1、第六章第六章数列数列 第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 考点考点 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 （2018江苏卷）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1，公比为 q 的等比数列 （1）设 a10，b11，q2，若|anbn|b1对 n1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a1b10，mN*，q（1， ? ?，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n2,3，m1 均成 立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 【解析】 （1）由条件知 an（n1）d，bn2n 1， 因为|anbn|b1对 n1,2,3
2、,4 均成立， 即|（n1）d2n 1|1 对 n1,2,3,4 均成立， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 ? ?d ? 9? 得7 ?d ? ?. 因此，d 的取值范围为 7 ? ? ? ? . （2）由条件知 anb1（n1）d，bnb1qn 1. 若存在 d，使得|anbn|b1（n2,3，m1）成立， 即|b1（n1）db1qn 1|b1（n2,3，m1） ， 即当 n2,3，m1 时，d 满足? ?t?t? ?t? b1d? ?t? ?t?b1. 因为 q（1， ? ?，则 1qn 1qm2， 从而? ?t?t? ?t? b10，? ?t? ?t?b10
3、对 n2,3，m1 均成立 因此，取 d0 时，|anbn|b1对 n2,3，m1 均成立 下面讨论数列 ?t?t? ?t? 的最大值和数列 ?t? ?t? 的最小值（n2,3，m1） 令 tn1，则 1tm， ?t? ? ? ?t?t? ?t? ? ?t?t?t? ?t? ? ? ?t?t? t? ?t? ， 当 1q2? ?时，有 q tqm2， 从而 t（qtqt 1）qt20. 因此，当 2nm1 时，数列 ?t?t? ?t? 单调递增， 故数列 ?t?t? ?t? 的最大值为? ?t? ? . 设 f（x）2x（1x） ， 当 x0 时，f（x）（ln 21xln 2）2x0， 所以
4、 f（x）单调递减，从而 f（x）f（0）1. 令 tn1，则 1tm，则 ? ? ?t? ?t? ?t? ? 2? ? ? t ? ? f ? ? 1， 因此，当 2nm1 时，数列 ?t? ?t? 单调递减， 故数列 ?t? ?t? 的最小值为? ? ?. 因此，d 的取值范围为 ?t? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018北京卷（文） ）设an是等差数列，且 a1ln 2，a2a35ln 2. （1）求an的通项公式； （2）求 ea1ea2ean. 【解析】 （1）设an的公差为 D 因为 a2a35ln 2，所以 2a13d5ln 2. 又 a1ln 2，所以 dln 2. 所以 ana1（n1）dnln 2（nN*） （2）因为 ea1eln 22， e? e?t?eanan1e ln 22， 所以数列ean是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 ea1ea2ean? ?t? ? ?t? 2（2n1）2n 12（nN*） 【答案】见解析
