1、第八章第八章 立体几何立体几何 第五节第五节 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 考点考点 1 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质 （2018北京卷（理） ）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC， A1C1，BB1的中点，ABBC ?，ACAA12. （1）求证：AC平面 BEF； （2）求二面角 BCDC1的余弦值； （3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 【解析】 （1）证明在三棱柱 ABCA1B1C1中， 因为 CC1平面 ABC， 所以四边形 A1ACC1为矩形 又 E，F 分别为 AC，A1C1的
2、中点， 所以 ACEF. 又 ABBC， 所以 ACBE，又 BE，EF平面 BEF，BEEFE， 所以 AC平面 BEF. （2）由（1）知 ACEF，ACBE，EFCC1. 又 CC1平面 ABC， 所以 EF平面 ABC 因为 BE平面 ABC， 所以 EFBE. 如图，以 E 为原点，EA 所在直线为 x 轴，EB 所在直线为 y 轴，EF 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz. 由题意得 B（0,2,0） ，C（1,0,0） ，D（1,0,1） ，E（0,0,0） ，F（0,0,2） ，G（0,2,1） 所以? ? ?（1，2,0） ，? ?（1，2,1） 设平面 BCD
3、 的法向量为 n（x0，y0，z0） ， 则 ? ? ? ? th ? ? ? ? th即 ? ?t? ?t? th ?t? ?t? ?t? th 令 y01，则 x02，z04. 于是 n（2，1，4） 又因为平面 CC1D 的法向量为? ? ?（0,2,0） ， 所以 cosn，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 由题意知二面角 BCDC1为钝角， 所以其余弦值为 ? ? . （3）证明由（2）知平面 BCD 的法向量为 n（2，1，4） ， ? ? ?（0,2，1） 因为 n? ? ?20（1）2（4）（1）20， 所以直线 FG 与平面 BCD 相交 【答案】见解析 （
4、2018浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A 4，C1C1，ABBCB1B2. （1）证明：AB1平面 A1B1C1； （2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 【解析】方法一（1）证明由 AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得 AB1A1B12 ?， 所以 A1? ?A? ? ?A? ? ?， 故 AB1A1B1. 由 BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC， 得 B1C1 ?. 由 ABBC2，ABC120，得 AC2 ?. 由 CC1AC，得 AC1 ?， 所以 A? ?B
5、1? ? ?A? ? ?， 故 AB1B1C1. 又因为 A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面 A1B1C1， 因此 AB1平面 A1B1C1. （2）如图，过点 C1作 C1DA1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD 由 AB1平面 A1B1C1， 得平面 A1B1C1平面 ABB1. 由 C1DA1B1，平面 A1B1C1平面 ABB1A1B1，C1D平面 A1B1C1，得 C1D平面 ABB1. 所以C1AD 是 AC1与平面 ABB1所成的角 由 B1C1 ?，A1B12 ?，A1C1 ?， 得 cosC1A1B1 ? ? ，sinC1A1B1 ? ? ， 所以 C1D
6、?， 故 sinC1AD? ? ? ? . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 ? ? . 方法二（1）证明如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间 直角坐标系 Oxyz. 由题意知各点坐标如下： A（0， ?，0） ，B（1,0,0） ，A1（0， ?，4） ，B1（1,0,2） ，C1（0， ?，1） 因此? ?（1， ?，2） ，?（1， ?，2） ，?（0,2 ?，3） 由? ?0，得 AB1A1B1. 由? ?0，得 AB1A1C1. 又 A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面 A1B1C1， 所以 AB1平面
7、 A1B1C1. （2）设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为. 由（1）可知 ? ?（0,2 ?，1） ，? ?（1， ?，0） ，?（0,0,2） 设平面 ABB1的一个法向量为 n（x，y，z） 由 ? ? ? ? th ? ? ? th得 ? ? ? th ? ? th 可取 n（ ?，1,0） 所以 sin |cos? ?，n| ? ? ? ? ? ? ? . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 ?，PAPBPCAC4，O 为 AC 的 中点 （1）证明：PO平面 ABC
8、； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 【解析】 （1）证明因为 PAPCAC4， O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 ?. 如图，连接 OB 因为 ABBC ? ? AC， 所以ABC 为等腰直角三角形， 所以 OBAC，OB? ?AC2. 由 OP2OB2PB2知 POOB 因为 OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面 ABC， 所以 PO平面 ABC （2）由（1）知 OP，OB，OC 两两垂直，则以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
9、 Oxyz，如图所示 由已知得 O（0,0,0） ，B（2,0,0） ， A（0，2,0） ，C（0,2,0） ， P（0,0,2 ?） ，? ? ?（0,2,2 ?） 由（1）知平面 PAC 的一个法向量为? ? ?（2,0,0） 设 M（a,2a,0） （0a2） ，则? ?（a,4a,0） 设平面 PAM 的法向量为 n（x，y，z） 由? ? ?n0，?n0，得 ? ? ? ? th ? ? ? ? ? ? th可取 y ?a，得平面 PAM 的一个法向量为 n（ ?（a4） ， ?a，a） ， 所以 cos? ? ?，n ? ? ? ? . 由已知可得|cos? ? ?，n|cos 30 ? ? ， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 a4（舍去）或 a? ?. 所以 n ? ? ? ? h ? ? ? h ? ? ? . 又? ? ?（0,2，2 ?） ，所以 cos? ?，n ? ? . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 ? ? . 【答案】见解析
