,? ? ? ? ? =0,? ? ?R? ?,故 A、B、C 成立;? ? ? ? ?=2mmcos 60=m2,? ? ? ?R ? ?=2m 3mcos 30=3m2,故? ? ? ? ?=? ? ?R ? ?不成立.故选 D. 2.B对于,多边形 ABCDEFGH 为正八边形,所以AOH=2 8 = 4,所以? ?
17、?与?t? ?的 夹角为 4,错误; 对于,若?R ? ?+?t? ?=? ?成立,则?R? ?=? ?-?t? ?=t? ? ,显然不成立,错误; 对于,AOC=2 4= 2,|? ? ?-? ?|=|? ? |= 2|? ? ?|.又|? ?|=|?R? ?|=1 2|Rt ? ?|, |? ? ?-? ?|= 2 2 |Rt ? ?|,正确; 对于,AOD=3 4= 3 4 ,则? ? ?在?R? ?方向上的投影向量为|? ?|cosAOD e=1cos 3 4 e=- 2 2 e,正确.故选 B. 3.B? ? ?=2? ?,Rt? ?=t? ?, ? ? ?=2 3 ? ? ?=2
18、3 ?R ? ?,?t? ?=1 2 ?R ? ?=-1 2 ? ? ?, ? ? ?=? ?+? ?=? ?+2 3 ?R ? ?, t ? ?=? ?+?t? ?=?R? ?-1 2 ? ? ?, ? ? ?t? ?= ? ? + 2 3 ?R ? ? ?R ? ?- 1 2 ? ? ? =2 3 ? ? ?R? ?-1 2 ? ? ?2+2 3 ?R ? ?2=2 343cos 3-8+6=2.故选 B. 4.B解法一:由题意可得 |a-2b|= (?-2?)2= ?2-4? + 4?2= 1 4 1 1 1 2 + 4= 3, |c|=|(a-2b+c)-(a-2b)|a-2b+c|+
19、|a-2b|3+ 3,当且仅当a-2b+c与a-2b反向时取等号. 故|c|max=3+ 3,故选 B. 解法二:单位向量 a,b 的夹角为 60,|a-2b+c|3, |a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4ab-4bc+2ac=1+4+c2-4111 2-4bc+2ac9,化简, 得 c2+2(a-2b)c6.|a-2b|= (?-2?)2= ?2-4? + 4?2= 1 4 1 1 1 2 + 4= 3.设 a-2b 与 c 的夹角为,则 c2+2(a-2b)c=|c|2+2 3|c|cos 6,整理得 6|?|2 2 3|?|cos -1, 即|c|2-2 3|c|-60,解得 0|
20、c|3+ 3.故|c|max=3+ 3,故选 B. 5.AC? ? ?=? ?+? ?=? ?+? ?=? ?+(? ?-? ?)=(1-)? ?+? ?. 因为? ? ?与? ?共线,所以设? ?=k? ?(kR),即(1-)? ?+? ?=k? ?+3k? ?,整理得 (1-k)? ? ?=(3k-)? ?,又? ?与? ?不共线,所以 1 ?-? = 0, 3?-? = 0, 即1? ? = ? 3?=k,解得= 3 4, 故 C 正确,D 错误; 当 P 为 OC 的中点时,? ? ?=1 2 ? ? ?,即 k=1 2,代入 1 ?-? = 0, 3?-? = 0, 得 1 ?- 1
21、 2 = 0, 3 2 -? = 0, 解得 ? = 1 2 , ? = 3 4 , 故 A 正确,B 错误.故选 AC. 6.答案 4 7 解析由题图可知,? ? ?=?R? ?+R? ?=?R? ?+?R? ?, ? ? ? =?R ? ?+R? ?=?R? ?-2?R? ?, ? ? ?=?R? ?+R? ?=?R? ?-?R? ?, ? ? ?R? ?=2? ? ? ? ?, (?R ? ?+?R? ?)?R? ?=2(?R? ?-2?R? ?)(?R? ?-?R? ?),整理得 7?R? ?R? ?=?R? ?2+4?R? ?2, 即 7|?R ? ?|?R? ?|cosADE=|?
22、R? ?|2+4|?R? ?|2, cosADE=|?R ? ?|2+4|?R? ?|2 7|?R ? ?|?R? ?| =1 7 |?R ? ?| |?R ? ?| + 4|?R ? ?| |?R ? ?| 1 72 |?R ? ?| |?R ? ?| 4|?R ? ?| |?R ? ?| =4 7, 当且仅当|?R ? ?| |?R ? ?|= 4|?R ? ?| |?R ? ?| ,即|?R ? ?|=2|?R? ?|时,等号成立, cosADE 的最小值为4 7. 7.答案-1 4;3-2 3,3+2 3 解析解法一:设? ? ?=a,? ?=b.如图,作 ODBD,BDOA, 由向量
23、加法的几何意义知, 当 b+ta=?R ? ?时,|b+ta|min= 3, |?R ? ?|= 3,又|? ?|=2, B=AOB=60,且|R ? ?|=1. b+ta=?R ? ?,ta=?R? ?-b=?R? ?-? ?=R? ?,即 t? ?=R? ?.|? ?|=|a|=4,t=-1 4. 1 2 ? + ? = 1 2 ? + ? 2 = 1 4 ?2+ ? + ?2 = 1 4 42+ 4 2 cos60 + 22=2 3, 设 c 与1 2a+b 的夹角为,0, 则 ?- 1 2 ? (c-b)=c2-c 1 2 ? + ? +1 2ab=1-12 3cos + 1 242c
24、os 60=3-2 3cos . -1cos 1, 3-2 33-2 3cos 3+2 3, ?- 1 2 ? (c-b)的取值范围是3-2 3,3+2 3. 解法二:设 a 与 b 的夹角为,为锐角,则由题意可得 |b+ta|2=b2+2tab+t2a2=4+2t42cos +16t2=16t2+16tcos +4=16 ? + cos? 2 2-4cos2+4. 当 t=-cos? 2 时,上式有最小值,又|b+ta|的最小值为 3, |b+ta|2的最小值为 3,即-4cos2+4=3,解得 cos =1 2,为锐角,cos = 1 2,此时 t=-cos? 2 =-1 4. 第二空同解
25、法一. 8.解析(1)由题知|a|=3,|b|=2, (2a-3b)(2a+b)=4a2-4ab-3b2 =432-4ab-322=20, ab=1. (2)存在.理由如下:假设存在实数,使得a+b 与 a-2b 共线,则a+b=t(a-2b),tR,即 (-t)a=(-2t-1)b, a,b 不共线, ?-? = 0, -2?-1=0, 解得 ? = 1 2 , ? = 1 2 , 即存在实数=-1 2,使得a+b 与 a-2b 共线. (3)(ka+2b)(a-kb), (ka+2b)(a-kb)=0, 即 ka2+(2-k2)ab-2kb2=0. 由(1)知 ab=1, ka2+(2-k
26、2)ab-2kb2=9k+2-k2-8k=0,即 k2-k-2=0,解得 k=-1 或 k=2. 9.解析(1)t ?=?t?-? ?=(1-)? ?-? ?=(1-)a-b. ? ? ?=? ?-? ? =? ? ?-? ? =b-a. (2)由(1)可得t ? ?=(1-)a-b(b-a)=(1-)+1ab-b2-(1-)a2=-3 2, |a|=|b|=2,ab=|a|b|cos 60=221 2=2, t ? ?=(1-)+12-4-4(1-)=-3 2,即 4 2-4+1=0,所以=1 2. 迁移创新 10.答案- 6 6 解析H 为ABC 的垂心, t? ? ? ?=0,即t? ?
27、(t? ?-t? ?)=0, t? ? ?t? ?=t? ?t? ?,同理可得t? ?t? ?=t? ?t? ?,t? ?t? ?=t? ?t? ?. 又 3t? ? ?+4t? ?+5t? ?=0, 3t? ? ?2+4t? ?t? ?+5t? ?t? ?=0, 3t? ? ?2+9t? ?t? ?=0, t ? ?t? ?=-1 3 t? ? ?2, cosAHB= -1 3t? ? ?2 |t ? ?|t? ?|=- |t? ? ?| 3|t ? ?|, 同理,3t? ? ?t? ?+4t? ?2+5t? ?t? ?=0, 即 4t ? ?2+8t? ?t? ?=0, t? ? ?t? ?=-1 2 t ? ?2, cosAHB= -1 2t ?2 |t? ? ?|t? ?|=- |t ?| 2|t? ? ?|. 可得 cos2AHB=1 6,由可知 cosAHB0,cosAHB=- 6 6 .
