1、课时作业课时作业 59抛物线抛物线 一、选择题 1已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p(C) A2B3 C6D9 解析：设焦点为 F，点 A 的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|x0p 2，点 A 到 y 轴的距离为 9， x09，9p 212，p6.故选 C. 2(2021陕西、湖北、山西部分学校联考)若直线 2x4ym0 经过抛物线 y2x2的焦点，则实数 m(B) A.1 2 B1 2 C2D2 解析：抛物线 y2x2可化为 x21 2y，所以抛物线焦点坐标为 0，1 8 .因为直线 2x4ym0
2、 经过抛物线的焦点， 所以1 2m0，即 m 1 2.故选 B. 3以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5， 则 C 的焦点到准线的距离为(B) A2B4 C6D8 解析：不妨设 C：y22px(p0)，A(x1,2 2)，则 x12 2 2 2p 4 p，由题意可知|OA|OD|，得 4 p 28 p 2 25，解 得 p4.故选 B. 4(2021山西晋城一模)已知 P 是抛物线 C：y22px(p0)上的一点，F 是抛物线 C 的焦点，O 为坐标原点若|PF| 2，PFO 3，则抛物线 C 的方程为( A)
3、 Ay26xBy22x Cy2xDy24x 解析：过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴，垂足为 Q.PFO 3，|PF|2， |PQ| 3，|QF|1，不妨令点 P 坐标为 p 21， 3.将点 P 的坐标代入 y22px， 得 32p p 21，解得 p3(负值舍去)，故抛物线 C 的方程为 y26x.故选 A. 5(2021福建厦门质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21 的右支与抛物线 x 22py 相交于 A，B 两点，记点 A 到抛物线焦点 的距离为 d1，抛物线焦点到抛物线的准线的距离为 d2，点 B 到抛物线焦点的距离为 d3，且 d1，d2，d3构成等差数列， 则双曲线的渐近线
4、方程为(A) Ay 2 2 xBy 2x Cy 3xDy 3 3 x 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的焦点为 F 0，p 2 ，由 d1，d2，d3构成等差数列可得|AF|BF|2p，即 y1 y2p.由 x21 a21 y21 b2， x22 a21 y22 b2， 两式相减得x 2 1x22 a2 y1y2y1y2 b2 ，即2py12py2 a2 y1y2y1y2 b2 ，故b 2 a2 1 2，所以双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x.故选 A. 6(2021山东滨州模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 到准线的距离为 2，点 P 在抛物线上，且|P
5、F|3 2， 延长 PF 交 C 于点 Q，则OPQ 的面积为(A) A.3 2 2 B3 2 4 C.3 2 8 D3 2 16 解析：由焦点到准线的距离为 2，可知 p2，则抛物线 C 的方程为 y24x，焦点 F(1,0)设点 P(x1，y1)，点 Q(x2，y2)，因为|PF|x1p 2 3 2，所以 x 11 2.又点 P 在抛物线上，则 y 1 2，由抛物线的对称性不妨令 P 1 2， 2，则 直线 PF 的方程为 y2 2x2 2， 联立可得 y2 2y40， 解得 y1 2， y22 2， 所以 SOPQ1 2|OF|(|y 1| |y2|)1 213 2 3 2 2 .故选
6、A. 7(2021安徽六安质检)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以 F 为圆心， AF 为半径的圆交 y 轴负半轴于点 B.平行于 AB 的直线 l 与抛物线相切于点 D，设 A，D 两点的横坐标分别为 xA，xD， 则 xAxD(A) A4B2 C2D4 解析：设 A(xA，yA)，D(xD，yD)，抛物线 x24y 的准线方程为 y1，焦点 F 为(0，1)，|AF|1yA.以抛物 线焦点 F(0，1)为圆心，AF 为半径的圆的方程为 x2(y1)2(1yA)2，令 x0，得 yyA0 或 yyA20.点 B 在 y 轴负半轴上，B(0，yA2)，
7、kAByA2yA xA 2 xA.x 24y，y1 4x 2，y1 2x，与抛物线相切于 点 D 的直线 l 的斜率为1 2x D.直线 AB 平行于直线 l，1 2x D 2 xA，x AxD4.故选 A. 8(2021武汉市高三调研)过点 P(2，1)作抛物线 x24y 的两条切线，切点分别为 A，B，PA，PB 分别交 x 轴 于 E，M 两点，O 为坐标原点，则PEM 与OAB 的面积的比值为(C) A. 3 2 B 3 3 C.1 2 D3 4 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨令 x10)，则p 24，解得 p 8，故抛物线方程为 x216y. 10已知点 F 为抛
8、物线 C：y22px(p0)的焦点，点 A 在抛物线上，点 B 在抛物线的准线 l 上，且 A，B 两点都 在 x 轴的上方若 FAFB，tanFAB1 3，则直线 FA 的斜率为 3 4. 解析： 过点 A 作 AMl， 垂足为 M.由抛物线的定义知|AM|AF|， 易证 RtAMBRtAFB.从而BAMBAF. 因为 AMx 轴，所以MAF 等于直线 FA 的倾斜角，所以 kFAtanMAFtan2BAF 21 3 1 1 3 2 3 4. 11(2021北京丰台区模拟)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，则点 F 的坐标为(1,0)；过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点若|
9、AF|4，则AOB 的面积为4 3 3 . 解析：由抛物线 C：y24x 可得 p2，故焦点 F 的坐标为(1,0)设 A(x0，y0)，则|AF|x0p 2x 014，故 x0 3.根据抛物线的对称性，不妨令点 A 在第一象限，则 y02 3，则 A(3,2 3)，则 kAB 2 3 31 3，故直线 AB 的方程 为 y 3(x1)由 y24x， y 3x1 可得 3x210 x30，故 x3， y2 3 或 x1 3， y2 3 3 ， 则 B 1 3， 2 3 3，所以 SAOB1 2|OF|y AyB|1 21| 2 32 3 3 |4 3 3 . 12(2021湖南五市十校联考)已
10、知直线 l：y2xb 被抛物线 C：y22px(p0)截得的弦长为 5，直线 l 经过 C 的 焦点，M 为 C 上的一个动点，设点 N 的坐标为(3,0)，则|MN|的最小值为 2 2. 解析：设直线 l 与抛物线 C 的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由直线 l 经过 C 的焦点 p 2，0，得 2p 2b 0， 所以 bp， 直线 l 的方程为 y2xp.联立得 y2xp， y22px， 消去 y 得， 4x26pxp20， 所以 x1x26p 4 3p 2 ， 所以|AB|x1x2p5p 2 5，得 p2， 即抛物线 C：y24x，设 M(y 2 0 4 ，y0)，
11、则|MN| y20 4 3 2y2 0 y40 16 y20 2 9 1 16y 2 0428 82 2，当且仅当 y204， 即 y02 时取等号，所以|MN|的最小值为 2 2. 三、解答题 13(2021湖南示范高中名校联考)过 F(0,1)的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，以 A，B 两点为切点分 别作抛物线 C 的切线 l1，l2，设 l1与 l2交于点 Q(x0，y0) (1)求 y0； (2)过 Q，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：ykx1， 由 x24y
12、， ykx1 得 x24kx40，所以 x1x24k， x1x24， 由 x24yy1 2x，所以 l 1：yy11 2x 1(xx1)， 即 l1：y1 2x 1xx 2 1 4 ，同理 l2：y1 2x 2xx 2 2 4 ， 联立得 y1 2x 1xx 2 1 4 ， y1 2x 2xx 2 2 4 ， 得 x0 x1x2 2 2k， y0 x1x2 4 1， 即 y01. (2)因为QF x1x2 2 ，2 ，AB (x2x1，y2y1)， 所以QF AB x22x21 2 2(y2y1)x 2 1x22 2 x 2 2x21 2 0，所以QF AB ，即 MNAB. 而|AB|y1y
13、22k(x1x2)44k24， 同理|MN| 4 k24(易知 k0)， 所以 SAMBN1 2|AB|MN|8(k 21) 1 k218 k2 1 k2232， 当且仅当 k1 时，四边形 AMBN 的面积取得最小值 32. 14(2021江西上饶一模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，P 为抛物线上一点，当点 P 的横坐标为 1 时， |PF|3 2. (1)求抛物线 C 的方程 (2)已知过定点 M(m,0)的直线 l：xkym 与抛物线 C 相交于 A，B 两点若 1 |AM|2 1 |BM|2恒为定值，求实数 m 的 值 解：(1)抛物线 C 的准线方程为 xp 2，焦
14、点 F p 2，0，当点 P 的横坐标为 1 时，|PF|3 2， 1p 2 3 2，解得 p1，抛物线 C 的方程为 y 22x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 xkym， y22x， 消去 x 得 y22ky2m0，4k28m0，则 y1y22m，y1y22k. x1ky1m，x2ky2m， 1 |AM|2 1 |BM|2 1 x1m2y21 1 x2m2y22 1 k21y21 1 k21y22 y21y22 k21y21y22 y1y222y1y2 k21y21y22 4k24m k214m2 k2m k21m2，对任意 kR 恒为定值，当 m1 时， 1 |A
15、M|2 1 |BM|21，为定值，且 m1 满足0，符 合题意，m1. 15已知圆 C1：(x3)2(y2 2)21 和焦点为 F 的抛物线 C2：y28x，N 是 C1上一点，M 是 C2上一点当点 M 在 M1时，|MF|MN|取得最小值，当点 M 在 M2时，|MF|MN|取得最大值，则|M1M2|(D) A2 2B3 2 C4 2D 17 解析：由已知得 C1(3,2 2)，F(2,0)，记抛物线 C2的准线为 l，如图，过点 M 作 l 的垂线，垂足为 D，过点 C1作 l 的垂线，垂足为 D1.则|MF|MN|MD|MN|MD|MC1|1|C1D1|1，当且仅当 M，C1，D1三点
16、共线，且点 N 在线段 MC1上时等号成立，此时|MF|MN|取得最小值，则点 M1的坐标为(1,2 2)|MF|MN|MF|(|MC1|1) |MF|MC1|1|FC1|1，当且仅当 M 为线段 FC1的延长线与抛物线的交点，且点 N 在线段 MC1上时等号成立，此 时|MF|MN|取得最大值直线 FC1的方程为 y2 2(x2)， 由 y2 2x2， y28x， 解得 x1， y2 2 或 x4， y4 2， 所以点 M2的坐标为(4,4 2)， 所以|M1M2| 4124 22 22 17.故选 D. 16(2021江西南昌联考)如图，已知抛物线 C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，
17、且过点(3,6)，圆 C2：x2y2 6x80，过圆心 C2的直线 l 与抛物线和圆分别交于点 P，Q，M，N，则|PN|2|QM|的最小值为 126 2. 解析：抛物线 C1的焦点在 x 轴上，且过点(3,6)， 可设抛物线 C1的方程为 y22px(p0)， 则 362p3，则 2p12， 抛物线的标准方程为 y212x，焦点 F(3,0)，准线方程为 x3.圆 C2：x2y26x80 的圆心为(3,0)，半 径为 1，直线 PQ 过抛物线的焦点， 则 1 |PF| 1 |QF| 2 p 1 3. |PN|2|QM|PF|12(|QF|1)|PF|2|QF|33(|PF|2|QF|) 1
18、|PF| 1 |QF| 33 32|QF| |PF| |PF| |QF| 33(32 2)31262，当且仅当|PF| 2|QF|时取等号 17(2021山东临沂月考)如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px(p0)的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16. (1)求抛物线 C 的方程； (2)试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 解：(1)当直线 l 的倾斜角为 45时，l 的斜率为 1， F p 2，0，l 的方程为 yxp 2.
19、 由 yxp 2， y22px， 得 x23pxp 2 4 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x23p， |MN|x1x2p4p16，p4， 抛物线 C 的方程为 y28x. (2)假设满足题意的点 P 存在，设 P(a,0)，由(1)知 F(2,0)， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，由 ykx2， y28x 得 k2x2(4k28)x4k20，x1 x24k 28 k2 ，x1x24.(4k28)24k24k264k2640， 直线 PM，PN 关于 x 轴对称， kPMkPN0，又 kPMkx12 x1a ，kPNkx22 x2a . k(x12)(x2a)k(x22)(x1a)k2x1x2(a2)(x1x2)4a8a2 k 0，a2，此时 P(2,0) 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可 综上，存在唯一的点 P(2,0)，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称
