1、4.3函数的图象 对应学生用书第 43 页 1.描点法作图 方法步骤: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势); (4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 y=f(x)的图象y=-f(x)的图象. y=f(x)的图象y=f(-x)的图象. y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象. y=ax(a0 且a1)的图象y=logax(a0 且a1)的图象. (3)伸缩变换 y=f(x)的图象y=f(ax)的图象. y=f(x)的图象y=af(x)的图象. (4)翻折变换 y=f(x
2、)的图象y=|f(x)|的图象. y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象. 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 (a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)定义域内的任意自变量x满足 f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线 x=a对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言的,如果x 的系数不是 1,常需把系数提出来,再进行变换. 【概念辨析】 1.判断下面结论是否正确.(对的打“”,错的打“”) (1)函数y=af(x)与y=f(ax)(a0 且a
3、1)的图象相同.() (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.() (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1 对称.() (4)函数y=2|x|的图象关于直线x=0 对称.() 答案(1)(2)(3)(4) 【对接教材】 2.李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度匀速行驶.则与以 上事件吻合最好的图象是(). 答案C 解析距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加 速,直线段比前段下降得快. 3. 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不
4、等式f(x)log2(x+1)的解集是. 答案(-1,1 解析在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是 (-1,1. 【易错自纠】 4.(2021 太原调研)若关于x的方程|x|=a-x只有一个实数解,则实数a的取值范围是. 答案(0,+) 解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知,当a0 时,y=|x| 与y=a-x的图象只有一个交点,即方程|x|=a-x只有一个解. 5.设f(x)=|lg(x-1)|,若 1ab且f(a)=f(b),则ab的取值范围是. 答案 (4,+) 解析画出函数f(
5、x)=|lg(x-1)|的图象,如图所示. 由f(a)=f(b)且 1a2 ?u(由于a4. 【真题演练】 6.(2019 年全国卷)函数f(x)= sin?+? cos?+?2在-,的图象大致为( ). 答案D 解析由f(-x)= sin(-?)+(-?) cos(-?)+(-?)2= -sin?-? cos?+?2=-f(x),得 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除 A 选项. 又f 2 = 1+ 2 2 2= 4+2 2 1,f()= -1+20,排除 B,C 选项.故选 D. 对应学生用书第 44 页 作函数的图象【典例迁移】 作出下列函数的图象. (1)y=3 ?; (2)y
6、=x2-2x-1; (3)y=log2x. 解析(1)作出反比例函数y=3 ?的图象如下: (2)作出函数y=x2-2x-1 的图象如下: (3)作出函数y=log2x的图象如下: 【变式设问】作出下列函数的图象. (1)y= 3 ?-1; (2)y=x2-2|x|-1; (3)y=log2|x|. 解析(1)作出函数y= 3 ?-1的图象如下: (2)作出函数y=x2-2|x|-1 的图象如下: (3)作出函数y=log2|x|的图象如下: 点拨作函数图象的两种常用方法 (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接 作出图象.如二次函数、反
7、比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+1 ?的函数等. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换 作出,但要注意变换顺序. 【追踪训练 1】分别画出下列函数的图象. (1)y=|lg(x-1)|; (2)y=2x+1-1; (3)y=x2-|x|-2; (4)y=2?-1 ?-1 . 解析(1)首先作出y=lgx的图象,然后将其向右平移 1 个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图 象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图所示(实线部分). (2)将y=2x的图象向左平移 1
8、个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移 1 个单位长度, 得到y=2x+1-1 的图象,如图所示. (3)y=x2-|x|-2= ?2-x-2,x 0, ?2+ x-2,x 0,其图象如图所示. (4)y=2?-1 ?-1 =2+ 1 ?-1,函数的图象可由y= 1 ?的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到, 如图所示. 函数图象的识别【题组过关】 1.(一题多解)(2016 年全国卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2的图象大致为(). 答案D 解析(法一:利用特殊点进行排除求解) 令y=f(x),则f(x)=2x2-e|x|为偶函数,图象关于y轴对称. f
9、(2)=8-e20.6,排除 A,B. f(0)=-1,f 1 2 =1 2- e,f 1 2 -f(0)=1 2- e+1=3 2- e= 9 4- e0,f 1 2 f(0),排除 C.故选 D. (法二:利用函数的性质求解) f(x)=2x2-e|x|,x-2,2是偶函数, f(x)的图象关于y轴对称. 又f(2)=8-e2(0,1),故排除 A,B. 设g(x)=2x2-ex,则g(x)=4x-ex. 又g(0)0, g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点, f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除 C.故选 D. 2.(本题为多项选择题)函数f(x)= ?
10、?2+a的图象可能是( ). 答案ABC 解析若a=0,则f(x)= ? ?2= 1 ?,定义域为x|x0,选项 C 可能. 若a0,取a=1,则f(x)= ? ?2+1,定义域为 R,且是奇函数,当 x0 时函数可化为f(x)= 1 ?+1 ? ,选项 B 可能; 若a0,取a=-1,则f(x)= ? ?2-1,定义域为x|x1,且是奇函数,选项 A 可能.故不可能是选项 D,故选 ABC. 点拨函数图象的识别主要从以下两个方面入手 1.抓住函数的性质,定性分析: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)
11、从函数的周期性,判断图象的循环规律; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算: 从函数的特征点出发,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 函数图象的应用【考向变换】 考向 1研究函数的性质 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(). A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+) B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-,1) C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-,0) 答案C 解析将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,得f(x)= ?2-2x,x 0, -?2-2x,x 0, 画出函数
12、f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1) 上单调递减. 点拨对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、 零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 【追踪训练 2】已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|g(x)时,h(x)=-g(x). 则h(x)(). A.有最小值-1,最大值 1 B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 答案C 解析画出y=
13、|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由题意,在A,B两侧,|f(x)|g(x), 故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|g(x).故h(x)=-g(x). 综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. 考向 2解不等式 函数f(x)是定义在-4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如图所示,那么不等式?(?) cos?0. 当x 2,4 时,y=cos x0. 结合y=f(x)在0,4上的图象知,当 1x 2时, ?(?) cos?0. 又函数y=?(?) cos?为偶函数, 所以在-4,0上,?(?)
14、cos?0 的解集为 - 2,-1 . 所以?(?) cos?0 的解集为 - 2,-1 1, 2 . 点拨由函数图象得出在y轴右侧满足不等式的x的取值范围,再利用函数的奇偶性,得出y轴左侧满足 不等式的x的取值范围. 【追踪训练 3】(2021 洛阳模拟)若f(x)是偶函数,且当x0,+)时,f(x)=x-1,则f(x-1)0 的解集是 (). A.(-1,0)B.(-,0)(1,2) C.(1,2)D.(0,2) 答案D 解析根据函数的性质作出函数y=f(x)的图象,把函数y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,得到函数 y=f(x-1)的图象,如图,则不等式f(x-1)0 的解集为(
15、0,2). 考向 3求参数的取值范围 (2021 哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)x2-x-m的解集中有且仅有1 个整 数,则实数m的取值范围为(). A.-3,-1) B.(-3,-1) C.-2,-1) D.(-2,-1) 答案C 解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=x2-x-m的图象如图所示. 由图可知,不等式f(x)x2-x-m的解集中的整数解为x=0, 故 ?(0) 0-0-?, ?(1) 1-1-?, 解得-2m m,其中 m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b 有三个不同的根,则实数m的取值范围是. 答案(3,+) 解析
16、在同一平面直角坐标系中,作出y=f(x)与y=b的图象. 当xm时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2, 要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有 4m-m20. 又m0,解得m3. 对应学生用书第 46 页 根据函数图象特征,确定函数解析式 直观想象是发现和提出问题,分析和解决问题的重要手段,在数学研究的探索中,通过直观手段的运用以 及借助直观展开想象,从而发现问题、解决问题的例子比比皆是,并贯穿于数学研究过程的始终,而数形结合 思想是典型的直观想象范例. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是(). A.f(x)=x+sinx B.f(x)=cos? ? C.f
17、(x)=x?- 2 ?- 3 2 D.f(x)=xcosx 答案D 解析由函数的图象可知,函数的定义域为 R,所以 B 不符合;又图象关于原点对称,可知函数是奇函数, 排除 C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项 A 中的函数为增函数,不符合.所以选 D. 函数解析式与函数图象是函数的两种重要表 示法,图象形象直观,解析式易于研究函数性质,可 根据需要,相互转化. 【突破训练】(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(). A.f(x)=x2-2ln|x| B.f(x)=x2-ln|x| C.f(x)=|x|-2ln|x| D.f(x)=|x|-ln|x| (2
18、)(2021 江西南昌一模)函数f(x)= 1-?2,|x| 1, 1 |?|-1,|x| 1 的大致图象是(). 答案(1)B(2)B 解析(1)由函数图象可得,函数f(x)为偶函数,且当x0时,函数f(x)的单调性为先减后增,最小值大于零, 极小值点小于 1.分别对选项中各个函数在x(0,+)上求导,并求其导函数等于 0 的x的值,可分别 得 1, 2 2 ,2,1.由此可得仅函数f(x)=x2-ln|x|符合条件.故选 B. (2)由函数解析式可得f(x)为偶函数,当|x|1 时,f(x)=1-?2=y0,即x2+y2=1, y0,图象取x轴及其上方部分;当x1 时,f(x)= 1 ?-
19、1,其图象在第一象限单调递减.故选 B. 对应精练案第 21 页 1.函数y=-ex的图象(). A.与y=ex的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称 C.与y=e-x的图象关于y轴对称 D.与y=e-x的图象关于坐标原点对称 答案D 解析由点(x,y)关于原点对称的点是(-x,-y)知 D 正确.故选 D. 2.(2021 宝鸡一模)函数y=ln|x|-x2的图象大致为(). 答案A 解析令f(x)=y=ln|x|-x2,则f(x)的定义域为(-,0)(0,+)且f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln|x|-x2=f(x),故函数 y=ln|x|-x2为偶函数,其图象关
20、于y轴对称,排除 B,D;当x0 时,y=lnx-x2,则y=1 ?-2x,当 x 0, 2 2 时,y=1 ?-2x0,y=ln x-x2单调递增,排除 C.故选 A. 3.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一坐标系中的图象大致是(). 答案C 解析函数f(x)=1+log2x的零点是1 2,排除 A;g(x)=2 1-x是减函数,且 g(x)的图象与y轴的交点为(0,2), 排除 B 和 D.故选 C. 4.规定记号“”表示一种运算,即ab=a2+2ab-b2.设函数f(x)=x2,且关于x的方程 f(x)=lg|x+2|(x-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3
21、,x4,则x1+x2+x3+x4的值是(). A.-4B.4C.8 D.-8 答案D 解析函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x),函数y=lg|x+2|的图象均关于直线x=-2 对称,故四个根之 和为-8.故选 D. 5.(2021 潍坊一模)使 log2(-x) 1, 若对任意的xR,都有f(x)|k-1|成立,则实数k的取值范围为. 答案-, 3 4 5 4, + 解析对任意xR,都有f(x)|k-1|成立,即f(x)max|k-1|. 观察f(x)= -?2+ x,x 1, log1 3x,x 1 的图象(如图中实线部分所示)可知,当x=1 2时,f(x)max= 1 4,所
22、以|k-1| 1 4,解得 k3 4 或k5 4. 8.对于函数y=f(x)(xI),y=g(x)(xI),若对任意xI,存在x0使得f(x)f(x0),g(x)g(x0)且f(x0)=g(x0),则称 f(x),g(x)为I上的“兄弟函数”.已知f(x)=x2+px+q,g(x)=? 2-x+1 ? 是定义在区间 1 2,2 上的“兄弟函数”,则函 数f(x)在 1 2,2 上的最大值为( ). A.3 2 B.2C.4D.5 4 答案B 解析g(x)=? 2-x+1 ? =x+1 ?-12-1=1,当且仅当 x=1 时,等号成立,f(x)在x=1 处有最小值 1,即 p=-2,12-21+
23、q=1,得q=2, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 函数f(x)在区间 1 2,2 上的最大值为 2,故选 B. 9. 广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起,因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的是由一个半 径为 2 的大圆和两个半径为 1 的半圆组成的“阴阳鱼太极图”,圆心分别为O,O1,O2,若一动点P从点A出 发,按路线AOBCADB运动(其中A,O1,O,O2,B五点共线),设点P的运动路程为x,y=|O1P|2,y 与x的函数关系式为y=f(x),则y=f(x)的大致图象为(). 答案A 解析当x0,时,y=1. 当x(,2)时,?1P ?=?2P?-?2?1?,设?2P?与?2?1?的夹角为 ,|?2P ?|=1,|?2?1?|=2,=x-,y=|?1P?|2=(?2P?-?2?1?)2=5-4cos=5+4cosx,x(,2),函数y=f(x)的图 象是曲线,且单调递增,排除 C,D. 当x2,4时,?1P ?=?t? ?-?1?,设?t? ?与?1?的夹角为 ,|?t ? ?|=2,|?1?|=1,=2-1 2x,y=|?1P ?|2=(?t? ?-?1?)2=5-4cos=5-4cos1 2x,x2,4,函数 y=f(x)的图 象是曲线,且单调递减,排除 B.故选 A.
