1、6 本资料分享自千人 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 .2排列与组合排列与组合 6.2.16.2.1排列排列 6.2.26.2.2排列数排列数 基础过关练基础过关练 题组一题组一排列的相关概念排列的相关概念 1.(2020 湖南湘潭高二模拟)从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法 为() A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲 C.甲乙,甲丙,乙丙,乙甲,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙 2.(多选)下列问题中,属于排列问题的有() A.10 本不同的书分给 10 名同学,每人一本 B.10 位同学去做春季运动会志愿者 C.10 位同学参加不同项目的运动会比赛
2、 D.10 个没有任何三点共线的点构成的线段 3.判断下列问题是不是排列问题,如果是,请列出其所有排列;如果不是,请说明理 由. (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航,应该有多少种机票? (2)从集合 M=1,2,9中任取两个相异的元素作为 a,b,可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程? 2 ?2+ ?2 ?2=1? 题组二题组二排列数与排列数公式排列数与排列数公式 4.(2020 山东莱州第一中学高二上月考)2 0202 0192 0182 0171 9811 980 等于() A.A2 020 1 980 B.A2 020 1 981 C.A2 020 40 D.A2 02
3、0 41 5.(2019 安徽合肥第一中学高二下第二次段考) A8 5+A 8 4 A9 6-A 9 5=( ) A. 5 27 B.25 54 C. 3 10 D. 3 20 6.(2020 山西长治第二中学高二下月考)不等式A?-1 2 -n7 的解集为() A.n|-1nb,即取出的两个 数哪个是 a,哪个是 b 是确定的. 4.D2 0202 0192 0182 0171 9811 980 =2 0202 0192 0182 0171 9811 9801 97921 1 97921 =2 020! 1 979!= 2 020! (2 020-41)!=A2 020 41 . 故选 D.
4、 5.A A8 5+A 8 4 A9 6-A 9 5= 87654+8765 987654-98765= 4+1 94-9= 5 27. 故选 A. 6.C由A?-1 2 -n7,得(n-1)(n-2)-n7, 整理得 n 2-4n-50,解得-1n5, 由题可知,n-12 且 nN *, 所以 n=3 或 n=4, 即原不等式的解集为3,4. 故选 C. 7.答案8 解析A2? 3 =10A? 3,n3,nN, 2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2), 2(2n-1)=5(n-2),解得 n=8. 8.证明因为A?+1 ? -A? ? = (?+1)! (?+1-?)!-
5、?! (?-?)! = ?! (?-?)! ?+1 ?+1-? -1 = ?! (?-?)! ? ?+1-? =m ?! (?+1-?)!=mA? ?-1, 所以A?+1 ? -A? ?=mA?-1. 9.解析(1)易知 x3,xN.因为A? 3=x(x-1)(x-2),A ?+1 2 =(x+1)x,A? 2=x(x-1),所以 原不等式可化为 3x(x-1)(x-2)2x(x+1)+6x(x-1),所以 3x5,所以原不等式 的解集为3,4,5. (2)易知 2? + 1 4, ? 3, ?N, 所以 x3,xN,由A2?+1 4 =140A? 3得(2x+1)2x(2x-1)(2x- 2
6、)=140 x(x-1)(x-2), 化简,得 4x 2-35x+69=0,解得 x 1=3,x2= 23 4 (舍去). 所以原方程的解为 x=3. 10.C从 6 名同学中选出正、副组长各 1 名,不同的选法有A6 2=30 种. 11.A本题可以把 4 个单位看成 4 个不同的位置,故有A4 4=24 种不同的轮映次序. 故选 A. 12.解析“组成三位数”这件事,分两步完成: 第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即 3 个元素的一个全排列,A3 3. 第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有 2 种选法. 根据分步乘法计数原理,可以得到A3 3222=48 个不同的三位数.
7、 13.B由于五位数为偶数,因此个位数必为偶数,可在 2,4,6 中任选一个数,有 3 种选择,其他数位任意排列,由分步乘法计数原理可知,所求偶数的个数 为 3A4 4=324=72.故选 B. 14.B将甲、乙“捆绑”看成 1 个元素,与其他 2 人进行全排列,再将甲、乙二人 进行排列,故四人站成一排,甲、乙二人相邻的站法有A3 3A 2 2=12 种. 故选 B. 15.C当课程“御”排在第一周时,有A5 5=120 种排法;当课程“御”“乐”均不排 在第一周,且“御”不排在最后一周时,有A4 1A 4 1A 4 4=384 种排法.所有可能的排 法种数为 120+384=504.故选 C
8、. 16.A因为数学必须排在历史前面,所以不用考虑数学、历史的顺序, 故五门课程不同的排法共有 A5 5 A2 2=60 种. 故选 A. 17.答案144 解析先安排丁、戊、己,共有A3 3=6 种排法,排好后有 4 个空位,再安排甲、乙、 丙插入 4 个空位中,共有A4 3=24 种排法. 则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有A3 3A 4 3=144 种. 18.解析(1)分两步完成,先选 4 人站前排,有A7 4种排法,余下 3 人站后排,有A 3 3种 排法,共有A7 4A 3 3=5 040 种不同的排法. (2)解法一(元素分析法):先排甲,有 5 种排法,其余 6 人有A6
9、 6种排法,共有 5A 6 6=3 600 种排法. 解法二(位置分析法):因为甲不站两端,所以先从甲以外的 6 个人中任选 2 个人站 在两端,有A6 2种站法;再让剩下的 5 个人站在中间 5 个位置,有A 5 5种站法.根据分步 乘法计数原理,共有A6 2A 5 5=3 600 种不同的排法. (3)首先让甲、乙站两端,有A2 2种站法;再让其他人站中间 5 个位置,有A 5 5种站法. 根据分步乘法计数原理,共有A2 2A 5 5=240 种不同的排法. 19.解析(1)根据题意,分 2 步进行分析: 先将 3 名男生排成一排,有A3 3种情况, 男生排好后有 4 个空位,在 4 个空
10、位中任选 3 个,安排 3 名女生,有A4 3种情况, 则有A3 3A 4 3=144 种不同的出场顺序. (2)根据题意,将 6 人排成一排,有A6 6种情况, 其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序, 则有 A6 6 A2 2=360 种不同的出场顺序. (3)根据题意,分 3 步进行分析: 先将 3 名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有A3 3种情况; 将除甲之外的 2 名女生和 3 名男生的整体全排列,有A3 3种情况,排好后有 4 个空 位; 女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有 3 种. 根据分步乘法计数原理,有 3A3 3A 3 3=108 种不同的出场
11、顺序. 能力提升练 1.C若“角”在两端,则“宫”“羽”一定在“角”的同侧,此时有 2A4 4=48 种排 法; 若“角”在第二或第四个位置,则有 2A3 2A 2 2=24 种排法; 若“角”在第三个位置,则有 2A2 2A 2 2=8 种排法. 故可排成 48+24+8=80 种不同音序.故选 C. 2.A利用分类加法计数原理,分三种情况: (1)选派乙和丙 2 人从事翻译、导游工作,再从剩下的 3 人中选 1 人从事礼仪工作, 则排法种数是 3A2 2; (2)选派乙、丙中的 1 人从事翻译或导游中的一项工作,再从剩下的 3 人中选派 2 人从事余下的两项工作,则排法种数是 22A3 2
12、; (3)乙和丙都没有被选派,三项工作分配给丙、丁、戊三人,则排数种数是A3 3. 综上所述,不同的选派方案共有 3A2 2+22A 3 2+A 3 3=36 种.故选 A. 3.C将六个圆从左到右依次标序号为 1,2,3,4,5,6,因为每种颜色只能涂两个圆, 所以只有五种涂 法:(1,3),(2,5),(4,6);(1,4),(2,5),(3,6);(1,4),(2,6),(3,5);(1,5),(2,4),( 3,6);(1,6),(2,4),(3,5).每种涂法中分配颜色有A3 3=6 种方法,故不同的涂色方案 的种数是 56=30,故选 C. 4.B因为 A 必须坐最北面的椅子,所以
13、 A 的位置固定. B、C 两人只能选择相邻的两个座位,且二人的位置可以互换,有 4A2 2种排法,其余 三人坐剩余的三把椅子,有A3 3种排法,根据分步乘法计数原理,可得六人按要求排 列的不同座次有 4A2 2A 3 3=48 种.故选 B. 5.答案24 解析恰有两个空盒相邻的情况有 4 种,每种相邻情况下,将红、黄、蓝色的 3 个 小球放入另外 3 个盒子中,有A3 3种放法.因此,共有 4A 3 3=24 种不同放法. 6.答案72 解析先排甲、乙之外的 3 人,有A3 3种排法,然后将甲、乙插入到这 3 人形成的 4 个空中,有A4 2种方法,所以不同的安排方案有A 3 3A 4 2
14、=72 种. 7.答案60 解析根据题意分情况讨论:(1)先将数字 0 和 5 捆绑在一起,且 5 排在 0 的前面, 再和数字 1,3 进行排列,共有A3 3种排法,排好后形成 4 个空,最后将数字 2,4 插空, 因为偶数不能相邻,所以 2,4 不能插入与 0 相邻的空里,故有A3 2种排法. 因此,满足此条件的六位数的个数为A3 3A 3 2=36. (2)先将数字 0 和 5 捆绑在一起,且 0 排在 5 的前面,再和数字 1,3 进行排列,因为 0 不能排在最前面,所以共有A2 1A 2 2种排法,最后将数字 2,4 插空,同(1),共有A 3 2种排 法. 因此,满足此条件的六位数
15、的个数为A2 1A 2 2A 3 2=24. 综上,满足条件的六位数的个数为 36+24=60. 8.解析(1)第一步,将 4 个舞蹈节目“捆绑”起来,看成 1 个节目,与 6 个演唱节 目一起排列,有A7 7=5 040 种方法; 第二步,“松绑”,给 4 个舞蹈节目排序,有A4 4=24 种方法. 根据分步乘法计数原理,一共有 5 04024=120 960 种安排顺序. (2)第一步,将 6 个演唱节目排成一列,有A6 6=720 种方法,排好后形成 7 个空; 第二步,将 4 个舞蹈节目插入 7 个空中,有A7 4=840 种方法. 根据分步乘法计数原理,一共有 720840=604
16、800 种安排顺序. (3)加入 2 个节目后共有 12 个节目,若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有A12 12 种排法,但原来的 10 个节目已定好顺序,所以节目演出的顺序有 A12 12 A10 10=A12 2 =132 种. 9.A将“仁、义、礼、智、信”排成一排,无限制条件时有A5 5种排法,其中“仁” 排在第一位,且“智、信”相邻的排法有A2 2A 3 3种,故所求概率为A2 2A 3 3 A5 5 = 1 10,故选 A. 10.答案 2 5 解析将 1,2,3,a,b,c 排成一排,一共有A6 6种不同排法,将 1,2,3 中任取 2 个数字 作为一个“整体”,有A3 2种
17、方法,先将 a,b,c 进行排列(不考虑 a 是否在两端),有 A3 3种排法,再将“整体”与另一个数字插入 a,b,c 形成的 4 个空中,有A 4 2种方法, 再将其中 a 在两端的情形去除掉,则字母 a 不在两端,且三个数字中有且只有两个 数字相邻有A3 2(A 3 3A 4 2-A 2 1A 2 2A 3 2)种不同的排法,所以其概率为A3 2(A 3 3A 4 2-A 2 1A 2 2A 3 2) A6 6 =2 5. 11.解析5 名师生站成一排照相留念共有A5 5=120 种站法. (1)记“两名女生相邻而站”为事件 A,将两名女生“捆绑”视为一个整体与其余 3 个人全排列,有A4 4种排法,再将两名女生排序有A 2 2种站法,所以共有A 2 2A 4 4=48 种不 同站法, 则 P(A)= 48 120= 2 5, 即两名女生相邻而站的概率为2 5. (2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 B,事件 B 分两类: 教师站在一端,另一端由男生站,有A2 1A 2 1A 3 3=24 种站法; 两端全由男生站,教师站除两端和正中间外的 2 个位置之一,有A2 2A 2 1A 2 2=8 种站法, 所以事件 B 共包含 24+8=32 种站法, 则 P(B)= 32 120= 4 15, 即教师不站中间且女生不站两端的概率为 4 15.
