1、6.3二项式定理二项式定理 6.3.16.3.1二项式定理二项式定理 基础过关练基础过关练 题组一题组一二项式定理的正用与逆用二项式定理的正用与逆用 1.(a+b) 2n,nN*的展开式的项数是( ) A.2n B.2n+1C.2n-1D.2(n+1) 2.设 S=(x-1) 3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则 S 等于( ) A.(x-1) 3 B.(x-2) 3 C.x 3 D.(x+1) 3 3.设 A=3 7+C 7 235+C 7 433+C 7 63,B=C 7 136+C 7 334+C 7 532+1,则 A-B 的值为( ) A.128B.129C.4 7 D.0 4.
2、用二项式定理展开 1 + 1 ? 4= . 5.(2019 海南海口实验中学高三上月考)3C? 1+9C?2+27C?3+3nC?= (nN *). 题组二题组二二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数 6.(2020 河北石家庄高二下阶段测试) 3?3- 1 ? 7的展开式中 x7 的系数是() A.5 103B.21 C.-945D.945 7.(2020 湖南岳阳高二上期末)若 ?- ? ?2 6 的展开式的常数项为 60,则实数 a 的值 为() A.4B.2C.8D.6 8.(2020 四川绵阳中学高三 4 月线上学习评估)(2x+a) 5(其
3、中 a0)的展开式中,x2 的系数与 x 3 的系数相同,则实数 a 的值为() A.1 2 B.1 2 C.-2 D.2 9.(2020 四川成都双流中学高三月考)若(1- ?) n(nN*)的展开式的第 2、3、4 项 的二项式系数成等差数列,则 sin ?- 3 =() A.1 2 B.1 2或- 1 2 C. 3 2 D. 3 2 或- 3 2 10.(2020 辽宁本溪高三下线上模拟)若 ?6+ 1 ? ? ?(nN*)的展开式中含有常数项, 则 n 的最小值等于() A.3B.4C.5D.6 11.(2020 辽宁大连高三第一次模拟) 1 2 x + 2y 6的展开式中 x2y4
4、的系数 为. 12.(2020 山东枣庄高三上期末)? + 1 ? 6的展开式中的常数项等于 ,有理 项共有项. 13.已知 2?- 1 ? ?(nN*)的展开式的第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 25. (1)求 n 的值; (2)求展开式的常数项. 题组三题组三赋值法求系数和赋值法求系数和 14.(2020 山东济宁高二下质量检测)若 ?- 1 2 ?(nN*)的展开式的第 3 项的二项式 系数是 15,则展开式的所有项系数之和为() A. 1 32 B. 1 64 C.- 1 64 D. 1 128 15.(2020 山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x) 9=a 0+a1x
5、+a2x 2+a 9x 9,则 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|的值为() A.2 9 B.4 9 C.3 9 D.5 9 16.(2020 陕西宝鸡高考模拟检测)若 5 ? -3 ? ?(nN*)的展开式的各项系数之和为 32,则展开式中 x 的系数为. 17.(2020 山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx) 10=a 0+a1x+a2x 2+a 10 x 10,其中 m0,且 a6+14a3=0. (1)求实数 m 的值; (2)求 a2+a4+a6+a8+a10. 能力提升练能力提升练 题组一题组一多项式展开式中的特定项及项的系数多项式展开式中的特定项及项的系数 1.(20
6、20 山东济宁高二下质量检测,)(1-2?) 7 ? 的展开式中 x 2的系数为( ) A.-84B.84 C.-280D.280 2.(2020 广东珠海高三教学质量检测,)(x+1) 2?- 1 ? 5的展开式的常数项为 () A.-40B.40 C.-80D.80 3.(2020 山东枣庄第三中学高二下月考,)在 1 + ? + 1 ?2 020 10的展开式中,x2 的 系数为() A.30 B.45 C.60 D.90 4.(2020 陕西榆林二中高三月考,)若? + 1 2? 8(ax-1)的展开式中含?1 2的项的系 数为 21,则实数 a 的值为() A.3B.-3 C.2D.
7、-2 5.(2020 辽宁沈阳二中高二下月考,)已知 x(x-2) 8=a 0+a1(x-1)+a2(x- 1) 2+a 9(x-1) 9,则 a 6=( ) A.-28B.-448 C.112D.448 6.(2019 河北邯郸第一中学高三期中,)(x+2y)(x-y) 5的展开式中 x3y3的系数 为. 7.(2020 天津杨村第一中学高三上一模,)(a+x)(1+x) 4 的展开式中,若 x 的奇数 次幂的项的系数之和为 32,则 a=. 题组二赋值法求系数和 8.(2020 山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x) 6=a 0+a1x+a7x 7,若 a0+a1+a7=
8、0,则 a3=() A.-5 B.-20 C.15 D.35 9.(2020 浙江杭州高级中学高三下模拟,)已知(x+2) 5(2x-5)=a 0+a1x+a6x 6,则 a0=,a5=. 10.(2020 湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x 2+1)(4x-2)8=a 0+a1(2x-1)+a2(2x- 1) 2+a 10(2x-1) 10,则 a 1+a2+a10= . 11.(2019 浙江杭州高考模拟,)若(x-3) 3(2x+1)5=a 0+a1x+a2x 2+a 8x 8,则 a0=,a0+a2+a8=. 12.()在(2x-3y+1) 5 的展开式中,不含 y 的所有项的系数和为
9、(用数值 作答). 13.()已知(1+2x) 4=a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则 a 1-2a2+3a3-4a4= . 14.()已知A? 5=56C?7,且(1-2x)n=a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a nx n. (1)求 n 的值; (2)求?1 2 +?2 22+ ? 2?的值. 题组三题组三二项式定理的应用二项式定理的应用 15.(2020 湖南衡阳高二期末,)1.95 7 的计算结果精确到个位的近似值为() A.106B.107 C.108D.109 16.(2019 江西九江高二期末,)1-90C10 1 +90 2C 10 2 -90
10、 3C 10 3 +90 10C 10 10除以 88 的余 数是() A.2B.1 C.86 D.87 17.(2020 辽宁阜新高二调研,)设 aZ,且 0a13,若 51 2 020+a 能被 13 整除, 则 a=() A.0B.1 C.11 D.12 18.(2020 山东青岛莱西一中高二下期中,)求 30 2 020 被 7 除的余数. 答案全解全析答案全解全析 6.3.1二项式定理 基础过关练 1.B根据二项式定理可知,展开式共有 2n+1 项. 2.CS=(x-1) 3+3(x-1)2+3(x-1)+1 =C3 0(x-1)3+C 3 1(x-1)2+C 3 2(x-1)+C
11、3 3 =(x-1)+1 3=x3. 3.AA-B=C7 037-C 7 136+C 7 235-C 7 334+C 7 433-C 7 532+C 7 631-C 7 730 =(3-1) 7=27=128. 4.答案1+4 ?+ 6 ?2+ 4 ?3+ 1 ?4 解析解法一: 1 + 1 ? 4=C 4 0 1 ? 0+C 4 1 1 ? 1+C 4 2 1 ? 2+C 4 3 1 ? 3+C 4 4 1 ? 4=1+4 ?+ 6 ?2+ 4 ?3+ 1 ?4. 解法二: 1 + 1 ? 4= 1 ? 4(x+1)4= 1 ? 4(C 4 0 x4+C 4 1x3+C 4 2x2+C 4
12、3x+C 4 4x0) =1+4 ?+ 6 ?2+ 4 ?3+ 1 ?4. 5.答案4 n-1 解析3C? 1+9C?2+27C?3+3nC?=C?0+3C?1+9C?2+27C?3+3nC?-1=(1+3)n-1=4n-1. 6.D3?3- 1 ? 7的展开式的通项是 Tr+1=C7 ?(3x3)7-r - 1 ? ?=(-1)r37-rC 7 ?21- 7? 2, 令 21-7? 2 =7,解得 r=4,所以展开式中 x 7的系数是(-1)437-4C 7 4=945.故选 D. 7.A?- ? ?2 6 的展开式的通项为 Tr+1=C6 ?x6-r - ? ?2 ? =(-1) r? 2
13、C6 ?x6-3r, 令 6-3r=0,解得 r=2,则常数项为(-1) 2aC 6 2=60,解得 a=4.故选 A. 8.D(2x+a) 5的展开式的通项为 T r+1=C5 ?(2x)5-rar=25-rarC 5 ?x5-r, 因为 x 2 的系数与 x 3的系数相同,所以 22a3C 5 3=23a2C 5 2,即 4a3=8a2,又 a0,所以 a=2. 故选 D. 9.C(1- ?) n(nN*)的展开式的第 2、3、4 项的二项式系数成等差数列, 2C? 2=C?1+C?3(n3),解得 n=7, sin ?- 3 =sin 7- 3 =sin2 3 = 3 2 .故选 C.
14、10.C?6+ 1 ? ? ?的展开式的通项为 T r+1=C? ?(x6)n-r 1 ? ? ?=C ? ?6?-6?- 3 2r=C? ?6?- 15 2 r , 令 6n-15 2 r=0 ,得 n=5 4r. 又 nN *,所以当 r=4 时,n 取得最小值 5. 故选 C. 11.答案60 解析 1 2 x + 2y 6的展开式的通项为 T r+1=C6 ? 1 2 x 6-?(2y)r=22r-6C 6 ?x6-ryr. 令 r=4,得 T5=60 x 2y4. 故 x 2y4的系数为 60. 12.答案15;4 解析? + 1 ? 6的展开式的通项为 T r+1=C6 ?( ?)
15、6-r 1 ? ?=C 6 ? 6-3? 2. 当6-3? 2 =0 时,r=2, 此时常数项为C6 2=15. 当6-3? 2 为整数时,对应的项为有理项, 因为 rN 且 r6,所以 r 可取 0,2,4,6,故共有 4 项为有理项. 13.解析2?- 1 ? ?的展开式的通项为 T r+1=C? ?(2x)n-r - 1 ? ?=(-1)r2n-rC ? ?- 3 2r. (1)由展开式的第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 25,可得C? 1C?2=25, 解得 n=6. (2)由(1)知 Tr+1=(-1) r26-rC 6 ?6- 3 2r, 令 6-3 2r=0,解得 r=4
16、, 所以展开式的常数项为(-1) 426-4C 6 4=60. 14.B由题意知C? 2=?(?-1) 2 =15,解得 n=6 或 n=-5(舍去),故 ?- 1 2 ?= ?- 1 2 6,令 x=1, 得所有项系数之和为 1 2 6= 1 64. 15.B易得(1-3x) 9 的展开式的通项为 Tr+1=C9 ?(-3)rxr,a 0,a2,a4,a6,a8为正 数,a1,a3,a5,a7,a9为负数, |a0|+|a1|+|a2|+|a9| =a0-a1+a2-a3+a8-a9, 令 x=-1,得(1+3) 9=a 0-a1+a2-a3+a8-a9=4 9, |a0|+|a1|+|a9
17、|=4 9. 16.答案2 025 解析依题意,令 x=1,得(5-3) n=32,解得 n=5,则该式为5 ? -3 ? 5,其展开式的通 项为 Tr+1=C5 ? 5 ? 5-?(-3?1 2)?=55-r(-3)rC5 ? 3? 2 -5, 令3 2r-5=1,得 r=4,所以 x 的系数为 5 5-4(-3)4C 5 4=2 025. 故答案为 2 025. 17.解析(1)(1+mx) 10 的展开式的通项为 Tr+1=C10 ? (mx) r=C 10 ? m rxr,所 以 a3=C10 3 m 3,a 6=C10 6 m 6, 依题意得C10 6 m 6+14C 10 3 m
18、3=0,即 210m6+14120m3=0,整理得 m3(m3+8)=0,因为 m0,所 以 m 3=-8,所以 m=-2. (2)由(1)得 m=-2,所以(1-2x) 10=a 0+a1x+a2x 2+a 10 x 10. 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2) 10=1. 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2) 10=310. +得 2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+3 10, 即 a0+a2+a4+a6+a8+a10=1+3 10 2 . 又 a0=C10 0
19、 (-2) 0=1, 所以 a2+a4+a6+a8+a10=1+3 10 2 -1=3 10-1 2 =29 524. 能力提升练 1.C易得(1-2x) 7 的展开式的通项为 Tk+1=(-2) kC 7 ?xk,则(1-2?)7 ? 的展开式的通项为(- 2) kC 7 ?xk-1,令 k-1=2,得 k=3,所以 x2的系数为(-2)3C 7 3=-280.故选 C. 2.A2?- 1 ? 5的展开式的通项为 T r+1= C5 ?(2x)5-r - 1 ? ?=(-1)r25-rC 5 ?x5-2r, 令 5-2r=-1,得 r=3, 令 5-2r=0,得 r=5 2(舍去), 所以(
20、x+1) 2?- 1 ? 5的展开式的常数项为(-1)322C 5 3=-40.故选 A. 3.B1 + ? + 1 ?2 020 10的展开式的通项为 T r+1=C10 ? ? + 1 ?2 020 ?,r10,rN. ? + 1 ?2 020 ?的展开式的通项为 T k+1=C? ?xr-2 021k,kr,kN, 令 r-2 021k=2,可得 r=2+2 021k, 只有 k=0,r=2 满足题意, 故 x 2 的系数为C10 2 C2 0=45, 故选 B. 4.A? + 1 2? 8的展开式的通项为 T r+1=C8 ?( ?)8-? 1 2? ?= 1 2 ?C 8 ? 8-3
21、? 2 , 令8-3? 2 =-1 2,得 r=3, 此时? + 1 2? 8(ax-1)的展开式中含?1 2的项的系数为 1 2 3C 8 3a=7a, 令8-3? 2 =1 2,得 r= 7 3N,舍去, 所以? + 1 2? 8(ax-1)的展开式中含?1 2的项的系数为 7a,所以 7a=21,得 a=3.故选 A. 5.A由 x(x-2) 8=(x-1)+1(x-1)-18 知, 当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取C8 3(x-1)5(-1)3,其系数为-56, 当第一个因式取 1 时,第二个因式取 C8 2(x-1)6(-1)2,其系数为 28, 故 a6=-56+28=-2
22、8. 故选 A. 6.答案10 解析(x+2y)(x-y) 5=(x+2y)(C 5 0 x5-C 5 1x4y+C 5 2x3y2-C 5 3x2y3+C 5 4x1y4-C 5 5y5), 故它的展开式中 x 3y3的系数为-C 5 3+2C 5 2=10,故答案为 10. 7.答案3 解析因为(1+x) 4=1+4x+6x2+4x3+x4,所以(a+x)(1+x)4 的展开式中含 x 的奇数次幂 的项分别为 4ax,4ax 3,x,6x3,x5,其系数之和为 4a+4a+1+6+1=32,解得 a=3. 8.A由题意,令 x=1,可得 a0+a1+a7=(1+1)(a-1) 6=2(a-
23、1)6=0,解得 a=1, (1+x)(a-x) 6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x(1-x)6, 展开式中 x 3 的系数为C6 3(-1)3+C 6 2(-1)2=-20+15=-5,故选 A. 9.答案-160;15 解析令 x=0,得 2 5(-5)=a 0,即 a0=-160. a5为 x 5 的系数,由(x+2) 5(2x-5)=2x(x+2)5-5(x+2)5 可知,x 5的系数为 C5 1212+C 5 0(-5)=15,即 a 5=15. 10.答案512 解析(x 2+1)(4x-2)8=a 0+a1(2x-1)+a2(2x-1) 2+a 10(2x-1) 10,
24、 令 x=1,得(1+1)(41-2) 8=a 0+a1+a2+a10=2 9, 令 x=1 2,得 1 4 + 1 4 1 2 -2 8=a 0=0, a1+a2+a10=2 9-0=512. 故答案为 512. 11.答案-27;-940 解析令 x=0,得(-3) 3=a 0,所以 a0=-27. 令 x=1,得(-2) 335=a 0+a1+a2+a8, 令 x=-1,得(-4) 3(-1)5=a 0-a1+a2-+a8, +得 2(a0+a2+a8)=-1 880, a0+a2+a8=-940. 12.答案243 解析要求(2x-3y+1) 5 的展开式中不含 y 的项,只需令 y=
25、0,所以(2x-3y+1) 5 的展 开式中不含 y 的所有项的系数和为(2x+1) 5 的展开式中各项的系数和,令 x=1,得 3 5=243.故答案为 243. 13.答案-8 解析等式两边同时对 x 求导,可得 8(1+2x) 3=a 1+2a2x+3a3x 2+4a 4x 3,令 x=-1,得 a 1- 2a2+3a3-4a4=-8. 14.解析(1)易知 n7,nN.A? 5=56C?7, n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56 ?(?-1)(?-2)(?-3)(?-4)(?-5)(?-6) 7654321 , 整理可得(?-5)(?-6) 90 =1, 即 n 2-11n
26、-60=0, 解得 n=15 或 n=-4(舍去). 故 n 的值为 15. (2)由(1)得 n=15, (1-2x) n=(1-2x)15=a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a 15x 15, 令 x=0,可得 a0=1, 令 x=1 2,可得 1-2 1 2 15=a 0+ ?1 2 +?2 22+ ?3 23+ ?15 215=0, ?1 2 +?2 22+ ?15 215=-1. 15.B1.95 7=(2-0.05)7=27-C 7 1260.05+C 7 2250.052-0.057107.21, 1.95 7107.故选 B. 16.B1-90C10 1 +90 2C
27、10 2 -90 3C 10 3 +90 10C 10 10=(1- 90) 10=(1+88)10=1+88C 10 1 +88 2C 10 2 +88 3C 10 3 +88 10C 10 10=1+88(C 10 1 +88C10 2 +88 2C 10 3 +88 9 C10 10),所以 1-90C 10 1 +90 2C 10 2 -90 3C 10 3 +90 10C 10 10除以 88 的余数是 1,故选 B. 17.D因为 51=52-1,所以 51 2 020=(52-1)2 020=C 2 020 0 52 2 020-C 2 020 1 52 2 019+- C2 0
28、20 2 019521+1, 又因为 52 能被 13 整除,所以只需 1+a 能被 13 整除,因为 aZ,0a13,所以 a=12,故选 D. 18.解析30 2 020=(28+2)2 020=282 020+C 2 020 1 28 2 0192+C 2 020 2 0192822 019+22 020=28(282 019+C 2 020 1 28 2 0182+C 2 020 2 01922 019)+22 020, 故只需求出 2 2 020 被 7 除的余数即可, 因为 2 2 020=28673=2(7+1)673=2(7673+C 673 1 7 672+C 673 2 7 671+C 673 6727+1)=27(7672+ C673 1 7 671+C 673 2 7 670+C 673 672)+2,所以余数为 2.
