1、课时作业课时作业 12函数模型及其应用函数模型及其应用 一、选择题 1(2021湖南永州测试)有一组实验数据如下表所示： t12345 s1.55.913.424.137 下列所给函数模型较适合的是(C) Aylogax(a1)Byaxb(a1) Cyax2b(a0)Dylogaxb(a1) 解析：由题表中数据可知，s 随 t 的增大而增大且增长速度越来越快，A、D 中的函数的增长速度越来越慢，B 中 的函数的增长速度保持不变，C 中的函数在 x0 时，y 随 x 的增大而增大，且增长速度越来越快故选 C 2Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了
2、某地区新冠肺炎累计 确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t) K 1e 0.23t53，其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时，标 志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln193)(C) A60B63C66D69 解析：I(t*) K 1e 0.23t*530.95K，整理可得 e 0.23(t*53) 19，两边取自然对数得 023(t*53)ln193，解得 t*66，故选 C 3在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m15 2lg E1 E2，其中星等 为 mk的星的亮度为 Ek(k1,2)已知太阳的星
3、等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 (A) A1010.1B10.1 Clg10.1D10 10.1 解析：依题意，得 m126.7，m21.45， 所以 5 2lg E1 E21.45(26.7)25.25， 所以 lgE1 E225.25 2 510.1，所以 E1 E210 10.1.故选 A 4(2021四川德阳一诊)为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争 力， 某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武， 根据以往技术资料统计， 某工人装配第 n 件工件所用的时间(单 位：分)f(n)大致服从的关系为 f(n) k
4、 n，nM， k M，nM (k，M 为常数)已知该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配 第 M 件工件用时 12 分钟，那么可大致推出该工人装配第 4 件工件所用时间是(C) A40 分钟B35 分钟 C30 分钟D25 分钟 解析：由已知得该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配第 M 件工件用时 12 分钟，f(9) k 920，k60. 又 43 不合题意；对于函数 y1.015x1，当 x100 时，y3.4323 不合题意；对于函数 ytan x 191，不满足当 x(6,100时，是增函数，不合题意；对于函数 ylog11(3x10)，满足 当 x(6,100时是增
5、函数，且 ylog11(310010)log112901， 酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过 0.02 毫克/毫升则此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车(精确到 1 小时) 解析： 当 0 x1 时， 0.045x 20.2， 此时不宜开车， 要使酒精含量0.02 毫克/毫升， 则3 5 1 3 x0.02， xlog330 1log3101log393，故此驾驶员至少要过 4 个小时后才能开车 11 (2021云南师大附中月考)我们经常听到这样一种说法： 一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离 但 实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次
6、对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张 长边为 w，厚度为 x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为 1 2w，厚度变为 4x.在理想情况下， 对折次数 n 有下列关系：n2 3log 2w x (注：lg20.3)，根据以上信息，一张长为 21 cm，厚度为 0.05 mm 的纸最多能对 折 8 次 解析：由题知 n2 3log 24 2002 3 log24log21 000log221 20 2 3 23log210log221 20 .因为 log210 1 lg2 1 0.3，0log 221 204.7，所以该次地震为“破坏性地震” (2)设汶川地震
7、、日本地震所释放的能量分别为 E1焦耳，E2焦耳由题意知，lgE14.81.5816.8，lgE24.8 1.5918.3，即 E11016.8，E21018.3，所以E2 E110 1.510 10，取 103.2，得E2 E132.故 2011 年日本地震所释放 的能量是 2008 年汶川地震所释放的能量的 32 倍 13近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城 市共投资 240 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资 80 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P(单位：万元) 与投入 a(单位：万元)满足 P42a6，乙城市收益 Q
8、(单位：万元)与投入 a(单位：万元)满足 Q 1 4a2，80a120， 32，120a160， 设甲城市的投入为 x(单位：万元)，两个城市的总收益为 f(x)(单位：万元) (1)当投资甲城市 128 万元时，求此时公司总收益； (2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解：(1)当甲城市投资 128 万元时，乙城市投资 112 万元， 所以总收益 f(128)4 212861 4112288(万元) 答：此时公司总收益为 88 万元 (2)甲城市投资 x 万元，则乙城市投资(240 x)万元， 依题意得 x80， 240 x80， 解得 80 x160， 当 80
9、 x120,120240 x160 时， f(x)4 2x6324 2x260，故 f(x)的最大值为 88 万元 答：当甲城市投资 128 万元，乙城市投资 112 万元时，总收益最大，且最大总收益为 88 万元 14 (2021北京人大附中统测)对于某种类型的口服药， 口服 x 小时后， 由消化系统进入血液中的药物浓度 y(单位) 与时间 t(时)的关系为 yk(e atebt)，其中 k0，ba0，k，a，b 为常数，对于某一种药物 k4，a1，b2. (1)口服药物后 ln2 小时血液中药物浓度最高； (2)这种药物服药 n(nN*)小时后血液中药物浓度 f(n)如下表： n1234
10、f(n)0.954 50.930 40.693 20.468 0 n5678 f(n)0.301 00.189 20.116 30.072 一个病人上午 8：00 第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上，第三次服药的时间是 15： 00.(时间以整点为准) 解析：(1)药物浓度 y(单位)与时间 t(时)的关系为 yk(e atebt)，对于某一种药物 k4，a1，b2，代入可得 y4(e te2t)4 1 e2t 1 et4 1 e t 2 1 et 1 4 14 1 et 1 2 21， 所以当1 et 1 20，即 tln2 时取得最大值 (2)由题可知，病人上午
11、 8：00 第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上，则第二次服药时 间在 11：00.第一次服药 7 个小时后药物浓度为 0.116 3，此时为第二次服药后 4 个小时，药物浓度为 0.468 0，而 0.116 30.468 00.584 30.5； 第一次服药 8 个小时后的药物浓度为 0.072， 此时为第二次服药后 5 个小时， 药物浓度为 0.301 0，而 0.0720.301 00.373 00.5.综上可知，若使得病人血液中药物浓度保持在 0.5 个单位以上，则第三次服药时间 为第一次服药后的 7 个小时，即为 15：00. 15某群体的人均通勤时间是指
12、单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族 S 中的成员仅以 自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中有 x%(0 x100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f(x) 30，0 x30， 2x1 800 x 90，30 x40， 当 0 x30 时，f(x)3040，不满足题意； 当 30 x40， 化简得 x265x9000，即(x20)(x45)0， x45 或 x20(舍)，45x100. 综上，当 45x100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 (2)由题意得，g(x)x%f(x)(1x%)40， 当 0 x30 时， g(x)x%30(1x%
13、)4040 1 10 x， 由一次函数图象的性质可知， 当 0 x30 时， g(x)单调递减； 当 30 x100 时，g(x)x% 2x1 800 x 90 (1x%)40 1 50 x 213 10 x58，由二次函数图象的性质可知，当 x (30,32.5)时，g(x)单调递减，当 x32.5,100)时，g(x)单调递增 综上，g(x) 40 1 10 x，0 x30， 1 50 x 213 10 x58，30 x100， 且 g(x)在(0,100)上是连续函数，故 g(x)在(0,32.5)上单调递减，在32.5,100)上单调递增 说明当自驾群体占比小于 32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为 32.5%时，人均通勤时间最少； 当自驾群体占比超过 32.5%但小于 100%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加
