1、公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！78 由定积分的几何意义引出的一个不等式 教学目的： 1.理解公式,Nn( , 1n 1 . 3 1 2 1 1nln n 1 . 4 1 3 1 2 1 )2n ； 2.提高运用导数与积分证明不等式的能力. 教学重点：公式的发现与证明 教学难点：对不等式作等价变
2、换的能力. 教学过程 一一.一个公式的发现一个公式的发现 前面我们学习了公式) 1( ,)1ln( 1 mmm m m （当且仅当0m时取“=” ） ，下 面我们根据定积分的几何意义再作一些探讨. 已知函数 x xf 1 )(。下面研究它的图象与直线nnxx(, 1N*）与 x 轴围成的图形 的面积 S. 定积分的求法：如图 3-5， 图 3-5 nxdx x S n n ln|ln 1 1 1 。 面积的估计： 如果我们将要求面积的图形作如图 3-6 分割： 图 3-6 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ
3、 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！79 发现这些小矩形的面积之和：S n 1 . 4 1 3 1 2 1 ，也就是： Nnn n ,ln 1 . 4 1 3 1 2 1 且2n。 你能得到对lnn的一个估计吗（即ln?n ）？ 二公式的完善二公式的完善 估计学生通过作下图 3-7 图 3-7 能发现这些小矩形的面积之和：S 1n 1 . 4 1 3 1 2 1 1 ，也就是： n, nln 1n 1 . 4 1 3
4、1 2 1 1N 且2n。 三公式的证明三公式的证明 有前面已学知识，师生能共同完成如下的证明。 1证明：Nnn n ,ln 1 1 . 4 1 3 1 2 1 1且2n。 证：因为0m时，)1ln(mm，于是 2ln1， 2ln3ln) 2 1 1ln( 2 1 。 3ln4ln) 3 1 1ln( 3 1 ， ) 1ln(ln) 1 1 1ln( 1 1 nn nn , 累加得: n, nln 1n 1 . 4 1 3 1 2 1 1N 且2n. 2.证明n, nln n 1 . 4 1 3 1 2 1 N 且2n. 证: 因为0m时，)1ln( 1 m m m ，于是 公众号公众号：渝城
5、高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！80 取1m,2ln 2 1 . 取 2 1 m,得2ln3ln) 2 1 1ln( 3 1 , 取 3 1 m,得3ln4ln) 3 1 1ln( 4 1 , 取 1 1 n m,得) 1ln(ln) 1 1 1ln( 1 nn nn , 累加得n, nln n 1 . 4 1
6、3 1 2 1 N*. 四四.公式的应用公式的应用 2015 年广东省高考理科第 21 题：数列 n a满足 1 21 2 2 42 n n n naaa, *Nn. (1) 求 3 a的值； (2) 求数列 n a前 n 项和 n T； (3) 令 11 ba， n n n a nn T b） 1 3 1 2 1 1 ( 1 （2n） ，证明：数列 n b的前 n 项和 n S满足nSnln22 解： （1） （2）略。 （3）当2n时， nnn a n a n a n a n b) 1 . 2 1 1 ( 1 . 11 121 。 ).)( 1 . 3 1 2 1 1 ( 21nn aaa n S =) 2 1 2)( 1 . 3 1 2 1 1 ( 1 n n 因为) 1 . 3 1 2 1 1 (2 n Sn，要证nSnln22， 只需证n n ln22) 1 . 3 1 2 1 1 (2； 只需证n n ln 1 . 3 1 2 1 。 由前述不等式，命题成立。
