1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第九节第九节 直线与圆锥曲线的位置关系第直线与圆锥曲线的位置关系第 3 课时课时 考点考点 2 定值问题定值问题 （2018北京卷（理） ）已知抛物线 C：y22px 经过点 P（1,2） ，过点 Q（0,1）的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. （1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）设 O 为原点，?t ? ?，?t? ? ?，求证：? ? ? ?为定值 【解析】 （1）因为抛物线 y22px 过点（1,2） ， 所以 2p4，即 p2. 故抛物线 C 的方程为 y2
2、4x. 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 ykx1（k0） ， 由 ?4?, ?,得 k 2x2（2k4）x10. 依题意知（2k4）24k210， 解得 k0 或 0k1. 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，2） 从而 k3. 所以直线 l 的斜率的取值范围是（，3）（3,0）（0,1） （2）证明设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由（1）知 x1x2?4 ? ，x1x2 ? ?. 直线 PA 的方程为 y2? ?（x1） ， 令 x0，得点 M 的纵坐标为 yM? ? 2? ? 2. 同理得点 N 的纵坐标为 yN? ? 2. 由?t ? ?，?t? ? ?，得1yM，1yN. 所以? ? ? ? ? ?t ? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? 2. 所以? ? ? ?为定值 【答案】见解析
